第2次月考滚动检测卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版）

null得(2m2+3)y2+4my-4=0. 则y1十y2 -4m 2m2+3,+x=m(y十y2)+2= 2算+ 6 2m2+3 6 -4m 六x,=x+x,=2m+30=y+42m+3 ·P(x%)在椭圆号十 3+2=1上， 12 8m 六2m+3y+(2m+3)=1, 即2m+3=4,解得m=士号 直线6的方程为x-号十1或红一号)+1， 即√2x-y-√2=0或2x十y-√2=0. 18,解：1)国为点M在年圆上，所以公-（写）中 (-9)-1.又6>0.所以6=1 当半圆在点M处的切线与直线AG平行时， △AGP的面积最大. 周为kx=号，所以k6=号-反， 又b=1,所以a=√2， 所以南线C的方程为号十2=1y>0)和2+y 2 =1(y≤0). (2)证明：由题意得C(1,W2),D(-1,W2), 是40得-2 设P(xyo)(y<0), √2-yo 即E2-”0,则l:y-臣=+ y-√2x+11 令y=0,得x= 2x0十y √2-y 即FEa+山，0小， 2-yo 又A(-1,0),B(1,0),x+=1, 所以AEI2+|BF|2 (2x。一0+1+ (W2x。+-1】 √2-yo √2-y (W2x。-2y,十√2)2+(W2x,+2y。-√2) (W2-y)2 4x6+8y8-82十4=4. (W2-y)2 19.解：(1)证明：因为圆x2+y2一2x一15=0可化为 (x-1)2+y2=16, 所以圆心M(1,0),半径|MB=4, 又因为过，点N作AM的平行线交BM于点C, 所以AM∥NC, 又因为|MA|=IMB|,所以∠BNC=∠BAM= ∠NBC,所以|CN|=|CBI, 所以|CM+|CN|=|CM+|CB|=|MB|=4> |MN=2, 所以点C的轨迹为椭圆，由椭圆定义可得点C的 就迹方程为写+营10≠0). (2②)由（①）可知点C的轨莲方程为号+号=1（≠0。 易知k≠0，设P(x1y1) (y=kx, ,消去y,得(3+4k2)x2=12, x=。12 解得 3十42， = 12k2 +42, 则OP√x十好= 1212k2 /12(1+k) 3+4级+3+级√3+4收， ,△PQR是以PQ为底边的等腰三角形， .ROLPQ,6m·ku=-1,别k如=-名 同理，OR| 12[1+(-)门 12(1+k2) 3+4(- 3k2+4 SARPQ= ×PQIXIOR 21+)× =×2× 12(1+k2) W3+4 12(1+2) √(3+4k2)(4+3k) 所以S△RPQ= 12(1+k2) √/(3+4k)(4+3k) ≥ 12(1+k) 12(1十k2)_24 3+4k2+4+3 7, 2 号1+的) 当且仅当3十4k2=4十3k2,即k=士1时取等号. (wg 第二次月考滚动检测卷 1.D由题意知点P的坐标为(-营)或（一G,一日）】 :∠RPF-60-6 a 即2ac=√3b=√3(a2-c2), 0 3e+2e-5=0,e=5或e=-3(舍去). 3 故选D. 2.C因为抛物线C的方程为y2=2px(p>0),所以 焦点F(号0，设M(x,y,由抛物线的定义.知 MF到=x+多=5，解得x=5-合因为国心是 MF的中点，所以根据中，点坐标公式，可得圆心的 横坐标为号，国的半径也为号，故该国与y轴相切 于点(0,2)，故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标 为4，即M(5-号，4，代入抛物线方程，得p- 10p+16=0,解得p=2或p=8,所以抛物线C的 标准方程为y2=4x或y2=16x.故选C. 3.B由题意得PF2=FF2=2c,设直线PF1与圆 (x-c)2十y2=c2相切于点T,则PF1⊥TF2,TF2 =c,在Rt△FTF2中，∠TF2F1=60°→PF=2√3c, 则由双曲线的定义可得PF2=PF1一2a=2√3c一 2a,所以2c=25c-2a>e=￡=B+1,故选B. 2 4.C延长F2M交PF,于Q,据题意得PM是线段 F2Q的中垂线，即|PQ|=|PF2|,由双曲线的定义 得|PF-IPF2|=|PFI-|PQ|=|QF1=8,又 线段MO是△F2FQ的中位线，所以|MO|=4.故 选C, 5.B依题意得，a=4,b=3. c=√a2+6=5. 设点P在双曲线的右支 上.如图所示， 过F2作F2D⊥AF1于点 D.易得四边形ABF,D为 矩形. AF=PF,BF2=PF21,..F DI= AFI-ADI=AFI-IBF=PF-PF2I =2a=8. 又.|FF2|=2c=10, .在Rt△FDF2中，|F2D|=√TFF2-FD =√/102-82=6， .|AB|=|F2D|=6. 故选B 6.A设圆柱的底面半径为r.依题意 C 知.最长母线与最短母线所在截面 60 如图所示。 E ∴.AB=DE=2r 从而CD=,2r=4V3 sin 60 3. 因此在椭圆中长轴长2a=43, 3 r, 短轴长2b=2r, 6 e=a-8=含r-r=r>- 3 e=台=2故选A 1 亿C由题图可设瓷盆所在椭圆的方程为君十为包 (a>b>0),所以长轴长2a=8,短轴长2b=4.所以 a=4,b=2,可得c=√a2-b=2√3，因此焦距2c= 4√3，故选C. 8.A当直线AB的斜率为0时，直线AB与抛物线 只有1个交，点，不符合题意，所以直线AB的斜率 不为0，设其方程为x=ky十m. 因为点A,B在抛物线y2=x上，所以设A(y, yA),B(yByB),所以OA·OB=yayB十yAyB=2, 解得yAyB=1或yAyB=一2.又因为A,B两点位 于x轴的两侧，所以yAyB=一2. 联立，得y一y一m=0,所以ya (x=ky+m, 一m=一2，即m=2.所以直线AB的方程为x=ky 十2.所以直线AB一定过点(2,0).故选A. 9.ACD如图，延长PF2, y FM,交于点N,则△PFN 为等腰三角形，M为FN的 中点，o-合R-号 P-P听1I=合： 2 I川P℉1-PF1.由图可知，当P在短轴端点时， ]OM取得最小值，此时|OM=0,当P在长轴端 点时，|OM取得最大值，此时|OM|=2√2，但P 不能在坐标轴上，故取不到端点值，所以|OM|的 取值范围为(0,2√2).故选ACD. 10.ABC根据题意知.l1∥x轴，所以y1=1,又P在 8物线上，所以石=子， 根据抛物线的光学性质知，PQ过焦点F, 又易知F(1,0),所以n=10=-号，故B 正确； 因为k心=一青，所以直线PQ的方程为y=一号 (x-1),与y2=4x联立，消去x得y2+3y-4 =0, 所以y1十y2=一3，y1y2=一4， 所以工，=×=1，故A正确； 4 4 1Q++(· V0+-4-识，故C正确； (与12之间的距离为|y一y2|=√(y十y)-4yy2 =5,故D错误； 故选ABC. 11.BC设P(x,y).当0<k<4时，不妨令A(-2,0), B(2,0),则PA=(-2-x,-y),PB=(2-x,-y), ..PA.PB=x2+y2-4=PAIX|PBI cos 120 =-2 PAIXIPBI.由Saw=21PA×1PBl ×sin120°=号1AB×yl=2lyl, 得2PA×PB1-4 √3 故有x+y-4=号Pi1×P=- √3 又点P在箱周上以=4答， 4-其+y-4=-g, 即4=)y-4l义.= 4k √3(4-) 依题意知0< 4k ≤E, √3(4-k) 又.0<<4,3k+4√E-43≤0， 0<≤号 当>4时，不妨令A(0,一)，B(0W), 则PA=(-x,-√E-y),PB=(-xWE-y), ∴.PA·PB=x2+y2-k=|PA|X|PB|cos120 =-2PA×1P. 由Saas=21 PAIXIPBIsin120°=|ABX |x|=√Exl, 得号PA×PB1=2Ex √3 故有父+y-k=一号1PA×1P=-2,E 3 又：点P在椭圆上，y=k- 4 r+等-6=-2E 3 即k-4)x2=2Ex 4 √3 ..lz1=8v √3(k-4) 依题意知0<8历 ≤2， √3(k-4) 又k>4,√3k-4√E-4√3≥0， .≥12. 综上，∈(0，]U[12,+o∞)，故选BC 12.解析：如图，在探照灯的轴截面 所在平面内建立平面直角坐标 系，使探照灯的顶点（即抛物线 的顶点)与原点重合，x轴垂直 于灯口直径. B 设抛物线的标准方程为y= 2px(p>0),由已知条件可得点A的坐标是(40， 30),且在抛物线上，代入方程，得302=2p·40, 解得p=5 4 故所求鹅物线的标准方程为少-号，余点坐标 是（▣0片 答案：-号x,(go) 13.解析：设点A,M,B的纵坐标分别为y1y2y3,A, M,B三点在抛物线准线上的射影分别为A',M， B,连接AA',MM,BB',AF,BF,如图所示. 由抛物线的定义，知AF到=|AA'|=y十子， IBF=BB1=为+， 所以y=AF到-=BF列-是 又M是线段AB的中点， 所以=2（十）=2(AF1+BF到-2) ≥2(1AB-2）=2a-1), 当且仅当AB过焦点F时，等号成立，即当定长为 a的弦AB过焦点F时，点M到x轴的距离最小， 最小距离为2a-1D. 答案：(2a-1) 14.解析：由题意得A(一2,0)，且直线BC的斜率不 为0. 设B(x1,y),C(x2y2),直线BC的方程为x=ny +t. 我肾+号-1. x=nyt, 得(3n2+4)y2+6nty+3t2-12=0, _3t2-12 所以+y二3m十4%3n 因为直线AB与AC的斜率之积为定值一 4 所以少 1 +2‘x4十2=一4， 所以4y1y2+(ny1+t+2)(ny2十t+2)=0, 即(n2+4)y1y2十n(t+2)(y1+y2)+(t+2)2=0, 所以t2十t-2=0, 解得t=1或t=-2. 当t=一2时，不符合题意，舍去， 所以t=1,所以直线BC恒过定点(1,0)」 答案：(1,0) 15.解：(1)直线的方程整理可得(y-1)m十x一1=0， 所以过定点P(1,1), 若直线与圆O有公共点，则点P在圆内或者圆 上，即12+1≤r2, 又r>0,所以r≥√2. (2)设弦MN的中，点为E, 则OM+ON=2OE. 由垂径定理可得MN2=4ME2=4(OM2-OE2), 所以OM+ON|≥3|MN 即OE2≥9(OM-OE2), 则100B≥45，所以0E≥号，又0B<5, 由题意知OE=一t 6 所以号≤（后 (-t2 <5 *(←-53， 2」 16.解：(1)证明：连接AB1,AC1 :点Q为线段AB的中点，四边形ABBA为矩形 A,Q,B1三点共线，且点Q为AB1的中点. 点P,Q分别为B1C1和AB1的中点， ∴.PQ∥AC 在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AC LBC, .BC⊥平面ACC1A1, 又AC1C平面ACC1A1,∴.BC⊥AC1. 又AC=AA1.四边形ACC1A1为正方形， .AC1⊥AC. AC∩BC=C,∴.AC1⊥平面ABC 而PQ∥AC1,∴.PQ⊥平面ABC. (2)以C为原点，分别以CA,CB,CC1所在直线为 x轴，y轴，之轴建立空间直角坐标系，连接AP, BQ,BP,则B(0,2,0),A1(2,0,2).设Q(xy,z). BQ=λBA1,.(x,y-2,z)=1(2,-2,2). 1x=2λ， .y=2-2x,.Q(2x,2-2入，2λ). 之=2λ， 点Q在线段A1B上运动， .平面A1PQ的法向量即为平面A1PB的法 向量. 设平面A1PB的法向量为n1=(x1y1,z1), 63 C(0,0,0),P(0,1,2), ∴.BP=(0,-1,2),PA1=(2,-1,0). p得y+22=0, n1·BP=0, 由{ n1·PA=0,2x1-y1=0. 令y1=2,得n1=(1,2,1). 设平面B1PQ的法向量为n2=(x2,y2,之2)， B1(0,2,2),.PB1=(0,1,0),B1Q=(2λ，-2λ， 2λ-2). n2·PB=0, 由 得0， n2·B1Q=0,入x2-λy2+(入-1)z2=0. 令z2=入，得n2=(1-入，0，入). 由题意得|cos(n1,n2)|= 11-λ+λ1 √6X√(1-λ)2+λ2 1 =30 V6×√22-2以+110' 91-9以十2=0，解得=号该=号 当X=}或A=号时，年面APQ与平面B,PQ 所成夫角的余这位为图。 17.解：(1)由PF1|-|PF2=2<|FF2|知，点P的 轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线的右支。 设款建B的方轻为后-芳-1≥1>0， b>0. c=2,2a=2,.b2=3, 故轨莲E的方程为x-号-1(x≥1D. 3 (2)()当直线1的斜率存在时， 设直线方程为y=k(x一2)，P 心 （x1y1),Q(x2,y2),与双曲线 方程联立消y得(k-3)x2一 4k2x+4k2+3=0. k2-3≠0， △>0， 4k2 x+=3>0, 装0 解得k2>3. MP.MQ=(x1-m)(x2-m)+yiyz =(x1-m)·(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2) =(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1十x2)+m2+4k2 =k+1)(4k+3)-4(2十m)+m2+4k k2-3 k2一3 =3-(4m+5)E+m2 k2-3 =(m2-4m-5)k2+3(1-m2) k2-3 .MP⊥MQ,.MP·MQ=0, 故得3(1-m2)十2(m2一4m一5)=0对任意的k2 >3恒成立， 11-m2=0, m2-4m-5=0, 解得m=-1. '.当m=-1时.MP⊥MQ. 当直线1的斜率不存在时，由P(2,3),Q(2,一3) 及M(-1,0)知结论也成立. 综上，当m=-1时.MPMO. (ii)由(i)知M(一1,0)，当直线1的斜率存在时， 1PQ=√1+1x,-,=61+) k2-3 点M到直线PQ的距离为d,则d=3k W1+2 ∴.SAMPQ= 1PQ1A=9W1+® 2 k2一3 9√1十k2)k k2-3 一9 (1十k)k (k2-3)2· 令k2-3=t(t>0), 则SAMPQ=9,/ 2+十1， >0Saw=9, 当直线1的斜率不存在时，SAm=号×3X6=9. 综上可知，S△MQ的最小值为9. 18.解：(1)由题意得， 层+=1 1a2=3, 解得 +品-1， 6=1, 之籍C的方程为写+y°=1。 (2)设A(x1,y1)(x1y1≠0).D(x2y2), 则B(一x1,一y1). 所以直线AB的斜率他=兰 x1 设直线AD的方程为y=kx十m,由题意知k≠0， m≠0.因为AB⊥AD,所以k=-飞 (y=kx+m, 由苦+y-1 可得(1十3k2)x2+6mkx+3m2-3 =0, 6mk 所以x十=1十3y十=&(x十)+ 2m8 所以直线BD的斜率k0=十业=一1=业】 x1十x23k3.x1’ 所以直线BD的方程为y十，=江（+2，◆y =0,得x=2x1,即M(2x1,0),可得，=-兰， x1 64 令x=0,得y=警，即N(0,警)可得： 5y1 3x1 所以®=一号即及=一是因此，存在常数入 一号俊得结论成立 19.解：1)：点（停，）和(-，-22）关于原 点对称， 椎国C必过这两点“加十品-1 当椭圆过点(0,1)时，n=1,.m=3, 此时满足m>n,符合题意. 当摧围过点（军0）时，m=含n=8, 此时m<n,不符合题意. “精圆C的方程为号十y=1。 （2)当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx +m,A(x1y1),B(x2,y2). (y=kx十m, 由g+1.得1+3张)x+6kmx+3m-3 =0, ∴x1十x2= 0一 6km .OA⊥OB, .x1x2十y1y2=x1x2+(kx1十m)·(kx2+m) =(1+2)x1x2十km(x1十x2)+m2=0, ∴.4m2=3k2+3. 原点到直线AB的距离为m=3 √1+k22 当直线AB的斜率不存在时，设其方程为x=t, 则不坊令A(,93),B(,-93)片 3 3 0A10Bf-= 2, 原应到直线AB的距离为号 (3)由(2)知，当直线AB的斜率存在时， 1AB|2=(1+k2)(x1-x2)2 =a+)[（行9广-4xm], 「/6km)2 1+3k2」： 又4m2=3k2+3, ÷1AB1=3(96士106+D=3十 12k2 9k4+6k2+1 9k+6k2+1 12 =3 9k+6+ 1 因为12 s12 98+6+层6￥61， 当且仅当9k=1 即=士时，单号成立，所以 |AB|≤2. 当直线AB的斜率不存在时，AB引=√3<2， 所以Saaa)am=号×2x写- 2=2 第三部分期考综合检测卷 期中综合检测卷 1.D根据空间两点间的距离公式，可知|AB|= √(2+3)2+(-1-4)2+(6-0)2=√86.故选D. 2.B由题意知O为圆x2十y2=1的圆心，所以易知 ∠OPQ=30°，则圆心O到直线x+y=m(m>o)的 距高等于子根据点到直线的距离公式得 √2 昌，所以m=县故选B 2 3.A MN=MA+AA+AB +B=-合(A店+AD) A AA+A店+号AD,化简得： D MN=MA +AA+AB+ B=ga店-AA=ga-c 故选A. 4.A将圆x2十y2十4x一2y一4=0化为标准方程是 (x十2)2+(y-1)2=9,故该圆的圆心坐标是(-2,1)， 半径是3.故选A. 5.C由题意知a=4,b=2,故c=√16-4=2√3，所 以F(一2√3,0)，故点F到直线x一y=0的距离 d=-23-0=6.故选C √2 6.B因为平面a的方程为2x十2y十之一7=0，所以 平面α的一个法向量为m=(2,2,1),直线1的方向 向量为n=(1,2,一2)，设直线l与平面a所成角为 9,剧sn9=com,m=贤调-3克3手故 4 选B. 7.B依题意，设AC∩ BD=O,则PO⊥平面 ABCD,因为PO⊥平 面ABCD,所以∠PAO 为PA与平面ABCD Di-- 所成角，即∠PAO= -“0 子，因为AB=2,所以 A B OA=OC=OB=√2，则PO=OA=√2，以O,点为原 点，建立空间直角坐标系如图，则C(0,√2,0)， B(√2,0,0)，D(-√2,0,0)，P(0,0,√2)，所以CD= -(2,-√2,0)，PB=(√2,0，-√2)，PC=(0,W2, GS 一√2)，设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z), P克m=2x-2z=0,令=1，则x=y=1, Pt.n=√2y-2z=0 故n=(1,1,1),所以，点D到平面PBC的距离为 in-B-2g5选R n 8.B,抛物线y2=4cx的准线方程为x=一c,它正 好经过双曲线C:二-1(@>0，b>0)的左恩 点.准线被双曲线C藏得的孩长为2,2沙= a a 号ad36=a…后=d=d+8,28=a, a 二号，双曲线C的渐近线方程为y=士号故遍 9.ABCD如图所示，取BD的中 2 点O,连接AO,CO,,正方形 ABCD沿对角线BD折成直二 面角，.以O为原，点，OC为x B D Y 轴，OD为y轴，OA为之轴，建 C 立空间直角坐标系，设OC=1, x 则A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), .AD=(0,1,-1),BC=(1,1,0).cos(AD,BC= ,.2方界西直线AD与 AD·BC 1 BC所成的角为60°，故A正确；AC=(1,0,-1), BD=(0,2,0),AC·BC=0,AC⊥BD,故B正 确；设平面ACD的一个法向量为t=(x,y,之)，则 t·AC=x-z=0, 取之=1，得t=(1,1,1),BC= t·AD=y-z=0, (1,1,0),设BC与平面ACD所成角为0，则sin0= uwdo-:-aatc正 确；平面BCD的法向量n=(0,0,1),BA=(0,1, 1),BC=(1,1,0),设平面ABC的法向量为m= |m·BA=y+之=0， (x,y,之)，则 取x=1,得m= m·BC=x十y=0, m·n 1=3 (1,-1,1),cosm,m〉=m.n=5=3, sin(m,)-写二面角A-BC-D的平面角 的正切值是√2，故D正确.故选ABCD.