第20讲 列方程解应用题（二）：复杂问题与技巧（含不定方程初步）（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-六年级奥数培优讲义

六年级奥数培优讲义：第20讲 列方程解应用题（二）：复杂问题与技巧（含不定方程初步） 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.列方程解应用题的基本步骤 基本概念：用字母表示未知量，根据题目中的等量关系列出方程（组），求解并检验实际意义。 核心步骤： ① 审题：明确已知量、未知量及数量关系； ② 设元：设未知数（直接设元、间接设元、设辅助元）； ③ 列方程：根据等量关系列出方程（组）； ④ 解方程：求解方程（组）； ⑤ 检验：验证解是否符合实际意义（如人数、数量为正整数）； ⑥ 作答：写出答案。 2.复杂问题的关键要素 基本概念：涉及多个未知量、多个等量关系或隐含条件的应用题，需通过分析梳理关系，简化问题。 核心方法： ① 多个未知量：设“最少”的未知数（如三个量用两个未知数表示）； ② 隐含等量关系：利用“总量不变”“差不变”“比例关系”等隐含条件列方程； ③ 间接设元：当直接设元方程复杂时，设与未知量相关的中间量（如设速度求时间，设时间求路程）。 3.不定方程初步 基本概念：未知数个数多于方程个数的方程（组），小学阶段主要研究二元一次不定方程 （ 为常数，），通常求正整数解。 核心要点： ① 解的存在性：当 能被 的最大公因数整除时，方程有整数解； ② 求解方法：先化简方程，用一个未知数表示另一个未知数，再根据实际意义（如正整数、范围限制）枚举求解； ③ 常见限制条件：人数、物品数量为正整数，时间/长度为非负数等。 二、核心题型与技巧 题型1：多个未知量的复杂问题（含两种及以上量） 技巧：根据量之间的关系设最少未知数，利用“总量=各部分量之和”或“差/倍关系”列方程。 示例：鸡兔同笼进阶（三种动物：鸡、兔、九头鸟，头共30个，脚共40只，九头鸟有9头2脚），设鸡只，兔只，九头鸟只，列方程组： ，化简消元后求解。 题型2：分段计费问题 技巧：明确分段标准（如用电量、里程数的分段点），设未知数后按“各段费用之和=总费用”列方程，注意区分“未超过分段点”和“超过分段点”两种情况。 公式：总费用=第一段费用+第二段费用+...（超过部分×单价）。 题型3：比例与方程结合问题 技巧：根据比例关系设未知数（如甲:乙=3:5，设甲=3k，乙=5k），再结合等量关系（如甲+乙=总量）列方程求，进而求未知量。 题型4：不定方程的正整数解问题 技巧：先将方程化为“”的形式，根据为正整数，确定的取值范围，枚举的值并验证是否为正整数。 关键：利用“整除性”“奇偶性”缩小枚举范围（如与同奇偶，则与同奇偶）。 题型5：分段行程与工程问题（方程法） 技巧：设速度/效率或时间为未知数，利用“路程=速度×时间”“工作量=效率×时间”列方程，注意“相遇/追及的路程关系”“合作/单独的工作量关系”。 三、常见错误提醒 1.设元不合理：直接设元导致方程含多个分数或未知数，应优先设“中间量”或“与其他量关系最密切的量”（如比例问题设）。 2.等量关系找错：忽略隐含条件（如“两种商品总数量不变”“往返路程相等”），或混淆“和/差/倍”关系（如误将“甲比乙的2倍多3”列为，正确应为）。 3.不定方程忽略实际意义：未检验解是否为正整数（如“人数=2.5人”）或超出实际范围（如“购买数量为负数”）。 4.解方程计算错误：去分母漏乘、移项变号错误（如移项得，正确应为）。 5.检验步骤遗漏：求出解后未代入原题验证（如分段计费中，未知数是否超过分段点，费用是否符合题意）。 例题讲解 一、多个未知量的复杂问题 例题1：养殖场有鸡、兔、九头鸟共100只，鸡1头2脚，兔1头4脚，九头鸟9头2脚，头共180个，脚共260只。求三种动物各多少只？ 答案：鸡60只，兔30只，九头鸟10只 解析：设鸡只，兔只，九头鸟只，列方程组： ①-②得，代入①得，代入③得，联立解得，。 跟踪练习1：三种水果共10斤，苹果每斤5元，香蕉每斤3元，橘子每斤2元，共花费34元，香蕉比橘子多2斤。求三种水果各多少斤？ 答案：苹果2斤，香蕉4斤，橘子2斤 解析：设橘子斤，则香蕉斤，苹果斤。列方程： 二、分段计费问题 例题2：某市居民电费标准：每月用电≤50度，每度0.5元；超过50度部分，每度0.8元。小明家上月电费41元，求用电量。 答案：70度 解析：设用电量度，因，故。列方程： 。 跟踪练习2：出租车收费：3公里内8元，超过3公里后每公里1.5元（不足1公里按1公里算）。小红付14元，求最大行驶里程。 答案：7公里 解析：设里程公里，。列方程：。 三、不定方程初步 例题3：用100元买笔记本和钢笔共30件，笔记本每本2元，钢笔每支5元，求购买方案数。 答案：4种 解析：设笔记本本，钢笔支，列方程： 由①得，代入②得，需为正整数且。枚举得（）、（）、（）、（），共4种方案。 跟踪练习3：用50元买A、B两种零食，A每包4元，B每包6元，钱刚好用完。求购买方案数。 答案：4种（A=11,B=1；A=8,B=3；A=5,B=5；A=2,B=7） 解析：设A包，B包，方程。，为正奇数且，枚举得，对应。 四、复杂行程问题 例题4：甲、乙两车从A、B相向而行，甲速40km/h，乙速60km/h，甲先出发1小时，相遇时甲比乙少行60km，求A、B距离。 答案：540km 解析：设乙行驶小时后相遇，甲行驶小时。列方程： 。总距离=甲路程+乙路程=40×6+60×5=240+300=540km。 跟踪练习4：甲在乙前方50km，同向而行，甲速30km/h，乙速50km/h，乙出发后几小时追上甲？ 答案：2.5小时 解析：设乙出发小时追上甲，列方程：。 提升练习 1．14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重5克。问：大、中、小号钢珠各有多少个？ 【答案】3个；3个；8个 【分析】本题可以列方程来解决。设大号钢珠有x个，中号钢珠有y个，则小号钢珠有（14－x－y）个。然后根据大号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重5克，共重100克，即可列出方程。最后再根据x、y一定是正整数即可求解。 【详解】解：设大号钢珠有x个，中号钢珠有y个，则小号钢珠有（14－x－y）个。 化简为： 因为x、y一定是正整数， 所以解得 小号钢珠：（个） 答：大号钢珠有3个，中号钢珠有3个，则小号钢珠有8个。 2．袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是43.问：小明最多摸出几个标有数字2的球？ 【答案】5个 【分析】本题可以用方程来解决。设摸出x个标有数字2的球，y个标有数字3的球，（12－x－y）个标有数字5的球。然后根据这12个球的数字之和是43即可列出方程。最后再根据x、y一定是正整数即可求解。 【详解】解：设摸出x个标有数字2的球，y个标有数字3的球，（12－x－y）个标有数字5的球。 化简为： 因为x、y一定是正整数， 所以解得：或或。 因此x最大为5。 答：小明最多摸出5个标有数字2的球。 3．将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组。已知甲乙丙的平均年龄分为37，23，41.甲乙两组人合起来的平均年龄为29；乙丙两组人合起来的平均年龄为33.则这一群人的平均年龄是多少？ 【答案】34岁 【分析】平均年龄的计算公式是总年龄除以总人数。设甲组的人数为A，乙组为B，丙组为C，总人数是A ＋ B ＋ C。总年龄＝甲组总年龄 ＋ 乙组总年龄 ＋ 丙组总年龄。根据已知甲乙丙的平均年龄分为37，23，41，得出以下数量关系式： 甲组总年龄 ＝ 乙组总年龄 ＝ 丙组总年龄 ＝ 全体总年龄 ＝ 37A＋23B＋41C 根据甲乙两组人合起来的平均年龄为29；乙丙两组人合起来的平均年龄为33，得出以下数量关系式： 37A＋23B＝29（A＋B），则A∶B＝3∶4； 23B＋41C＝33（B＋C），则C：B＝5：4； A∶B∶C＝3∶4∶5 设甲组的人数为3k，乙组为4k，丙组为5k。 分别计算出这群人数以及这群人则总年龄，相除即可得出平均年龄。 【详解】解：设甲组的人数为A，乙组为B，丙组为C。 37A＋23B＝29（A＋B） 37A＋23B＝29A＋29B 37A－29A＝29B－23B 8A＝6B A∶B＝3∶4 23B＋41C＝33（B＋C） 23B＋41C＝33B＋33C 41C－33C＝33B－23B 8C＝10B C：B＝5：4 A∶B∶C＝3∶4∶5 总人数 ＝ 总年龄 ＝ 408k÷12k ＝408÷12 ＝34（岁） 答：这一群人的平均年龄为34岁。 4．有100石大米，需要用牛车运到米行，米行恰巧找来了100辆牛车，牛车有大小之分，大牛车一次可以运三石，中型的牛车可以运两石，而小牛车却需要用两辆才能运一石。请问如果既要把大米运完，又要大牛车最多且每种车都用到，该如何分配牛车？ 【答案】大牛车、中型的牛车、小牛车可以分别分配5辆，17辆，78辆 【分析】首先可以设大牛车用x辆，中型牛车y辆，小型牛车z辆，依题意知x＋y＋z＝100，3x＋2y＋z＝100，然后分情况讨论即可得出答案。 【详解】大牛车用x辆，中型牛车y辆，小型牛车z辆，依题意知： x＋y＋z＝100…①， 3x＋2y＋z＝100…②， ②×2－①得： 5x＝100－3y 因为5x是能被5整除的正整数，100可以被5整除，所以3y也必须能被5整除，则： y只能是＝0、5、10、15、20、25、30； 对应x＝20、17、14、11、8、5、2； 对应z＝80、78、76、74、72、70、68； 答：大牛车、中型的牛车、小牛车可以分别分配5辆，17辆，78辆。 5．今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换面10枚其他硬币。某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚。试问他在三个换币机上各换了多少次？ 【答案】甲2次，乙2次，丙8次 【解析】在甲机上换1次多1个，在乙机上换1次多3个，在丙机上换1次多9个，可以设在甲机换了x次，乙机换了y次，则丙机换了（12－x－y）次，然后列方程求解问题。 【详解】解：设在甲机换了x次，乙机换了y次，则丙机换了（12－x－y）次； 在甲机上换1次多1个，在乙机上换1次多3个，在丙机上换1次多9个，总共增加了80个； 当x＝2，y＝2时成立； 12－2－2＝8（次） 答：在甲机上换2次，在乙机上换2次，在丙机上换8次。 【点睛】本题考查的是列不定方程求解实际问题，解不定方程可以用奇偶性分析法、余数分析法。 6．在44道题目中，甲、乙、丙每个人都解出了其中的30道题，并且每一道题都有人解出来。如果只有1人解出来的题目叫做难题，三人都解出的题目叫做容易题，其余的都叫做中等题，那么这44道题中难题和容易题比较，哪一种比较多？多多少题？ 【答案】容易题多；多2道 【分析】甲、乙、丙每个人都解出了其中的30道题，相当于三人总共解出来90道题，设容易题、中等题、难题分别有a、b、c道，根据题目的数量及三人解出来的总数列方程求解。 【详解】解：设容易题、中等题、难题分别有a、b、c道； 化简得到 所以容易题比难题多，多2道； 答：容易题多，多2道。 【点睛】本题考查的是列不定方程组求解问题，关键是找出题目中的等量关系来列方程。 7．六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）．男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分．如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？ 【答案】男生：21人   女生：24人 【详解】解：设该班有x个男生和y个女生，于是有 4x+3.25y=3.6（x+y）， 化简后得8x=7y．从而全班共有学生:x+x=x 在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以x=45 推知x＝21，y=24． 答：该班有21个男生和24个女生． 8．某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子．现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子）．问：7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服？ 【答案】125套 【分析】本题仍为两个未知数，一个方程，不能有确定解．本题求套数最多，实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值． 【详解】安排甲、丁组7天都生产上衣，丙组7天全做裤子，乙组3天做上衣，4天做裤子，这样生产的套数最多，共计125套． 9．某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品．在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？ 【答案】应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵． 【分析】想用100元钱买到最多的花朵，题目中有三种花束： A种：由20朵花组成的花束价值4元 B种：由35朵花组成的花束价值6元 C种：由50朵花组成的花束每束价值9元 平均1元钱可买A种花朵5朵或B种花朵5.8朵或C种花朵5.5朵，为了买到最多的花朵，应该多买B种花束 【详解】解：经分析可知由35朵花组成的B种花束中的花朵最便宜，宜多买．由于每束6元，故100元钱可买16束，还剩4元钱，这4元钱恰好买一束由20朵花组成的A种花束，这时共买花朵：16×35+20=580（朵），若B种花束少买几束，增加A种或C种花束的数量，都不能使花朵数达到580朵． 因此，应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵． 解法二：此题也可设A种、B种、C种花束各买x束、y束、z束时，可使花朵最多，列方程：4x+6y+9z=100，x，y，z是自然数．可以先缩小字母的取值范围．例如12元能买3束A种花束或2束B种花束，分别得到60朵花和70朵花，于是很清楚在最优解中A种花束不应超过2束．同理，比较B种花束和C种花束，发现要使花朵最多，C种花束不应超过1束，即x≦2，z≦1，下面只有很少的几种情况了，可以一一列举，同样可以求得x=1，z=0，y=16 10．某校五年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人.老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，请问：你能求出既参加英语又参加数学小组的人数吗？ 【答案】2个或7个 【详解】分析与解答：根据已知条件可以画出集合图.根据已知三圆盖住的总体为49人，A=30，B=20，C=10，A∩B=X，B∩C=Y，A∩C=3，A、B、C的公共部分记为A∩B∩C=1，由逐步排除法有49＝A＋B＋C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，即： 49=30+20+10-x-y-3+1 故 x+y=9． 由于x，y都是质数，而它们的和为奇数9.因而这两个质数中必有一个偶质数2，另外由x+y=9知另一个质数为7． 答：既参加英语又参加数学小组的人为2个或7个． 11．某班四年级时、五年级时、六年级时分别评出10名三好学生，又已知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级和六年级均评上三好生5人，四、五、六年级没评过三好生的有20人，则这个班最多有几个同学，最少又有几个同学？ 【答案】最多有41人，最少有38人 【详解】解：设该班有y人，三年连续三好生有x人，由容斥原理有 y＝10＋10＋10－3－4－5＋x＋20 y＝38＋x 由于三年都连续包含在三年连续中，故0≤x≤3. y的最大值＝38＋3＝41； y的最小值＝38＋0＝38. 答：该班最多有41人，最少有38人。 12．设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少? 【答案】8 【详解】经观察不难发现其中“一”，“言”，“举”，“知”，“行”，各出现两次，其它汉字只有一次．令这五个汉字所代表的数依次为（均为正整数）， 设11个连续自然数为， 则， 即，则，且时，最大为8，11个数为1到11．可构造出“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”分别为“3，5，11，2”，“2，10，8，1”，“1，9，7，4”，“4，8，6，3”． 综上，“行”可代表的数最大为8． 13．一个家具店在1998年总共卖了213张床。起初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，最后他们每个月卖出20张床。问：他们共有多少个月是卖出25张床？ 【答案】1个 【分析】本题可以用方程来解决。设他们有x个月卖出25张床，有y个月卖出16张床，则有（12－x－y）个月卖出20张床。根据这一年一共卖出去了213张床即可列出方程。然后根据x、y都是正整数求解。 【详解】解：设他们有x个月卖出25张床，有y个月卖出16张床，则有（12－x－y）个月卖出20张床。 化简得： 因为x、y都是正整数，且一定小于12，因此 即 此时，即 答：他们有1个月卖出25张床。 14．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得7分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分。小明套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，共得了61分，小鸡最多被套中多少次？ 【答案】7次 【分析】此题含有3个未知数，这里可以设出其中两个未知数，然后得出另一个未知数，利用不定方程进行解答。设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗（10－x－y）次。根据总共得分61分即可列出关于x、y的二元一次方程，解得这个方程的整数解即可解决问题。 【详解】设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗（10－x－y）次， 7x＋5y＋2（10－x－y）＝61 7x＋5y＋20－2x－2y＝61 5x＝41－3y x＝ 因为x、y是整数，分母是5，所以3y的乘积的个位数字是必是6或1， 当y＝2时，x＝7；则10－x－y＝1，符合要求； 当y＝7时，x＝4；则10－7－4＝－1，不符合要求； 答：小鸡最多被套中7次。 15．牛奶和李子果酱被装在同样的瓶子里出售，同时商店还开展回收此类空瓶的业务。每5个空瓶可以换1瓶牛奶，每10个空瓶可以换1瓶李子果酱。谢辽沙从地窖里找到了60个空瓶，拿到商店去换物品。他每次只换回一瓶牛奶，或一瓶李子果酱，并且等把换到的牛奶或李子果酱都吃掉后，再拿空瓶去换物品。在进行了若干次交换之后，他手中只剩下了1个空瓶。问：他一共进行了多少次交换？ 【答案】次 【分析】每换回1瓶牛奶，他手中的瓶子都减少4个；而每换回1瓶李子果酱，他手中的瓶子都减少9个；题意表明，在进行了所有的交换之后，他手中的瓶子一共减少59个；可以设他换牛奶和李子果酱的次数是未知数，根据总共减少的瓶子的数量列方程求解。 【详解】解：设谢辽沙有换得牛奶，有次换得李子果酱； 由于与都是非负整数，所以，并且是4的倍数； 经过列举，知仅当时，是4的倍数，所以，是唯一解； 即一共进行了（次）交换； 答：他一共进行了11次交换。 【点睛】当一个方程中含有两个（多个）未知数时，我们称其为不定方程，求解不定方程可以根据限定条件进行枚举。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级奥数培优讲义：第20讲 列方程解应用题（二）：复杂问题与技巧（含不定方程初步） 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.列方程解应用题的基本步骤 基本概念：用字母表示未知量，根据题目中的等量关系列出方程（组），求解并检验实际意义。 核心步骤： ① 审题：明确已知量、未知量及数量关系； ② 设元：设未知数（直接设元、间接设元、设辅助元）； ③ 列方程：根据等量关系列出方程（组）； ④ 解方程：求解方程（组）； ⑤ 检验：验证解是否符合实际意义（如人数、数量为正整数）； ⑥ 作答：写出答案。 2.复杂问题的关键要素 基本概念：涉及多个未知量、多个等量关系或隐含条件的应用题，需通过分析梳理关系，简化问题。 核心方法： ① 多个未知量：设“最少”的未知数（如三个量用两个未知数表示）； ② 隐含等量关系：利用“总量不变”“差不变”“比例关系”等隐含条件列方程； ③ 间接设元：当直接设元方程复杂时，设与未知量相关的中间量（如设速度求时间，设时间求路程）。 3.不定方程初步 基本概念：未知数个数多于方程个数的方程（组），小学阶段主要研究二元一次不定方程 （ 为常数，），通常求正整数解。 核心要点： ① 解的存在性：当 能被 的最大公因数整除时，方程有整数解； ② 求解方法：先化简方程，用一个未知数表示另一个未知数，再根据实际意义（如正整数、范围限制）枚举求解； ③ 常见限制条件：人数、物品数量为正整数，时间/长度为非负数等。 二、核心题型与技巧 题型1：多个未知量的复杂问题（含两种及以上量） 技巧：根据量之间的关系设最少未知数，利用“总量=各部分量之和”或“差/倍关系”列方程。 示例：鸡兔同笼进阶（三种动物：鸡、兔、九头鸟，头共30个，脚共40只，九头鸟有9头2脚），设鸡只，兔只，九头鸟只，列方程组： ，化简消元后求解。 题型2：分段计费问题 技巧：明确分段标准（如用电量、里程数的分段点），设未知数后按“各段费用之和=总费用”列方程，注意区分“未超过分段点”和“超过分段点”两种情况。 公式：总费用=第一段费用+第二段费用+...（超过部分×单价）。 题型3：比例与方程结合问题 技巧：根据比例关系设未知数（如甲:乙=3:5，设甲=3k，乙=5k），再结合等量关系（如甲+乙=总量）列方程求，进而求未知量。 题型4：不定方程的正整数解问题 技巧：先将方程化为“”的形式，根据为正整数，确定的取值范围，枚举的值并验证是否为正整数。 关键：利用“整除性”“奇偶性”缩小枚举范围（如与同奇偶，则与同奇偶）。 题型5：分段行程与工程问题（方程法） 技巧：设速度/效率或时间为未知数，利用“路程=速度×时间”“工作量=效率×时间”列方程，注意“相遇/追及的路程关系”“合作/单独的工作量关系”。 三、常见错误提醒 1.设元不合理：直接设元导致方程含多个分数或未知数，应优先设“中间量”或“与其他量关系最密切的量”（如比例问题设）。 2.等量关系找错：忽略隐含条件（如“两种商品总数量不变”“往返路程相等”），或混淆“和/差/倍”关系（如误将“甲比乙的2倍多3”列为，正确应为）。 3.不定方程忽略实际意义：未检验解是否为正整数（如“人数=2.5人”）或超出实际范围（如“购买数量为负数”）。 4.解方程计算错误：去分母漏乘、移项变号错误（如移项得，正确应为）。 5.检验步骤遗漏：求出解后未代入原题验证（如分段计费中，未知数是否超过分段点，费用是否符合题意）。 例题讲解 一、多个未知量的复杂问题 例题1：养殖场有鸡、兔、九头鸟共100只，鸡1头2脚，兔1头4脚，九头鸟9头2脚，头共180个，脚共260只。求三种动物各多少只？ 跟踪练习1：三种水果共10斤，苹果每斤5元，香蕉每斤3元，橘子每斤2元，共花费34元，香蕉比橘子多2斤。求三种水果各多少斤？ 二、分段计费问题 例题2：某市居民电费标准：每月用电≤50度，每度0.5元；超过50度部分，每度0.8元。小明家上月电费41元，求用电量。 跟踪练习2：出租车收费：3公里内8元，超过3公里后每公里1.5元（不足1公里按1公里算）。小红付14元，求最大行驶里程。 三、不定方程初步 例题3：用100元买笔记本和钢笔共30件，笔记本每本2元，钢笔每支5元，求购买方案数。 跟踪练习3：用50元买A、B两种零食，A每包4元，B每包6元，钱刚好用完。求购买方案数。 四、复杂行程问题 例题4：甲、乙两车从A、B相向而行，甲速40km/h，乙速60km/h，甲先出发1小时，相遇时甲比乙少行60km，求A、B距离。 跟踪练习4：甲在乙前方50km，同向而行，甲速30km/h，乙速50km/h，乙出发后几小时追上甲？ 提升练习 1．14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重5克。问：大、中、小号钢珠各有多少个？ 2．袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是43.问：小明最多摸出几个标有数字2的球？ 3．将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组。已知甲乙丙的平均年龄分为37，23，41.甲乙两组人合起来的平均年龄为29；乙丙两组人合起来的平均年龄为33.则这一群人的平均年龄是多少？ 4．有100石大米，需要用牛车运到米行，米行恰巧找来了100辆牛车，牛车有大小之分，大牛车一次可以运三石，中型的牛车可以运两石，而小牛车却需要用两辆才能运一石。请问如果既要把大米运完，又要大牛车最多且每种车都用到，该如何分配牛车？ 5．今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换面10枚其他硬币。某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚。试问他在三个换币机上各换了多少次？ 6．在44道题目中，甲、乙、丙每个人都解出了其中的30道题，并且每一道题都有人解出来。如果只有1人解出来的题目叫做难题，三人都解出的题目叫做容易题，其余的都叫做中等题，那么这44道题中难题和容易题比较，哪一种比较多？多多少题？ 7．六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）．男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分．如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？ 8．某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子．现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子）．问：7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服？ 9．某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品．在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？ 10．某校五年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人.老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，请问：你能求出既参加英语又参加数学小组的人数吗？ 11．某班四年级时、五年级时、六年级时分别评出10名三好学生，又已知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级和六年级均评上三好生5人，四、五、六年级没评过三好生的有20人，则这个班最多有几个同学，最少又有几个同学？ 12．设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少? 13．一个家具店在1998年总共卖了213张床。起初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，最后他们每个月卖出20张床。问：他们共有多少个月是卖出25张床？ 14．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得7分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分。小明套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，共得了61分，小鸡最多被套中多少次？ 15．牛奶和李子果酱被装在同样的瓶子里出售，同时商店还开展回收此类空瓶的业务。每5个空瓶可以换1瓶牛奶，每10个空瓶可以换1瓶李子果酱。谢辽沙从地窖里找到了60个空瓶，拿到商店去换物品。他每次只换回一瓶牛奶，或一瓶李子果酱，并且等把换到的牛奶或李子果酱都吃掉后，再拿空瓶去换物品。在进行了若干次交换之后，他手中只剩下了1个空瓶。问：他一共进行了多少次交换？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $