第2章 第4节 科学测量：用单摆测量重力加速度(Word教参)-【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（鲁科版）

本讲义聚焦“用单摆测量重力加速度”核心实验，衔接单摆简谐运动规律，系统构建实验原理（T=2π√(l/g)推导g=4π²l/T²）、器材选择（1m细线、密度大金属球）、步骤规范（摆长含球半径、多次全振动计时）及数据分析（公式法求平均、T²-l图像斜率法）的学习支架。 资料以科学探究为主线，通过误差归因（摆长测量、周期计时误差分析）和注意事项（摆角<5°、平衡位置计时）培养严谨思维，结合例题（器材选择、图像法处理数据）与分层对点练（基础操作到创新实验），助力教师课堂高效教学，学生课后通过实例解析与练习巩固物理观念，提升科学探究能力。

第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 [学习目标]　1.会运用单摆的周期公式测量重力加速度(重点)。2.掌握运用图像处理数据的方法(重点)。 一、实验目的 1．用单摆测量重力加速度。 2．会使用秒表测量时间。 3．能分析实验误差的来源，并能采用适当方法减小测量误差。 二、实验器材 长约1 m的细线、开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、刻度尺、秒表、游标卡尺。 三、实验原理与设计 1．实验原理 单摆做简谐运动时，由周期公式T＝2π，可得g＝。 2．物理量的测量 (1)测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度。 (2)用秒表测量30～50次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到的便是振动周期。 四、实验步骤 1．组装器材 取长约1 m的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂，如图所示。在单摆平衡位置处做上标记。 2．物理量的测量 (1)摆长的测量 用刻度尺测摆线长度l线，用游标卡尺测小球的直径d。测量多次，取平均值，计算摆长l＝l线＋。 (2)周期的测量 将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直面内振动。待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次全振动的时间t，则周期T＝。如此重复多次，取平均值。 3．改变摆长，重复实验多次。 4．将每次实验得到的l、T代入g＝计算重力加速度，取平均值，即为测得的当地重力加速度。 五、数据分析 1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g的值，最后求出g的平均值，设计如表所示的实验表格。 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) g的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 2．图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵轴，以l为横轴，作出T2－l图像(如图所示)，其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g＝。 六、误差分析 1．误差来源： (1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等。 (2)本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。 2．误差分析 (1)测量摆长时引起的误差 ①摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆长；仅测量了摆线长漏加摆球半径；悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，使实际的摆长变长等。 ②摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或以摆线长和小球的直径之和作为摆长(多加了半径)。 (2)测量周期时引起的误差 ①周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把(n＋1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时秒表过早按下或停止计时时秒表过迟按下等。 ②周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把(n－1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时，秒表过迟按下或停止计时时秒表过早按下等。 ③计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。 七、注意事项 1．选择实验器材时，应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。 2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。 3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°，可通过估算振幅的方法掌握。 4．小球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。 5．计算单摆的全振动次数时，应从小球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在小球平衡位置的正下方做一标记，以后小球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数。 例1　(2024·江苏徐州市新沂中学高二期中)用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示： (1)组装单摆时，应在下列器材中选用________。 A．长度为1 m左右的细线 B．长度为10 cm左右的橡皮绳 C．直径为1.5 cm左右的塑料球 D．直径为1.5 cm左右的铁球 (2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图________(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。 (3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是________。 A．把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同时启动秒表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停秒表停止计时 B．以单摆在最大位移处为计时基准位置，用秒表测出摆球第n次回到基准位置的时间t，则T＝ C．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过最低位置记数一次，用秒表记录摆球从同一方向n次经过最低位置时的时间t，则T＝ 答案　(1)AD　(2)丙　(3)C 解析　(1)为减小实验误差，应选择1 m左右的细线；为减小空气阻力影响，摆球应选密度大的铁球，因此需要的实验器材是A、D； (2)要保持悬点固定，应采用题图丙所示的固定方式，题图乙所示的固定方式在摆动过程中摆长会发生变化从而带来系统误差； (3)摆角应小于5°，在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的时间，可以减小误差，故A、B错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，开始计时后摆球每从同一方向经过最低位置，记数一次，用秒表记录摆球从同一方向n次经过最低位置的时间t，则摆球相邻两次从同一方向经过最低点的时间间隔即为一个周期，则有T＝，故C正确。 例2　在“用单摆测量重力加速度”的实验中。 (1)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示为________ cm，则单摆的摆长为________ cm；然后用秒表记录了单摆摆动50次所用的时间如图乙所示为________ s，则单摆的周期为________ s；当地的重力加速度为g＝________ m/s2； (2)实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计摆球的半径，具体做法如下：第一次量得悬线长L1，测得振动周期为T1；第二次量得悬线长L2，测得振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝________。(用π、L1、L2、T1、T2表示) 答案　(1)2.125　98.49　99.8　2.0　9.71 (2) 解析　(1)游标卡尺的读数为主尺读数＋游标尺读数，故摆球直径为 21 mm＋5×0.05 mm＝21.25 mm＝2.125 cm 单摆的摆长为 L＝l＋＝97.43 cm＋ cm≈98.49 cm 秒表的读数为t＝90 s＋9.8 s＝99.8 s 单摆的周期为T＝＝ s≈2.0 s 根据单摆的周期公式T＝2π 解得g＝≈9.71 m/s2 (2)由题可知T1＝2π，T2＝2π 联立以上两式可解得g＝。 说明：游标卡尺和秒表都不需要估读，游标卡尺由其结构决定，测量结果很精确，不需要估读；秒表中秒针的转动是通过齿轮传动的，不可能停在两格中间，所以不需要估读。 例3　(2023·河北张家口张北一中高二期中)某实验小组用如图甲所示实验装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。 　 (1)为了减小测量误差，下列说法正确的是________。 A．将钢球换成塑料球 B．当摆球经过平衡位置时开始计时 C．把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放 D．记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g (2)该同学经测量得到6组摆长L和对应的周期T，画出L－T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图乙所示。则当地重力加速度的表达式g＝________。(用π、LB、LA、TB、TA表示)处理完数据后，该同学发现在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，这样________(选填“影响”或“不影响”)重力加速度的计算。 答案　(1)B　(2)　不影响 解析　(1)实验中为了减小阻力的影响，应选择密度大的小球，故A错误；为了减小测量误差，应从摆球经过平衡位置时开始计时，故B正确；小球做单摆运动应满足摆角小于5°，故C错误；应记录多次全振动的时间求出平均值作为周期，再根据公式计算重力加速度g，故D错误。 (2)根据单摆的周期公式，可得T＝2π 整理可得L＝T2 即L－T2图线斜率k＝ 由题图乙可知，斜率k＝ 联立以上两式可得g＝ 在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，L－ T2图线斜率不变，这样不影响重力加速度的计算。 课时对点练　[分值：50分] 1题5分，2题6分，3题6分，4题7分，共24分 1．(多选)某实验小组利用单摆测当地的重力加速度实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是 (　　) A．以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算 B．单摆所用摆球质量太大 C．把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间 D．开始计时时，秒表过早按下 答案　AC 解析　根据T＝2π，得g＝。以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算，则l偏大，测得的g偏大，故A正确；单摆所用摆球质量大小与测得的重力加速度的大小无关，故B错误；把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间，则周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故C正确；开始计时时，秒表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误。 2．(6分)在“用单摆测量重力加速度”的实验中： (1)(3分)以下关于本实验的说法正确的是________。 A．摆角应尽量大些 B．摆线应适当长些 C．摆球应选择密度较大的实心金属小球 D．用秒表测量周期时，应从摆球摆至最高点时开始计时 (2)(3分)考虑到单摆摆动时空气浮力的影响，同学甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对摆球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”同学乙说：“空气浮力对摆球的影响相当于用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变。”这两个同学说法正确的是________。 A．甲 B．乙 C．两同学的说法都错误 答案　(1)BC　(2)A 解析　(1)在摆角小于5°的情况下，单摆的运动可以看作简谐运动，实验时摆角不能太大，故A错误；实验中，摆线的长度应远远大于摆球的直径，适当增加摆线的长度，可以减小实验误差，故B正确；为了减小空气阻力的影响，应选择密度较大的实心金属小球作为摆球，故C正确；用秒表测量周期时，应从摆球到达平衡位置时开始计时，这样误差小一些，故D错误。 (2)若考虑单摆摆动时空气浮力的影响，则摆球不只受重力，等效重力加速度减小，因此振动周期变大，甲同学的说法正确。 3．(6分)某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。如图甲所示，实验过程中他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。然后利用刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T。在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2－l图像如图乙所示。 (1)(4分)①该图像的斜率为________。 A．g B. C. D. ②由此得出重力加速度的测量值为________ m/s2。(π取3.14，计算结果保留三位有效数字) (2)(2分)实验中，该同学测量摆长使用细线长，而非悬点到石块重心之间的距离，这对重力加速度测量结果的影响是：测量值________真实值。(填“>”“＝”或“<”) 答案　(1)①C　②9.86　(2)＝ 解析　(1)由题图可知，设M点到石块重心的距离为d，根据T＝2π，可得T2＝(l＋d)，故该图像的斜率为k＝，故选C。 ②由于k＝＝×102 s2/m＝4 s2/m，解得由此得出重力加速度的测量值为g＝π2≈9.86 m/s2。 (2)图像的斜率为k＝，测得的重力加速度为g＝，由以上分析可知，其摆长的测量不影响重力加速度的测量结果，所以其测量值等于真实值。 4．(7分)(2023·山西怀仁市高中教育联盟高二期中)(1)(4分)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和T计算重力加速度的公式是g＝__________。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是______m。若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则秒表读数是________ s，单摆的振动周期是________ s。 (2)(3分)为了提高测量准确度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标在以l为横轴、T2为纵轴的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则： ①单摆做简谐运动应满足的条件是_______________________________________________。 ②试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝______m/s2(计算结果保留两位有效数字)。 答案　(1)　0.875 0　75.2　1.88 (2)①偏角小于5°　②见解析图　9.9 解析　(1)由单摆的周期公式 T＝2π，可得g＝ 由题图甲可知，摆长l＝(88.50－1.00) cm ＝87.50 cm＝0.875 0 m 秒表的读数是t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s 所以T＝＝1.88 s。 (2)①单摆做简谐运动的条件是偏角小于5°。 ②连线时使大部分点落在图线上，不在图线上的点均匀分布在图线的两侧(如图)， 图线斜率k＝＝4 s2/m 由g＝可知T2－l图线的斜率表示，故＝4 s2/m 可得g≈9.9 m/s2。 5、6题每题8分，共16分 5．(8分)将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为x(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)。如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心之间的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴，L为横轴作出T2－L函数关系图像，那么就可以通过图像得出小筒的深度x和当地的重力加速度g。 (1)(2分)现有如下测量工具：A.毫米刻度尺；B.秒表；C.天平。本实验所需的测量工具有________(填选项前字母)。 (2)(2分)如果实验中所得到的T2－L关系图像如图乙所示，那么对应的图像应该是a、b、c中的________。 (3)(4分)由图可知，小筒的深度x＝________ m；当地重力加速度g＝________ m/s2(π取3.14，g值计算结果保留三位有效数字)。 答案　(1)AB　(2)a　(3)0.3　9.86 解析　(1)本实验需要测量筒的下端口到摆球球心的距离L，单摆摆动周期T，不需要测量质量，故选A、B。 (2)由单摆的周期公式可知T＝2π 可得T2＝L＋x 当L＝0时T2＝x>0 则对应的图像应是题图乙中的a。 (3)由T2＝L＋x可知，当T2＝0时L＝－x 即图像与横轴的交点坐标的绝对值为x，则x＝30 cm＝0.3 m 根据题图乙中的a可得，斜率k＝＝4 s2/m 则可得g＝π2≈9.86 m/s2。 6．(8分)(2023·重庆一中月考)有一个光滑的圆弧形轨道，其截面如图(a)，某同学用一小钢球、游标卡尺和秒表测量轨道半径R。 主要实验过程如下： (1)先用游标卡尺测量小钢球直径d＝0.850 cm； (2)(4分)找出轨道的最低点O，把小钢球从O点移开一小段距离至P点，由静止释放，待运动稳定后，在小钢球某次通过最低点O时开始计时，并将这次记为0，至小钢球第n次经过最低点O停止计时，秒表示数如图(b)，其读数t＝________ s； (3)(4分)已知重力加速度g，则可将以上测量结果代入公式R＝________(用d、n、t、g等表示)计算出轨道半径。 答案　(2)111.3　(3)＋ 解析　(2)秒表读数为t＝1 min＋51.3 s＝111.3 s。 (3)小球的运动符合单摆运动的过程，根据单摆的周期T＝2π，其中T＝ 解得R＝＋。 7．(10分)(2023·湖北省名校联盟高二月考)某同学想验证单摆的周期与重力加速度的关系，他借鉴伽利略用斜面“冲淡”重力的思路，设计了这样的实验装置：在水平面上有一倾角可调的斜面，斜面上有一固定的力传感器，将钢性小球通过摆线挂在力传感器上，斜面上开有许多小孔，利用气源从小孔往外吹气，使钢性小球浮在气垫层上，并使摆线与斜面始终保持平行，因而能在斜面上做近似无阻力的单摆运动，装置模拟图如图甲。 (1)(2分)在测量过程中，下列说法合理的是_____________________________________。 A．先测好摆长，再将单摆悬挂到力传感器上 B．释放单摆时，摆角尽量大些，以便观察 C．摆线应选用不易伸缩的轻质细绳 (2)(2分)图乙为斜面倾角为θ0时，传感器输出的细绳拉力F随时间t的变化曲线，由图可知，小球摆动的周期为T＝________ s。 (3)(2分)仅改变斜面倾角，测出倾角θ及在该倾角下单摆的周期T，已知当地重力加速度为g。若从实验中得到所测物理量数据的图线如图丙，则作出的图像可能为________。 A．T－ B．T2－ C．T－gsin θ D．T2－ (4)(4分)另一名同学想利用此装置测量当地的重力加速度，由于要用细绳系住小球，小球上方被钻孔导致单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，此时斜面的倾角为θ1，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出L－T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图丁所示。他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g＝________。请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心在球心处所得结果相比将________。(填“偏大”“偏小”或“相同”) 答案　(1)C　(2)1.6　(3)B (4)4π2　相同 解析　(1)应将单摆悬挂到力传感器上，然后再测摆长，故A错误；释放单摆时，摆角不能大于5°，故B错误；摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，故C正确。 (2)根据题意，由题图乙可知，小球摆动的周期为T＝2×(0.9－0.1) s＝1.6 s。 (3)根据题意可知，斜面倾角为θ时，等效重力加速度为g′＝gsin θ 由单摆周期公式有T＝2π 可得T2＝ 可知题图丙中的图像可能为T2－关系图像，故选B。 (4)由单摆周期公式T＝2π，得L＝T2，k＝ 由图像可知，图像的斜率k＝ 则g＝4π2 由图像可知L与T2成正比，无论单摆摆长偏大还是偏小都不影响图像的斜率k，因此摆长偏小不影响重力加速度的测量值，用图像法求得的重力加速度准确，该同学得到的实验结果与摆球重心在球心处的情况相比，将相同。 学科网（北京）股份有限公司 $