专题10 勾股定理实际应用模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题05.勾股定理的实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.梯子滑动模型 5 模型2.轮船航行模型 6 模型3.信号站（中转站）选择模型 8 模型4.台风（噪音）、爆破模型 10 模型5.超速模型 13 模型6.风吹莲动模型 14 模型7.折竹抵地模型 15 模型8.台阶上的地毯长度模型 17 模型.8不规则图形面积模型 19 23 勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。 （2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； 【答案】(1)秋千绳索的长度为尺 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，∴． 在中，由勾股定理得： ∴．解得．答：秋千绳索的长度为尺． （24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向． 【答案】(1)“广州湾号”航行路程为海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； (2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 【详解】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时， ∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； （2）由（1）得（海里），（海里），∵两船相距26海里，∴（海里）， ∵，，故， 是直角三角形，，∴， “小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 模型1）梯子滑动模型 模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距离。 模型2）轮船航行模型 模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 模型3）信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边长相等建立方程求解。 模型4）台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 模型5）测超速、河宽模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； （3）比较实际行驶速度和规定速度。 模型6）风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型7）折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； （2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型8）不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 模型1.梯子滑动模型 例1（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．(1)求旗杆在距地面多高处折断；(2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断； (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【详解】（1）解：由题意得，，，设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得，，解得．答：旗杆在距地面处折断； （2）如图，由题意可得，∴． 在中，，因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 例2（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙，则顶端距离地面，求小巷的宽度． 【答案】2.7 【详解】解：设梯子底端与右墙之间的距离为． 由勾股定理可知，，，（负值舍去），小巷的宽度为． 例3（24-25·河南·八年级校考期中）如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长BC为13m，工作人员以0.5m/s的速度拉绳子，10s后船移动到D点的位置（B，D，A三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离．（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】m 【详解】解：在中，，m，m，m， 此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，m， m，m． 答：船向岸边移动了m． 模型2.轮船航行模型 例1（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离． 【答案】 【详解】解：由题意，得：，，，∴， ∴，∴， 答：C岛和A港之间的距离为． 例2（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离；(2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米(2)珍珍的观点正确，见解析 【详解】（1）解：∵，∴．在中，， 由勾股定理得，即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵，∴．在中，由勾股定理得． ∵，，，∴，∴，即， ∴是垂线段，∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 例3（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】(1)(2)轮船继续向正东方向航行是安全的 【详解】（1）解：作于H，则， ∴，，∴； （2）∵一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，∴海里，∵，∴海里， ∵，，∴海里，∴， ∴轮船继续向正东方向航行是安全的． 模型3.信号站（中转站）选择模型 例1（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，(1)E站应建在距A点多少千米处？(2)求两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）． 【答案】(1)E站应建在距A点5千米处(2) 【详解】（1）解：设，则， 在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得， ∵C，D两村到E站的距离相等，∴，即， ∴，∴，解得，∴， 答：E站应建在距A点5千米处； （2）解：由（1）可得，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， 在中，由勾股定理得， 答：两个村庄之间的直线距离为． 例2（24-25·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴，∴ ， ∴，解得：x＝16，则煤栈E应距A点16km．故选：B． 例3（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，．(1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离；(2)若，求工厂C到B市的距离． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：∵，，．且， ∴，∴，根据垂线段最短，∴长是工厂C到公路的最短距离． （2）解：设，则， 根据勾股定理，得，解得， 答：工厂C到B市的距离为． 模型4.台风（噪音）、爆破模型 例1（24-25·河南商丘·八年级统考期末）在王屋山景区附近的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为150米，与公路上的另一停靠站的距离为200米，且，如图所示．为了安全起见，爆破时点周围半径125米范围内不得进入，则在进行爆破时，公路段是否需要暂时封锁？请说明理由．    【答案】需要暂时封锁，见解析 【详解】解：需要暂时封锁 理由如下：如图，过点C作于点D．    ∵米，米，， 在中，，∴（米）． ∵，∴（米）． ∵，∴在进行爆破时，公路段需要暂时封锁． 例2（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响．(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析(2) 【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下：作，则：， ∵，，∴，∵，∴该居民楼会受到噪声的影响； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵，∴，，∴， ∵，∴；答：居民楼受到影响的时间有． 例3（24-25重庆·八年级专题练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】不会 【详解】解：如图，出发3秒钟时，米，米， ∵AC=40米，AB=30米，∴AC1=28米，AB1=21米， ∴在中，米＞25米， ∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰． 模型5.测超速、河宽模型 例1（24-25·湖南邵阳·八年级武冈市第二中学校考开学考试）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？ 【答案】该河的宽度BC为120米 【详解】根据题意可知AB＝50米，AC＝BC+10米， 设BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120． 答：该河的宽度BC为120米． 例2（24-25八年级下·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 【答案】没有超速，见解析 【详解】解：没有超速，理由如下：过点C作于点H． ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴， ∴小车平均速度， ∵∴∴，∴此车没有超速． 模型6.风吹莲动模型 例1（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面处．问水的深度是多少？则水深为 尺． 【答案】 【详解】解：设水深尺，则尺，尺， 水池的边长为尺，尺， 在中，，，解得： 水深为尺．故答案为： ． 例2（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】5米 【详解】解：由题意可知，，，， ∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，设，则，， 在中，，，∴，解得， 答：绳索的长度米． 例3（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当吸管与圆柱母线平行时，最长，此时()； 当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，最短， ∴，解得：或（舍去），∴的取值范围是，故选：B． 模型7.折竹抵地模型 例1（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（   ） A．3米 B．4米 C．4.2米 D．5.8米 【答案】A 【详解】解：设折断处离地面的高度为x米，则米， 在中，由勾股定理得：，∴， 解得：，即折断处离地面的高度为3米．故选：A． 例2（24-25八年级上·广东·专题练习）如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点B作于点E，则， ，， 四边形是矩形，， ，， 在中，，， 大树折断前的高度为．故选：D． 例3（24-25八年级下·广东江门·期末）某实践探究小组组员们测量一款风筝离地面的垂直高度，通过测量，得到如下数据． 活动课题 探究风筝离地面的垂直高度 测量示意图    说明：点B、D在同一水平线上，点A、B、C在同一铅垂线上． 测量数据 ①放风筝组员的手（点）离地面的高度为1.6米；②水平距离的长为8米； ③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． 根据以上信息，完成下列任务：(1)求出风筝离地面的垂直高度的长； (2)若实践探究小组将风筝沿方向下降了9米，的长度不变，求放风筝组员应该回收多少米的风筝线？ (3)若实践小组将风筝线放出8米，距离地面的垂直高度保持不变，求放风筝组员需要向后移动多少米？ 【答案】(1)16.6米(2)7米(3)12米 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，∴(米)， 答：风筝离地面的垂直高度的长为16.6米； （2）风筝沿方向下降了9米后，米， 此时风筝线的长为(米)， (米)， 答：放风筝组员应该回收7米的风筝线； （3）∵将风筝线放出8米后，米， 此时水平距离的长为(米)，(米)， 答：放风筝组员需要向后移动12米． 模型.8台阶上的地毯长度模型 例1（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（    ）    A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米 【答案】B 【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度米， 地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是米．故选B． 例2（24-25八年级上·河南郑州·期末）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由题意得：，， ∴，∴在中，由勾股定理得：， ∵，∴，故选C． 例3（24-25八年级下·湖北武汉·期中）为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有 款扫地机可以购买． 【答案】3 【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则，， 在中，，即，∴ ∵扫地机能从角落自由进出，∴扫地机的直径不大于长， ∴小洪可以购买扫地机的尺寸直径可以为，，，共3款，故答案为：3． 模型.9不规则图形面积模型 例1（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）2025年，洛阳市继续在创建全国文明城市的过程中，积极推动城市精细化管理，加强市容市貌提升和城市环境整治．工作人员在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，，求空地的面积． 【答案】 【详解】解：如图，连接． ∵，，∴在中，． ∵，，∴．∴是直角三角形，． ∴ 例2（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．(1)求出空地的面积．(2)若每种植平方米草皮需要元，问总共需投入多少元？ 【答案】(1)空地的面积为(2)总共需投入 11400 元 【详解】（1）解：∵，，， ，，∴是直角三角形，， ∴需要绿化的空地的面积． 答：空地的面积为； （2）解：（元）． 答：总共需投入 11400 元． 1．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，一架梯子长度为，斜靠在一面竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端外移（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， 设，则有，， ∴，即，解得：（负根舍去）， ∴梯子的底端外移；故选A． 2．（24-25河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ）      A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm 【答案】A 【详解】解：依题意，，在中，， ∵，，在中，，故选：A． 3．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．13米 B．15米 C．16米 D．17米 【答案】B 【详解】解：如图，连接，∵∴ ∵树高14米，米，∴米， ∵米，∴米，故选：B． 4．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面米处折断，大树顶部落在距离大树底部米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，根据题意得：，，， 由勾股定理得：，∴这棵树折断之前的高度为，故选：． 5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，一条长的直吸管底部按图中所示紧贴底部侧面，则吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）最短是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，此时b就是圆柱形的高，即；∴， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，， ∴此时，∴，∴吸管露在罐外部分的长度最短是．故选：B． 6．（24-25八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ）． A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【详解】解：根据题意可知米，设，则， 中，由勾股定理得，即，解得． ∴该河的宽度为24米．故选：D． 7．（24-25八年级·江苏·专题练习）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 【答案】B 【详解】解：∵，，，∴， ∴，∴从A村到B村比原来减少的路程为．故选：B． 8．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面长为（    ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】B 【详解】解：如图所示，由题意得米， ∵米，∴米，∴则米，故选：B． 9．（24-25·江苏·八年级专题练习）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 【答案】1000 【详解】解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C， 由题意可得：，由图中数据可得：， ，∴米，故答案为：1000． 10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 【答案】10 【详解】解：如图，根据题意可知：，，    ∴（海里）．∴两轮船相距10海里．故答案为：10． 11．（24-25八年级·江苏·期中）如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s． 【答案】24 【详解】解：设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束了噪声的影响． 则有，在中，，， 则该校受影响的时间为：．该学校受影响的时间为24秒．故答案为：24 12．（24-25八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面24米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20米．则小巷的宽度为 ． 【答案】 【详解】解：根据上图，进行如下标注： 由题知，，，，，，， 梯子长度不变，，， ，故答案为：． 13．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离．(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是24米；(2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米． 【详解】（1）解：在中，米，米， 米米． 答：处与地面的距离是24米； （2）解：在中，米，米， 米米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在一条紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到，且绳长始终保持不变．回答下列问题： (1)根据题意可知：______（填“”、“”、“”）．(2)若，点B在直线AF上，米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)(2)小男孩需向右移动的距离为米． 【详解】（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，∴，故答案为：； （2）解：连接，则点A、B、F三点共线， 在中，（米）， ∵（米），∴在中，（米）， ∵，∴米，∴小男孩需向右移动的距离为米． 15．（24-25八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度；(2)如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1)秋千的长度是(2)此时踏板离地的垂直高度为 【详解】（1）解：由题意知， ∵，，，∴四边形是矩形，∴∴ ∵，∴，设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即，解得，即秋千的长度是； （2）解：设时，，∵，∴， 由（1）可知，，∴， 在中，，由勾股定理得，则 ， 解得：或（舍去），即此时踏板离地的垂直高度为． 16．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段(如图1)，聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分长度为m米，再将绳子拉直 (如图2)，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n米，利用所学知识就能求出旗杆的长，若， (1)求旗杆的长．(2)小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂 (拉绳处E 与脚底 F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止(如图3)，测得小迪手臂伸直后的高度为2米，问小迪需要后退几米？  (结果保留根号) 【答案】(1)旗杆的长为12米(2)米 【详解】（1）解：设旗杆的长为米，则的长为（米， 在中，由勾股定理得：， ，解得：，答：旗杆的长为12米； （2）解：如图3，过作于，则四边形是矩形，，米， 米，（米， 在中，米，（米， 米，（米，答：小迪需要后退米． 17．（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？(2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？(3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 【答案】(1)A市不会受到此台风的影响，原因见解析(2)B市会受到此台风的影响，原因见解析(3)1.5小时 【详解】（1）解：A市不会受到此台风的影响，原因如下： 作，易知台风中心O与A市的最近距离为的长度，    由题意得：，， ， A市不会受到此台风的影响； （2）解：如图，作于G，由题意得：，，       ， B市会受到此台风的影响； （3）解：如图，令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束， 在中，由勾股定理得， ，，， 台风速度为40千米/小时，影响时间为（小时）． 18．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A的正前方90米处的B点，过了8秒后，测得小汽车所在的C点与车速检测仪A之间的距离为150米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 【答案】没有超速，见解析 【详解】解：这辆小汽车没有超速．理由如下：在中，米，米， 由勾股定理得（米），（米/秒）（千米/时）． 因为，所以这辆小汽车没有超速． 19．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问：(1)城市是否会受到台风影响？(2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响(2)7级(3)16小时 【详解】（1）解：城市会受到台风的影响． 理由：在中，，（千米）（千米） 城市受到的风力超过4级，则称受台风影响 受台风影响范围的半径为（千米） 城市会受到台风的影响． （2）解：台风到达时台风中心距离城市最近，（千米） 又 则（级） 答：该城市受到台风影响的最大风力为7级． （3）解：由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米 则以为圆心，200千米为半径作交于、，如图 则（千米） ，（千米） （千米）则（小时） 答：台风影响该城市的持续时间为16小时． 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【答案】煤栈应建在距A点16千米处． 【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接， 设千米，则（千米）， ∵，，∴在中，， 在中，， ∵，∴，解得，即千米，∴煤栈应建在距A点16千米处． 21．（24-25·浙江·七年级期中）如图，方格中每个小正方形的边长都为1． (1)求图①中正方形的面积．(2)在图②中画一个边长为的正方形，使它的顶点在格点上． 【答案】(1)10 (2)图见解析 【解析】(1)解：，图①中正方形的面积． (2)解：如图②，正方形即为所求． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05.勾股定理的实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.梯子滑动模型 5 模型2.轮船航行模型 6 模型3.信号站（中转站）选择模型 8 模型4.台风（噪音）、爆破模型 10 模型5.超速模型 13 模型6.风吹莲动模型 14 模型7.折竹抵地模型 15 模型8.台阶上的地毯长度模型 17 模型.8不规则图形面积模型 19 23 勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。 （2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向． 模型1）梯子滑动模型 模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距离。 模型2）轮船航行模型 模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 模型3）信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边长相等建立方程求解。 模型4）台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 模型5）测超速、河宽模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； （3）比较实际行驶速度和规定速度。 模型6）风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型7）折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； （2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型8）不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 模型1.梯子滑动模型 例1（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．(1)求旗杆在距地面多高处折断；(2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 例2（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙，则顶端距离地面，求小巷的宽度． 例3（24-25·河南·八年级校考期中）如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长BC为13m，工作人员以0.5m/s的速度拉绳子，10s后船移动到D点的位置（B，D，A三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离．（假设绳子是直的，结果保留根号） 模型2.轮船航行模型 例1（24-25八年级下·四川南充·阶段练习）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离． 例2（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离；(2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 例3（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东方向上． (1)求的度数；(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？ 模型3.信号站（中转站）选择模型 例1（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，(1)E站应建在距A点多少千米处？(2)求两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）． 例2（24-25·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 例3（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，．(1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离；(2)若，求工厂C到B市的距离． 模型4.台风（噪音）、爆破模型 例1（24-25·河南商丘·八年级统考期末）在王屋山景区附近的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为150米，与公路上的另一停靠站的距离为200米，且，如图所示．为了安全起见，爆破时点周围半径125米范围内不得进入，则在进行爆破时，公路段是否需要暂时封锁？请说明理由．    例2（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响．(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 例3（24-25重庆·八年级专题练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 模型5.测超速、河宽模型 例1（24-25·湖南邵阳·八年级武冈市第二中学校考开学考试）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？ 例2（24-25八年级下·湖南湘西·期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 模型6.风吹莲动模型 例1（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面处．问水的深度是多少？则水深为 尺． 例2（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 例3（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 模型7.折竹抵地模型 例1（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（   ） A．3米 B．4米 C．4.2米 D．5.8米 例2（24-25八年级上·广东·专题练习）如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级下·广东江门·期末）某实践探究小组组员们测量一款风筝离地面的垂直高度，通过测量，得到如下数据． 活动课题 探究风筝离地面的垂直高度 测量示意图    说明：点B、D在同一水平线上，点A、B、C在同一铅垂线上． 测量数据 ①放风筝组员的手（点）离地面的高度为1.6米；②水平距离的长为8米； ③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． 根据以上信息，完成下列任务：(1)求出风筝离地面的垂直高度的长； (2)若实践探究小组将风筝沿方向下降了9米，的长度不变，求放风筝组员应该回收多少米的风筝线？ (3)若实践小组将风筝线放出8米，距离地面的垂直高度保持不变，求放风筝组员需要向后移动多少米？ 模型.8台阶上的地毯长度模型 例1（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（    ）    A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米 例2（24-25八年级上·河南郑州·期末）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级下·湖北武汉·期中）为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有 款扫地机可以购买． 模型.9不规则图形面积模型 例1（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）2025年，洛阳市继续在创建全国文明城市的过程中，积极推动城市精细化管理，加强市容市貌提升和城市环境整治．工作人员在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，，求空地的面积． 例2（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．(1)求出空地的面积．(2)若每种植平方米草皮需要元，问总共需投入多少元？ 1．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，一架梯子长度为，斜靠在一面竖直的墙上，测得．若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端外移（   ） A． B． C． D． 2．（24-25河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ）      A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm 3．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（   ） A．13米 B．15米 C．16米 D．17米 4．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面米处折断，大树顶部落在距离大树底部米处的地面上．则这棵树折断之前的高度（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，一条长的直吸管底部按图中所示紧贴底部侧面，则吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）最短是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ）． A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 7．（24-25八年级·江苏·专题练习）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 8．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面长为（    ） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 9．（24-25·江苏·八年级专题练习）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西的方向航行6海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西的方向航行8海里，这时两轮船相距 海里． 11．（24-25八年级·江苏·期中）如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s． 12．（24-25八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面24米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20米．则小巷的宽度为 ． 13．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离．(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在一条紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到，且绳长始终保持不变．回答下列问题： (1)根据题意可知：______（填“”、“”、“”）．(2)若，点B在直线AF上，米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号） 15．（24-25八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度；(2)如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 16．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段(如图1)，聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分长度为m米，再将绳子拉直 (如图2)，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n米，利用所学知识就能求出旗杆的长，若， (1)求旗杆的长．(2)小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂 (拉绳处E 与脚底 F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止(如图3)，测得小迪手臂伸直后的高度为2米，问小迪需要后退几米？  (结果保留根号) 17．（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．(1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？(2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？(3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 18．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A的正前方90米处的B点，过了8秒后，测得小汽车所在的C点与车速检测仪A之间的距离为150米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 19．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问：(1)城市是否会受到台风影响？(2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 20．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 21．（24-25·浙江·七年级期中）如图，方格中每个小正方形的边长都为1． (1)求图①中正方形的面积．(2)在图②中画一个边长为的正方形，使它的顶点在格点上． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $