第2章 第2节 振动的描述(Word教参)-【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（鲁科版）

本高中物理讲义聚焦振动的描述，系统梳理振幅、周期、频率等振动特征，衔接简谐运动的x-t图像分析，进而深化到位移公式x=Asin(ωt+φ₀)及相位概念，构建从定性描述到定量计算的完整学习支架。 资料通过概念辨析题（如周期与振幅无关）、图像斜率分析速度方向等设计，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。课时对点练分层覆盖基础与综合应用，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，强化物理观念的形成。

第2节　振动的描述 [学习目标]　1.知道振幅、周期、频率及全振动的概念。2.知道简谐运动的位移图像是一条正弦(或余弦)曲线(重点)。3.能正确获取简谐运动的位移图像中的信息，并能进行相应计算(重难点)。4.理解简谐运动的位移公式，能从中获取振幅、周期(频率)等相关信息，解答有关问题(重点)。 一、振动特征的描述 1．振幅 (1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅，用A表示。 (2)物理意义：表示振动的强弱。 2．周期和频率 (1)全振动：如图所示，做简谐运动的物体由B点经过O点到达C点，再由C点经过O点返回B点，重新回到原来状态，我们说物体完成了一次全振动。 (2)周期 ①定义：物体完成一次全振动所经历的时间称为周期。用T表示。 ②物理意义：表示振动的快慢。 (3)频率 ①定义：在一段时间内，物体完成全振动的次数与这段时间之比称为频率。用f表示。 ②物理意义：表示振动的快慢。 ③单位：赫兹，符号为Hz。 (4)周期和频率的关系：f＝。 (5)固有周期(固有频率)： ①定义：物体仅在回复力作用下振动时，振动的周期、频率与振幅的大小无关，只由振动系统本身的性质决定。其振动的周期(或频率)称为固有周期(或固有频率)。 ②特点：固有周期和固有频率是振动系统本身的属性，与物体是否振动无关。 1．做简谐运动的物体，一个周期内，路程和振幅有什么定量关系？半个周期呢？ 答案　无论从什么位置开始计时，振动物体在一个周期内通过的路程均为4A。 无论从什么位置开始计时，振动物体在半个周期内通过的路程均为2A。 2．同一个振动系统，弹簧振子的振动周期与振幅有关吗？ 答案　一个振动系统的周期有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。 (1)振动物体离开平衡位置的最大距离叫振幅。(　√　) (2)振幅随时间作周期性变化。(　×　) (3)物体两次通过平衡位置的时间叫作周期。(　×　) 例1　(多选)弹簧振子在A、O、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s，则(　　) A．物体的振动周期是2 s，振幅是8 cm B．物体的振动频率是2 Hz C．物体完成一次全振动通过的路程是16 cm D．从物体通过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm 答案　CD 解析　A、B之间的距离为8 cm，则物体的振幅A＝4 cm，振动周期T＝ s＝2 s，则振动频率f＝＝0.5 Hz，A、B错误；物体完成一次全振动通过的路程是4A，即16 cm,3 s内物体运动了1.5个周期，故总路程为s＝1.5×4A＝24 cm，C、D正确。 拓展　物体通过4 cm路程的时间一定为0.5 s吗？ 答案　不一定。 二、简谐运动的位移图像 1．x－t图像的建立 建立平面直角坐标系，横坐标表示时间t，纵坐标表示弹簧振子相对平衡位置的位移x。根据数据所得的图像为弹簧振子做简谐运动的位移—时间图像，也称为振动图像。 2．x－t图像的特点 简谐运动的振动图像是一条正弦(或余弦)曲线。 3．x－t图像的意义 能直观地表示做简谐运动物体的位移随时间按正弦(或余弦)规律变化的情况。 4．x－t图像直接反映的信息(如图所示) (1)振幅A：曲线在纵轴方向上的最大值等于振幅A。 (2)周期T：曲线中相邻两个相同状态间隔的时间等于周期T。 1.如图是一质点做简谐运动的x－t图像， (1)质点在a点、b点和c点的运动方向分别沿什么方向？ (2)位移分别是多少？ 答案　(1)速度方向的判断 方法一：从下一时刻质点的位置分析：题图中a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故质点在a点时沿x轴正方向运动；在c点，下一时刻质点离平衡位置更远，故质点在c点时沿x轴负方向运动。 方法二：从图像的斜率分析：图像切线斜率为正，表示速度方向为正方向；图像切线斜率为负，表示速度方向为负方向。斜率的绝对值表示速度大小。 (2)x0，x0，－x0。 2．如图所示，滑块在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向。从滑块位于N点时开始计时，画出振动图像。 答案　 滑块运动到N点时，滑块具有正方向最大位移，所以以滑块运动到N点时开始计时振动图像应是余弦曲线，如图所示。 (1)简谐运动的位移图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移。(　√　) (2)简谐运动图像上可以看出振子的运动轨迹。(　×　) 例2　(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，取向右为正方向，小球经过O点时为计时起点，其振动的x－t图像如图乙所示，则下列说法正确的是 (　　) A．t2时刻小球在A点 B．t2时刻小球在B点 C．在t1～t2时间内，小球的位移在增大 D．在t3～t4时间内，小球的速度在增大 答案　AC 解析　小球在A点和B点时位移最大，由于取向右为正方向，所以小球运动到A点有正向最大位移，运动到B点有负向最大位移，则t2时刻，小球在A点，t4时刻，小球在B点，故选项A正确，B错误；小球的位移是小球相对平衡位置的位移，所以在t1～t2时间内小球的位移在增大，t3～t4时间内小球的速度在减小，故选项C正确，D错误。 拓展　(1)小球的轨迹为正弦曲线吗？ (2)试分析t1～t2、t3～t4小球的加速度大小变化情况。 答案　(1)不是。位移时间图像反映质点的位移随时间变化的规律，不是轨迹。 (2)t1～t2加速度大小增大；t3～t4加速度增大。 由振动图像(x－t图像)获取的信息 1．位移及其变化 (1)确定某一时刻的位移：如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。 (2)质点位移的变化情况：靠近平衡位置的过程中，位移减小，平衡位置处最小(为零)；远离平衡位置的过程中，位移增大，最远点位移最大。 2．速度及其变化 (1)运动方向的确定。根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。 (2)质点速度大小的变化情况 根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，位移越来越小。 (3)根据x－t图像的斜率判断速度的大小和方向。斜率越大，则速度越大，斜率越小，则速度越小；斜率为正，则速度沿所选的正方向，斜率为负，则速度沿负方向。 三、简谐运动的位移公式 以平衡位置为坐标原点，简谐运动的位移公式： 用x代表振动物体偏离平衡位置的位移，以物体沿x轴正方向运动至平衡位置的时刻作为计时零点，做简谐运动的物体的位移x与时间t之间的关系式为x＝Asin ωt。 说明：角速度ω叫作简谐运动的圆频率，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf(与周期T和频率f的关系)。 1．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin(t) cm，则 (1)质点做简谐运动的振幅为________ cm，周期为________ s。 (2)质点在t＝2 s时质点的速度________，加速度________(填“最大”或“最小”)。 (3)质点第2 s末与第4 s末质点的速度方向______，在第1 s末与第3 s末时的位移方向________(填“相同”或“相反”)。 答案　(1)3　4　(2)最大　最小　(3)相反　相反 2．如图所示，滑块在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向。 (1)以滑块位于N点时开始计时，写出滑块的位移随时间变化的关系式。 (2)以滑块位于O点和N点之间任意一点时开始计时，写出滑块的位移随时间变化的关系式。 答案　(1)x＝Asin(ωt＋)　(2)x＝Asin(ωt＋φ0) 1．一般情况下，简谐运动的位移公式x＝Asin(ωt＋φ0)，其中ωt＋φ0是简谐运动的相位，φ0是简谐运动的初相位。 2．两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值为相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。相位是一个随时间变化的量，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。频率相同的两个简谐运动有固定的相位差。若Δφ是2π的整数倍时，表明两个物体运动步调相同，即同相；若Δφ是π的整奇数倍时，表明两个物体运动步调相反，即反相。 例3　(多选)弹簧振子1和2做简谐运动的位移公式分别为x1＝3asin(10πbt)和x2＝9asin(10πbt＋)，下列说法正确的是(　　) A．两弹簧振子的振幅不同，频率不同 B．两弹簧振子的振幅不同，频率相同 C．弹簧振子1的相位超前于弹簧振子2的相位是 D．弹簧振子1的相位落后于弹簧振子2的相位是 答案　BD 解析　弹簧振子1的振幅为3a，频率为f1＝＝5b，弹簧振子2的振幅为9a，频率为f2＝＝5b，所以两弹簧振子的振幅不同，频率相同，选项A错误，B正确；从公式可以看出弹簧振子1的相位落后于弹簧振子2的相位是，选项C错误，D正确。 课时对点练　[分值：100分] 1～6题每题6分，7题12分，共48分 考点一　振动特征的描述 1．关于固有频率，下列说法正确的是(　　) A．振幅越大，固有频率越小 B．所有振动系统的固有频率都相同 C．物体不振动时，固有频率为0 D．固有频率是由振动系统本身决定的 答案　D 2．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　) A．1∶1　1∶1 B．1∶1　1∶2 C．1∶4　1∶4 D．1∶2　1∶2 答案　B 解析　弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2。而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，故周期之比为1∶1，故选B。 考点二　简谐运动的位移图像 3.(多选)如图所示为获取弹簧振子的位移—时间图像的一种方法，改变纸带运动的速度，下列说法正确的是(　　) A．如果纸带不动，画出的振动图像仍然是正弦函数曲线 B．如果纸带不动，画出的振动图像是一段线段 C．图示时刻，振子正经过平衡位置向右运动 D．若纸带运动的速度不恒定，则纸带上画出的仍然是简谐运动的图像 答案　BC 解析　当纸带不动时，画出的只是振子在平衡位置两侧往复运动的轨迹，即一段线段，A错误，B正确；由振动图像可以看出，题图所示时刻振子正由平衡位置向右运动，C正确；只有当纸带匀速运动时，运动时间才与纸带运动的位移成正比，振动图像才是正弦或余弦函数曲线，而简谐运动的图像一定是正弦或余弦函数曲线，D错误。 4.如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是(　　) A．由P→Q位移在增大 B．由P→Q速度在增大 C．由M→N速度先减小后增大 D．由M→N回复力始终减小 答案　A 解析　由图像可知从P→Q物体远离平衡位置运动，位移增大，速度减小，A正确，B错误；由M→N，物体由正位移处向平衡位置移动，速度增大，回复力减小，再由平衡位置沿负方向运动，回复力增大，速度减小，选项C、D错误。 5．(多选)(2023·山西怀仁市第一中学高二期末)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin t，则质点(　　) A．第1 s末与第3 s末的位移相同 B．第1 s末与第3 s末所受的合力相同 C．3 s末与5 s末的位移方向相同 D．3 s末与5 s末的速度方向相同 答案　ABD 解析　由关系式可知ω＝ rad/s，T＝＝8 s，将t＝1 s和t＝3 s代入关系式中求得两时刻质点位移相同，故A正确；第1 s末和第3 s末质点所受的合力相同，故B正确；画出对应的位移—时间图像，如图所示 由图像可以看出，质点在3 s末与5 s末的位移方向相反，速度方向相同，故C错误，D正确。 考点三　简谐运动的位移公式 6．(2024·辽宁沈阳市辽中区第一私立高级中学高二期末)一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin(2.5πt)，位移y的单位为m，时间t的单位为s。则(　　) A．弹簧振子的振幅为0.2 m B．弹簧振子的周期为1.25 s C．在t＝0.2 s时，振子的速度最大 D．在t＝0.1 s时，振子的位移为 m 答案　D 解析　弹簧振子的振幅为0.1 m，周期为T＝＝ s＝0.8 s，选项A、B错误；在t＝0.2 s时，y＝0.1 m，此时振子的位移最大，速度为零，选项C错误；在t＝0.1 s时，振子的位移为y＝0.1sin  m＝ m，选项D正确。 7．(12分)有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有负向最大位移。 (1)(3分)求振子的振幅和周期； (2)(4分)画出该振子的位移—时间图像； (3)(5分)写出振子的位移公式。 答案　(1)10 cm　0.2 s　(2)见解析图 (3)x＝10sin(10πt＋π)cm 解析　(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动，BC＝20 cm，故振幅A＝10 cm；振子在2 s内完成了10次全振动，则振子的周期T＝0.2 s。 (2)振子经过平衡位置时开始计时，故t＝0时刻，位移是0，经周期，振子的位移为负向最大，故振子的位移—时间图像如图所示。 (3)由位移—时间图像及ω＝＝10π rad/s可知，振子的位移公式为x＝10sin(10πt＋π)cm。 8～10题每题7分，11题8分，12题14分，共43分 8．劲度系数为20 N/cm的弹簧振子，它的振动图像如图所示，在图中A点对应的时刻，下列说法错误的是(　　) A．振子所受的弹力大小为5 N，方向指向x轴的负方向 B．振子的速度方向指向x轴的正方向 C．在0～4 s内振子做了1.75次全振动 D．在0～4 s内振子通过的路程为4 cm 答案　C 解析　由题图可知A在t轴上方，位移x＝0.25 cm，所以弹力F＝－kx＝－5 N，即弹力大小为5 N，方向指向x轴负方向，A正确；由题图可知过A点的切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，B正确；在0～4 s内经过两个周期，振子完成2次全振动，在这段时间内振子通过的路程为s＝2×4×0.5 cm＝4 cm，C错误，D正确。 9.(2023·北京市朝阳区日坛中学高二期中)如图所示，有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向最大加速度，则它的振动方程是(　　) A．x＝8×10－3sin(4πt＋) m B．x＝8×10－3sin(4πt－) m C．x＝8×10－1sin(πt＋π) m D．x＝8×10－1sin(t＋) m 答案　A 解析　由题可知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，可得ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝0.8 cm，初相位φ＝，得弹簧振子的振动方程为x＝8×10－3sin(4πt＋) m，故选A。 10．(2024·山东济宁市第一中学高二质检)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动，取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化图线为如图乙所示的正弦曲线，下列说法正确的是(　　) A．t＝0.6 s时，振子在O点右侧6 cm处 B．振子在t＝0.2 s和t＝1.0 s时的速度相同 C．t＝6.0 s时，振子的加速度方向水平向左 D．t＝1.0 s到t＝1.4 s的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大 答案　A 解析　由题图可知，振子的振幅为A＝12 cm，周期为T＝1.6 s，所以ω＝＝1.25π rad/s，结合振动图像可知，振动方程为x＝12sin(1.25πt)cm，在t＝0.6 s时，振子的位移x1＝6 cm，故A正确；由振动图像可知，t＝0.2 s时振子远离平衡位置向右运动，t＝1.0 s时振子远离平衡位置向左运动，速度方向不同，故B错误；t＝6.0 s＝3T，故此时振子到达A点，振子的加速度方向水平向右，故C错误；t＝1.0 s到t＝1.2 s的时间内振子向最大位移处运动，速度减小，加速度增大，t＝1.2 s到t＝1.4 s时间内振子从最大位移处向平衡位置运动，则速度增大，加速度减小，故D错误。 11.(2023·福建福州格致中学高二期中)如图所示为某弹簧振子的振动图像，则(　　) A．t＝0.2 s时刻，弹簧振子沿x轴正方向的加速度最大 B．振子在任意一个0.4 s内运动的路程均为20 cm C．振子的振动方程为x＝10sin πt(cm) D．振子在周期内通过的路程不可能是10 cm 答案　B 解析　在t＝0.2 s时刻，弹簧振子沿x轴正方向的位移最大，由于a＝－，则此时加速度沿x轴负方向最大，故A错误；根据对称性可知，弹簧振子开始在平衡位置时运动0.4 s后又回到平衡位置，运动路程为s＝2A＝20 cm，当开始在除平衡位置的任意位置，运动0.4 s后到达关于平衡位置的对称位置，运动路程仍为20 cm，故B正确；由图像可知，振子的振动方程为x＝Asin ωt(cm)，其中A＝10 cm，则x＝Asin ωt(cm)＝10sin t(cm)＝10sin t(cm)＝10sin t(cm)，故C错误；振子在t＝0.3 s时刻的位移为x＝5 cm，运动到t＝0.5 s时刻，位移为x＝－5 cm，因此在此过程中，振子运动的路程为10 cm，故D错误。 12．(14分)如图为A、B两质点做简谐运动的位移－时间图像。试根据图像求： (1)(3分)质点A、B的振幅和周期。 (2)(5分)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。 (3)(6分)t＝0.05 s时，A、B两质点的位移。 答案　(1)A：0.5 cm　0.4 s，B：0.2 cm　0.8 s (2)xA＝0.5sin(5πt＋π)cm　xB＝0.2sin(2.5πt＋)cm (3)－cm　0.2sin π cm 解析　(1)由题图知质点A的振幅为0.5 cm，周期为0.4 s，质点B的振幅为0.2 cm，周期为0.8 s。 (2)由图像知，质点A的初相位φA＝π，由TA＝0.4 s得ωA＝＝5π rad/s。 则质点A的位移公式为xA＝0.5sin(5πt＋π)cm。 质点B的初相位φB＝，由TB＝0.8 s得ωB＝＝2.5π rad/s。 则质点B的位移公式为xB＝0.2sin(2.5πt＋)cm。 (3)将t＝0.05 s分别代入两个关系式，得 xA＝0.5sin(5π×0.05＋π)cm＝－0.5×cm＝－ cm，xB＝0.2sin(2.5π×0.05＋)cm＝0.2sin π cm。 (9分) 13．(多选)一弹簧振子沿x轴振动，振子运动的最大位移为4 cm，振子的平衡位置位于x轴上的O点，如图所示，图中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向。图中给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图像的是(　　) A．若规定状态a时t＝0，则①可表示振子的振动图像 B．若规定状态b时t＝0，则②可表示振子的振动图像 C．若规定状态c时t＝0，则③可表示振子的振动图像 D．若规定状态d时t＝0，则④可表示振子的振动图像 答案　AD 解析　若规定振子在状态a时t＝0，此时的位移为3 cm，且向规定的正方向运动，故选项A正确；若规定振子在状态b时t＝0，此时的位移为2 cm，且向规定的负方向运动，相应的题图中初始位移不对，故选项B错误；若规定振子在状态c时t＝0，此时的位移为－2 cm，且向规定的负方向运动，相应的题图中初始位移和运动方向均不对，故选项C错误；若规定振子在状态d时t＝0，此时的位移为－4 cm，速度为零，故选项D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $