08讲二次函数与一元二次方程、不等式（思维导图+知识梳理+常考题型）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 思维导图 知识梳理 01 一元二次不等式 一元二次不等式的概念 定义 一般地,我们把只含有一个_________,并且未知数的最高次数是_________的不等式,称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0 02 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.一元二次函数的零点 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使_________的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的_________. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ax2+bx+c<0(a>0)的解集 03 如何解一元二次不等式 解一元二次不等式的步骤 (1)化标准.通过对不等式变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 04 解分式不等式与高次不等式 1.分式不等式的解法 （1）； （2）且． 2.高次不等式的解法 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”， 步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 典例分析 题型一 解不含参数的一元二次不等式 一、单选题 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．不等式的解集为 . 三、解答题 3．解下列不等式 (1) (2) 4．求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 5．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 6．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 题型二 解分式不等式与高次不等式 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．不等式的解集为 . 3．不等式的解集是 . 三、解答题 4．解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10). 题型三 “三个二次”的关系 一、单选题 1．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 3．已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 4．不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 5．若不等式的解集是，则不等式的解集是 . 题型四 解含参数的一元二次不等式 一、填空题 1．已知关于x的不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 ． 二、解答题 2．解下列不等式 3．设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 题型五 一元二次不等式的实际应用 一、单选题 1．汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：，．则可判断甲、乙两车的超速现象是（   ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 2．某工人共加工300个零件，在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务，则改进操作方法前每天至少加工零件的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．如图，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点分别在上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，记的面积为． (1)设，试用表示，并求的取值范围． (2)当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 题型六 一元二次不等式在R上恒成立 一、单选题 1．不等式在上恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 三、解答题 4．已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 题型七 一元二次不等式在给定范围上恒成立 一、填空题 1．若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 2．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 3．已知“，”为假命题，则的最大值为 . 4．（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 二、解答题 5．已知，，关于x的不等式的解集为. (1)求a，b的值； (2)若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围. 题型八 一元二次不等式有解问题 一、单选题 1．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 2．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．，则的取值范围是 . 6．设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根. （1）则的取值范围是 ； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 思维导图 知识梳理 01 一元二次不等式 一元二次不等式的概念 定义 一般地,我们把只含有一个_________,并且未知数的最高次数是_________的不等式,称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0 02 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.一元二次函数的零点 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使_________的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的_________. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ax2+bx+c<0(a>0)的解集 03 如何解一元二次不等式 解一元二次不等式的步骤 (1)化标准.通过对不等式变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 04 解分式不等式与高次不等式 1.分式不等式的解法 （1）； （2）且． 2.高次不等式的解法 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”， 步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 典例分析 题型一 解不含参数的一元二次不等式 一、单选题 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对不等式进行变形，再根据二次函数性质求解. 【详解】不等式 化为 解得或 所以不等式解集是或 故选： 二、填空题 2．不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】直接求解一元二次不等式即可. 【详解】，解得或， 故解集为或. 故答案为：或. 三、解答题 3．解下列不等式 (1) (2) 【答案】 (1)； (2)； 【分析】 （1）（2）由一元二次不等式的解法求解即可； 【详解】 （1）由，即， 即， 解得：或， 所以不等式的解集为. （2）由得，即， 解得：或， 所以不等式的解集为：. 4．求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式； （2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式； （3）根据实数的性质解不等式； （4）根据根的判别式的值确定解集的形式. 【详解】（1）或. 所以所求不等式的解集为： （2）. 所以所求不等式的解集为： （3）由. 所以所求不等式的解集为： （4）因为. 由， 所以所求不等式的解集为： 5．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或. 【分析】（1）先将代入集合得到，解出集合,再按照交集和并集的运算求出和即可； （2）先由得到，再按照集合和两种情况讨论求解. 【详解】（1）将代入集合中，得到， ，， ，. （2），，， 当时，，解得； 当时，，解得，此时，要满足， 则有，，. 综合可得实数a的取值范围为或. 6．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)或 (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）将式子因式分解，即可解得； （3）将式子变形，结合完全平方式的非负性，即可得解； （4）将不等式等价转化为一元二次不等式（组），解得即可. 【详解】（1）不等式，即， 解得或， 所以不等式的解集为或 （2）不等式，即，解得， 所以不等式的解集为； （3）不等式，即， 因为恒成立， 所以不等式无解，即不等式的解集为； （4）不等式，即，等价于， 解得， 所以不等式的解集为. 题型二 解分式不等式与高次不等式 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原不等式等价为求解即可． 【详解】解不等式等价于， 解，得，结合可得． 故选：A． 二、填空题 2．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】直接解分式不等式即可. 【详解】由可得，即， 解得. 故答案为： 3．不等式的解集是 . 【答案】{或}. 【分析】整理可得，化分式为整式并结合一元二次不等式运算求解. 【详解】因为，整理可得， 等价于，解得或， 所以不等式的解集是{或}. 故答案为：{或} 三、解答题 4．解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）（2）两题用一元二次不等式解法即可求解； （3）（4）（10）三题用解分式方程的解法即可求解； （5）（8）用解绝对值不等式的解法即可求解； （6）（7）（9）解高阶不等式用穿针引线法可以求解； 【详解】（1）由，得，即， 所以，所以不等式的解集为. （2）原不等式可化为或， 所以解集为{或}. （3）由题得 由可得：或，又， 则得或，即不等式的解集为. （4）由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. （5）当，即时，，得，此时，， 当，即时，，得，此时，， 综上所述，，即不等式的解集为. （6）原不等式可化为或， 即或． 由图可知，原不等式的解集为或． （7）原不等式可化为，即， 即或，即或． 由图可知，原不等式的解集为或. （8），令，则，原不等式为：，即， 由，则或，即. （9）对于， 当时，，原不等式等价于， 等价于，解得或，即； 当时，，原不等式成立，所以是原不等式的一个解； 综上，原不等式的解集为. （10）对于，变形为，即，与同解， ，即. 题型三 “三个二次”的关系 一、单选题 1．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得和是方程的两根，由根与系数关系可得，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题可得和是方程的两根， 所以，解得， 所以不等式即， 解得或，故C正确. 故选：C. 二、多选题 2．已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 3．已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】AB 【分析】根据不等式的解集可得，是方程的根，且，可判断A；再利用韦达定理可得，从而可解BC选项中的不等式即可判断；再根据的关系判断D. 【详解】关于的不等式的解集为或， 所以，是方程的根，且，故选项A正确； 则，解得， 所以，即，解得，故选项B正确； 不等式等价于，也即， 解得或，故选项C错误； 因为，故选项D错误. 故选：AB. 4．不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等式的解集结合韦达定理即可判断. 【详解】由不等式的解集可知，故A错误； 根据韦达定理可得， 所以，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 三、填空题 5．若不等式的解集是，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由已知不等式的解集，求出的关系，代入所求不等式求解即可. 【详解】不等式的解集是， 则有，，，即，， 不等式即，得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 题型四 解含参数的一元二次不等式 一、填空题 1．已知关于x的不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，求解不等式，并分析其解集中的整数解个数，从而得到实数a的取值范围. 【详解】当时，. 若，则，即.所以关于x的不等式不止有3个整数解； 若，则，即.所以关于x的不等式不止有3个整数解. 所以. 当时，由得：. 令，则，或. 当时，，所以，则，所以不等式的解集为：或，显然不止有3个整数解. 当时，或. 若，则，则，所以不等式的解集为：. 因为，所以，.要使不等式恰有3个整数解，则这3个整数为，，，所以须使，解得. 若，则，则，所以不等式的解集为：. 因为，所以，.要使不等式恰有3个整数解，则这3个整数为1，2，3，所以须使，解得. 综上所述，实数a的取值范围是：或. 二、解答题 2．解下列不等式 【分析】 对①或， ②或,③或分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】 原不等式可化为：， 令可得： ①当或时，，则； ②当或时，，不等式无解； ③当或时，，则 综上所述， 当或时，不等式解集为； 当或时，不等式的解集为； 当或时，不等式解集为. 3．设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据二次不等式恒成立的概念，对不等式进行化简，判断对应二次函数图形的开口方向和零点个数，列出不等式，求出结果即可. （2）根据含参二次不等式的解法，先对不等式进行化简和因式分解，再对参数进行讨论，求出结果. 【详解】（1）由题意得恒成立，即恒成立， 当时，，不满足题意； 时，则， 由，解得或， 又，则， 综上，实数的取值范围为. （2）由题意得，即， 所以， ①当时，，解集为； ②当时，方程的两个根为，. 不等式的解集为； ③当时，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 综上，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 题型五 一元二次不等式的实际应用 一、单选题 1．汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：，．则可判断甲、乙两车的超速现象是（   ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），即乙车超速 2．某工人共加工300个零件，在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务，则改进操作方法前每天至少加工零件的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】设改进操作方法前每天至少要加工x个零件，由题意得，解得或（舍去）．又，所以改进操作方法前每天至少要加工9个零件． 3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂线，易得两组相似三角形，得到等式，结合分式等式的性质，得出，从而得出内接矩形的长与宽的关系式，再根据题意建立不等式，解不等式得解. 【详解】 如上图所示，过点作底的垂线，分别交于点 设矩形的另一边长为， 易知,          由三角形相似知，，所以 即，所以， 由题意，所以，即，解得, 故选：C 二、解答题 4．如图，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点分别在上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，记的面积为． (1)设，试用表示，并求的取值范围． (2)当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，S取得最小值，为2000. 【分析】（1）利用三角形相似，根据相似比得，再由及其范围列不等式求范围； （2）根据已知有，应用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即可得. 【详解】（1）依题意，得，所以，即，得， 所以，， 所以，解得； （2）由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，S取得最小值，为2000. 题型六 一元二次不等式在R上恒成立 一、单选题 1．不等式在上恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解，注意讨论的情况. 【详解】当时，不等式即恒成立，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：C 2．若，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论的取值，结合恒成立不等式和二次函数的性质求解的取值范围. 【详解】当时，不等式不恒成立，不符合题意； 当时，不等式恒成立，符合题意； 当时，由得． 故m的取值集合为． 故选； 二、多选题 3．使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内. 【详解】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.   综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. 故选：ACD. 三、解答题 4．已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 题型七 一元二次不等式在给定范围上恒成立 一、填空题 1．若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设,结合二次函数图像可得：，解不等式即可求解. 【详解】设,要使，不等式恒成立，结合二次函数图像可得：,即,解得：, 故答案为： 2．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的图像分类讨论即可. 【详解】若在恒成立，即在恒成立， 设，则该二次函数开口向上，对称轴为， 若，即，则必须有，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得，与矛盾，舍去； 若，即，则必须有，解得； 综上所述：. 故答案为：. 3．已知“，”为假命题，则的最大值为 . 【答案】 【分析】问题化为，恒成立，求右侧最小值即可得范围. 【详解】由题设知，为真命题，即，恒成立， 故只需，得，即. 故答案为：1 4．（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】（1）二次项含参数，需对是否为0进行讨论．（2）方法一：由题意函数在时的最小值大于或等于0，对对称轴位置进行分类讨论即可求解；方法二：分离参数即可求解. 【详解】（1）若，则不等式为，显然恒成立； 若对一切实数都成立， 则解得． 综上所述，当时，对一切实数都成立． （2）方法一：二次项系数大于0，在时恒成立 函数在时的最小值大于或等于0. ①若函数的图象的对称轴在给定范围左侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，结合得； ②若函数的图象的对称轴在给定范围右侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解； ③若函数的图象的对称轴在给定范围内，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解． 综合①②③，得实数的最小值为． 方法二：分离参数，知道的取值范围求的最小值，则是变量，是参数． 因为，所以，则，即． 令，则大于或等于的最大值即可． ，则．故实数的最小值为． 故答案为：（1），（2）. 二、解答题 5．已知，，关于x的不等式的解集为. (1)求a，b的值； (2)若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程根的关系，结合韦达定理求解； （2）将问题转为对一切恒成立，设，，求出的最小值即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为或，所以1和b是方程的两个实数根，且，所以，解得； （2）若不等式对一切恒成立，则不等式对一切恒成立， 由于当，， 所以对一切恒成立， 设，，所以在上单调递增，则，则，即, 所以不等式对一切恒成立，则实数k的取值范围为 题型八 一元二次不等式有解问题 一、单选题 1．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用分离参数法变形为，然后利用基本不等式求得函数的最值，即可求解. 【详解】由题可得， 又因为，当且仅当，即时取等号， 又因为不等式在上有解， 所以，故A正确． 故选：A. 2．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 3．已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 4．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 二、填空题 5．，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】考虑，和三种情况，结合二次函数图象，得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，不合要求，舍去； 当时，开口向下，满足要求； 当时，开口向上，需满足， 解得， 综上，或 故答案为：或 6．设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根. （1）则的取值范围是 ； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为 . 【答案】 ． 【分析】（1）根据题意，只需满足求解即可； （2）将分离，得到关于的不等式，令进行换元，得到关于的函数，求出该函数的单调性，根据题中条件可知，函数有解，求得该函数的最大值即可. 【详解】（1）由方程至多一个实数根需满足，其中判别式： ， 解得 即的取值范围为; （2）对于，使有解， 即在上能成立，令，则， 则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即实数的取值范围. 故答案为：（1），（2） 学科网（北京）股份有限公司 $