学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（上海专用，沪教版九上第24～26章：相似三角形+锐角的三角比+二次函数）

2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级数学上册第24~26章（相似三角形+锐角的三角比+二次函数）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分) 1．抛物线 的顶点坐标是（    ） A．（−2,1） B．（2,1） C．（−2,−1） D．（2,−1） 2．已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 4．已知非零向量与，如果满足，那么下列四个选项中错误的是（    ） A． B．向量与的方向相反 C． D． 5．点、、分别在的边、、上，，，下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤ 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．抛物线的图象在对称轴的 侧的部分上升（填“左”或“右”）． 8．已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 9．抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点关于直线对称的点坐标是 ． 10．已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为 ． 11．如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则 ．    12．如图，已知，如果，，那么k的值为 ． 13．如图，在平行四边形中，设，，点O是对角线与的交点，那么向量可以表示为 ．（用向量与向量表示） 14．如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 15．如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当，时，线段的长为 ．（用含m、n的代数式表示） 16．如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，（点A、点B、点O的对应点分别是点A、点、点），的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为 16．定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点的“简朴点”，已知抛物线上一点的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为 ． 18．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点，且，将线段绕点逆时针旋转到，的平分线所在直线交所在直线于点，连接，当点到的距离为2时，则的值为 ． 三、解答题:(本大题共7题，共78分) 19．（10分）计算：． 20．（10分）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求a、b的值； (2)如果点B是抛物线的顶点，求的面积． 21．（10分）如图，在等腰梯形中，，，与相交于点O，． (1)设，，试用、表示； (2)先化简，再求作：（直接作在答题纸上的图中）． 22．（10分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．（参考数据：≈1.73） (1)当时，求点A离地面的距离AM约为多少分米；（结果精确到0.1） (2)当OB从水平状态旋转到（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至上的点处，求为多少分米． 23．（12分）如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 24．（12分）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（14分）问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级数学上册第24~26章（相似三角形+锐角的三角比+二次函数）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分) 1．抛物线 的顶点坐标是（    ） A．（−2,1） B．（2,1） C．（−2,−1） D．（2,−1） 2．已知，那么下列四个选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 4．已知非零向量与，如果满足，那么下列四个选项中错误的是（    ） A． B．向量与的方向相反 C． D． 5．点、、分别在的边、、上，，，下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤ 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．抛物线的图象在对称轴的 侧的部分上升（填“左”或“右”）． 8．已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 9．抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点关于直线对称的点坐标是 ． 10．已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为 ． 11．如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则 ．    12．如图，已知，如果，，那么k的值为 ． 13．如图，在平行四边形中，设，，点O是对角线与的交点，那么向量可以表示为 ．（用向量与向量表示） 14．如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 15．如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当，时，线段的长为 ．（用含m、n的代数式表示） 16．如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，（点A、点B、点O的对应点分别是点A、点、点），的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为 16．定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点的“简朴点”，已知抛物线上一点的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为 ． 18．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点，且，将线段绕点逆时针旋转到，的平分线所在直线交所在直线于点，连接，当点到的距离为2时，则的值为 ． 三、解答题:(本大题共7题，共78分) 19．（10分）计算：． 20．（10分）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求a、b的值； (2)如果点B是抛物线的顶点，求的面积． 21．（10分）如图，在等腰梯形中，，，与相交于点O，． (1)设，，试用、表示； (2)先化简，再求作：（直接作在答题纸上的图中）． 22．（10分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．（参考数据：≈1.73） (1)当时，求点A离地面的距离AM约为多少分米；（结果精确到0.1） (2)当OB从水平状态旋转到（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至上的点处，求为多少分米． 23．（12分）如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． (2)求证：． 24．（12分）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（14分）问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1 2 3 4 5 6 B A B D D 二、填空题本大题共12题，每题4分，共48分) 7.右 8.4:9 9.(6,2) 10.-1+5 18 1 2号 1B5- 14,30 15.”+2m 3 6(合3 17.(1,0 6 三、解答题（本大题共7题，共78分） 19.(10分) 2sin60° 【详解】解： 3tan30°-4cos260°-cot45° 3x 2 -1…(4分) 3 5 =3-1 1…(6分) (5+ -1 3-3+1 _3+V5 3-1 -1…(8分) 3+V5-2 2 =1+V5 …(10分) 2 20.(10分) 【详解】(1)解：：二次函数y=x2-ax的对称轴为直线x=2, -0=2, 2 a=4, 1/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 y=x2-4x, :过点A5,b), b=25-20=5;…(5分) (2)解：：y=x2-4x=(x-2)2-4点B是抛物线的顶点， B(2,-4), 由(1)可知：A(5,5),设直线OA的解析式为y=, 则5k=5, 解得：k=1, :直线OA的解析式为y=x, 设直线OA与抛物线对称轴交于点H,则H(2,2), x=2 ∴.BH=-4-2=6, B :S.OAB= ×BHxx4-o)=2x6x5=15, :△0AB的面积为15.…(10分) 21.(10分) 【详解】(1)解：ADBC,AD:BC=1:2, :△A0Dn△C0B, B0.BC=2,D=)8C=i, OD AD 2 而=团+而=+5， B0=2D=2a+b,…(5分) 3 3 3 (2)解： 3（2a+-2a+i)=30+36-2a-2b=a-b. 如图：CD即为所求， 2/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 0=0-8c=a+-6=i-.…(10分） B 22.(10分) 【详解】(1)解：如图，作0P⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥0B于K,FJ⊥OC于J, B', G 0 ⊙ M C D :AM⊥CD, .∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°， :四边形OOMP为矩形， :.OM=OP, :0C=0D=10,∠C0D=60°， .△OCD为等边三角形， .OP LCD, :∠C0P=1∠C0D=x60°=30°， 2 2 0P=0Cc0s30=10x955(分米) :∠AOC=∠QOP=90°，即∠AOQ+∠COQ=∠COQ+∠COP, ∴∠AOQ=∠COP=30°， 40-04-x10=5(分米 ·AM=AQ+MQ=5+5V3≈13.7（分米）： 即点A离地面的距离AM约为13.7分米；…(5分) (2):0B/CD, 3/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠B0D=L0DC=60°， :在R△0FK中，K0=OF-cos60=4x】=2(分米， 2 FK=0F.sin60°=4x 5-25(分米)， 在RtAFKE中，EK=VEF2-FK2=V62-(2V5)=26(分米)， :BE=0B-0K-EK=10-2-2V6=(8-2√6)（分米）， 在R1△0FJ中，0J=0Fc0s60°=4×)=2（分米）， FJ=0Fsin60=4x5-25(分米). 2 在Rt△FJE'中，EJ=VE'F2-FJ2=V62-(2V5)2=2√6（分米）， B'E'=0B'-(EJ-0J)=10-(2V6-2)=12-2V6)(分米)， .B'E'-BE=12-2√6-(8-2√6)=4（分米）.…(10分) 23.(12分) 【详解】(1)证明：∠BAC=90°，AE⊥CD, .∠BAC=∠AFC=90°. 又：∠ACF=LACD, ·△ACF~△DCA, :CF、A AC-CD ,即AC2=CF.CD.…(6分) (2)证明：：CD平分∠BCA, .∠ACF=LECF. 又：CF=CF,∠AFC=∠EFC=90°， .△AFC≌△EFC, .FA-FE-7AE. :∠BAC=90°， ∠DAF+∠CAF=90°. 又：AE⊥CD, .∠CAF+LACF=90°， ∠DAF=∠ACF. 4/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :BG⊥AG, ∠G=∠BAC=90°， .△AGB~△CFA, CF AF AG BG 即ABAG=CFBG, AE·AG=2BG.CF.…(12分) 24.(12分) 【详解】(1)：抛物线y=ax2+bx+8(a≠0)过点A(-2,0)和点B(8,0) 「4a-2b+8=0 64a+8b+8=0 1 a=- 2 b=3 抛物线解析式为：y三)2+3x+8…(4分 (2)当x=0时，y=8 C(0,8 :直线BC解析式为：y=-x+8 5-480c-x0x8=40 .S.Pac= 过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G,交BC于点F 设P+38 F(t,-1+8 PF=-2+4 2 2.5.nPF0824 2 +8=24 ∴41=2,2=6 P(2,12,P,(6,8)…(8分) 5/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B x (3):C(0,8),B(8,0,∠C0B=90° ∴△OBC为等腰直角三角形 b 抛物线y=-)x+3x+8的对称轴为x= 3 2 2a 2 :点E的横坐标为3 又：点E在直线BC上 :点E的纵坐标为5 E(3,5) 设B.N-+38 ①当MN=EM,∠EMN=90°，△NME~△C0B时 m-5=n-3 2n2+3n+8=m n=6 n=-2 解得 m=8或 (舍去) m=0 此时点M的坐标为3,8) 40 B 6/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ②当ME=EN,∠MEN=90°时 m-5=n-3 2n+3n+8=5 1 m=5+5.[m=5-5 解得： 或 (舍去) n=3+V15 n=3-V15 此时点M的坐标为3,5+V5） B x ③当MN=EN,∠MNE=90°时 连接CM,易知当N为C关于对称轴I的对称点时，△MNE~△C0B, 此时四边形CMNE为正方形 .CM=CE :C0,8,E3,5,M3,m CM=V32+(m-82,CE=V32+5-82=32 V32+(m-8)2=32 解得：m1=11,m2=5(舍去) 此时点M的坐标为(3,11 7/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 N B x 在射线ED上存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：(3,8)， 3,5+⑤或(3,11.…(12分) 25.(14分) 【详解】问题背景：：△ABC∽△ADE, ·.∠BAC=∠DAE, ABAC AD AE ∴.∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC, .∠BAD=∠CAE, ∴△ABD△ACE;…(4分) 尝试应用：连接CE, B D :∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°， ∴.△BAC∽△DAE, :AB、AD AC AE :∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE, .△ABD△ACE, BD AD CE AE 由于∠ADE=30°，∠DAE=90, 8/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ÷tan30°= AE 3 AD 3 即B即-D=5, CE AE :40=5, BD AD 3, CE :∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°， .∠C=∠E=60°， 又：∠AFE=∠DFC, ∴△AFEn△DFC, 、AFEF 即AFDF DF CF EF CF 又：∠AFD=∠EFC ∴△ADFn△ECF, DF AD =3;…(9分) CF CE 拓展创新：AD=√5 如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC,AE交BD延长线于E,连接CE, D B :∠ADE=∠BAD+∠ABD,∠ABC=∠ABD+∠CBD,∠BAD=∠CBD=30°， ∴∠ADE=∠ABC, 又：∠DAE=∠BAC, ∴△BAC△DAE, AB AC BC AD AE DE 又：∠DAE=∠BAC, .∠BAD=∠CAE, ∴△BADn△CAE, 9/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BD AB AD 4 23 CE AC AE2√5-3 设CD=x,在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°， ∴BD=V3x,BC=2x, 3 :.CE-x, :DE= 2 AB BC AD DE 42x .AD=5…(14分) 10/102025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 口 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【1[/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1[A][B][CI[D] 3A][B]ICI[D] 5[AJ[B]IC][D] 2[A][B]IC][D] 4AJ[B][CJ[D] 6.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7. 8. 9. 10. 11 12 13 16. 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7小题，78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) A B 22.(10分) B G 0 B H D水平地面 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) A D F B E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) y◆ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25(14分) E B B CB D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！