第1次月考滚动检测卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版）

所以S心=号·g2.(2-k)=君 2 (4&)≥4+2一0 =4, 当且仅当一青=一，即灰=一2时取等号.所以 (S△MoN)nin=4,此时直线L的方程是2x十y-4 =0. 18.解：(1)由题意可知直线1的斜率存在，设直线1的 方程为y=k(x一4)，即x一y一4k=0,所以圆心 C(-3,1)到直线1的距离d=一3k-1-4h √k2+(-1)2 V4-(21 化简得24+7张=0，解得及=0成及=一云所以 直线1的方程为y=0或)=员一0， 即y=0或7x+24y-28=0. (2)设，点P的坐标为(m,n),不妨设直线11，l2的 方程分别为yn=k红m,y1=红一m, 即红-y十a-m=0,君-y叶n+爱=0， 因为直线11被圆C1截得的弦长与直线L2被圆C2 截得的弦长相等，两圆的半径也相等，所以圆心 C,(一3,1)到直线12的距离与圆心C2(4,5)到直 线12的距离相等， 即-3k'-1十n-'m -是-5++段 √R+(-1) 化简得(2-m-n)k'=m-n-3或(m-n十8)k =m十n一5，关于k'的方程有无穷多解，则 12-m-n=0:或” m-n+8=0, m-n-3=0 m十n-5=0, m=-, 解得 或13. 1 m=-2n=2 故满足条件的点P的坐标为 (停，-2)成(-2，) 19.解：(1)由直线l:x一√3y一4=0，得原点到直线的 距离d= 4 =2,故圆O的方程为x2+y2=4. √1+3 (2)过N作圆O的切线，切，点为Q,如图①所示， 图① 又0 则∠ONQ≥∠ONP=45°， sin∠oNQ=|89≥in∠oNP-号 2 ∴.ION|≤2√2 由点N(x0,yo)为直线y=一x十3上一动点，得 x6+y=x+(3-x)2≤8， 解得8≤，3女 (3)存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成 立，如图②所示. 设直线AB:y=kx十m(k≠ 0),直线AB与圆O的交点 为A(x1y1),B(x2,y2),联 立方程+m得1十 x2+y2=4, B k2)x2+2kmx+m2-4=0, 图② 2km 四十x21十6， 则 5-中 由∠AMO=∠BMO,得kAM+kM=O, 由M(4,0),得2kx1x2+(m-4k)(x1+x2）-8m =0, x装+m纳（行平资） -8m=0, 化简得m=一k. 此时直线AB:y=kx一k,恒过定点S(1,0). 当直线AB的斜率不存在时，由圆的对称性知直 线过S(1,0)时也满足∠AMO=∠BMO. 由此存在定，点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒 成立， 第二部分月考滚动检测卷 第一次月考滚动检测卷 1.C由题知AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1), PA=(-x,1,-z).PA⊥AB,PA⊥AC,.PA ·店-成，花-0仁28单得 2.1P-1a2》截选C 2.B由题意，分别以DA,DC,DD 所在的直线为x轴、y轴、之轴建立 如图所示的空间直角坐标系，则B (2,2,0),E(1,0,0),F(0,1,0),B (2,2,2),可得EF=(-1,1,0), EB1=(1,2,2),BB1(0,0,2). 设平面B1EF的法向量为n=(x,y,之)，则 |n·EF=-x十y=0, x=y, n·EB,=x十2y十2z=0, .尔得2=是.不坊 取y=2,则n=(2,2,一3).设B1B与平面B1EF所 成的角为0，则sin0=cos(n,BB)1=n·BB |n·BB =12×0+2X0+(-3)×2=37.故选B. W√/17X2 17 3.D由题意得，直线l的一个方向向量为PQ=(一2 -1,-2-2)=(-3,-4),则1PQ|= √(-3)2+(-4)2=5， 因光直线1的单位方向向亚为士西-士号（一3 PQ 一4)=士（停），故选D, 4.C如图所示，分别以DA,DC, D DD1所在直线为x轴、y轴、之 轴建立空间直角坐标系，设正方 MP B 体的棱长为2，则A(2,0,0), M(0,0,1),O(1,1,0),设P(2, A%-0、 m,2),.AM=(-2,0,1),OP =(1,m-1,2),.AM·OP=-2×1+0×(m-1) +1X2=0,.AM⊥OP,即AM⊥OP..直线OP 与直线AM所成的角为受.故选C. 5.B若∠AMB为直角，则M在以AB为直径的圆 上，其方程为(x-0.02)2+(y-1.56)2=8, 因为圆心距d=√0.022+1.562<2√2-1. 所以两圆内含，没有交点， 所以以∠AMB为直角的直角三角形不存在.若 ∠ABM为直角，则过，点B与直线AB垂直的直线 显然与单位圆相离.所以以∠ABM为直角的直角 三角形不存在. 若∠BAM为直角，则过，点A与直线AB垂直的直 线1：y-0.56=-(x+0.98)→x+y+0.42=0, 圆心(0,0)到直线x十y十0.42=0的距离d′= 0.42<1,所以直线1与单位圆相交，故满足题意的 √2 点有两个，故选B. 6.A设B(m,n),M(x,y),则根据中点坐标公式得 {m=2x-4,由点B在圆(x十1)2+y2=4上.将点 n=2y-3, B(2x-4,2y一3)代入圆的方程，得(2x-3)2+(2y -3-4,即(-》+(-号》广-1，故选A 7.A依题意可知，圆(x-3)2十(y十1)2=1的圆心 为(3，一1)，半径为1，且圆心到直线y=x的距离 为3+1山=22，故点P到直线y=x的距离的最 √2 大值是2J2十1.故选A. 8.B由题知，圆C:x2+y2+2x-4y十1=0的圆心 为C(一1,2)，半径r=2.设直线1与圆C的交点为 A、B,如图，过C作CD⊥AB,则经过A、B两点面 积最小的圆是以AB为直径的圆. 50 由直线1的方程为2x十y十4=0，CD⊥AB可得， ®m=7,所以CD所在直线的方程为y一2=(x 12x+y+4=0, x=- 13 5 十1)，联立 得 -2=2x+10, 即 6 y= 5 D(-9号 又圆心C到直线1的距离d=12X(-1)+2+4纠 √22+1 =45 5 所以1D=-(g-g5 5 所以以AB为直径的圆的方程为（红十号）+ (-》-选B 9.AB串二号约九何 意义是过M(x,y), 6 A N(一1，一1)两点的直线的斜 2 率.因为点M在函数y=一2x M 2本6 +8的图象上，且x∈[2,5]，所 22 B 以设该线段为AB且A(2,4), B(5,-2),如图. 因为一号=一所以≤≤， 所以的取值范围为[-日，]，故选AB x+1 10.ABC由题意可知所研究平面的法向量垂直于向 量a=(2,1,1)和向量PM,而PM=(1,2,3)-(1, 0,一1)=(0,2,4).选项A,(2,1,1)·(1,-4,2) =0,(0,2,4)·(1,一4,2)=0，满足题意，故正确； 选项B,(2,1,1)·(子，-1，）=0.0,2,4)· (朵，-1,2）=0，满足题意，故正确：选项C,(2, 1,1)·(←1，-2）=0，(0,2,4)· (1,）=0,满足题意，故正确；选项D, (2,1,1)·(0,-1,1)=0.但(0,2,4)·(0，-1,1) ≠0，故错误.故选ABC. 11.ABD还原正方体.如图所 示，设正方体棱长为2，以 E(M) DA,DC,DG所在直线分别 D 为x轴、y轴、之轴建立空间 A C y 直角坐标系，则A(2,0,0), B N(0,2,2),G(0,0,2),C(0,2,0),所以AN·GC= (-2,2,2)·(0,2,-2)=0,所以AN⊥GC,故A 正确.由于EN∥AC,所以CF与EN所成的角为 ∠FCA,而在∠FAC中，AF=FC=CA,即△FAC 是等边三角形，故∠FCA=60°，所以B正确.由于 EN∥AC,而AC与BD相交，故BD,MN不平 行，C错误.由于EB⊥BC,FB⊥BC,所以∠EBF 即是二面角E一BC一N的平面角，易得△EBF 是等腰直角三角形，所以∠EBF=45°，故D正确 故选ABD. 12.解析：根据题意，圆C1:x2十y2十2x十2y=0的标 准方程为(x十1)2十(y十1)2=2.其圆心坐标为 C1(-1,-1),半径R=W2,圆C2:x2+y2-6x+ 2y+6=0的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=4. 其圆心坐标为C2(3,一1).半径r=2.两圆的圆心 距|C,C2|=3-(-1)=4>2十√2.即两圆外离，则 公切线有4条，故答案为4. 答案：4 13.解析：易知直线m的斜率存在，设直线m的方程 为y=k(x-4),即kx一y-4k=0,设C(x,y),则 A,B,C三点到直线m的有向距离之和为 -2-4+2k-4+x二y二4=0.化简得z √1+k2√1十2”√1+2 -y-12k=0.又点C在圆x2+(y-6)2=36上， 所以直线kx一y-12k=0与圆x2+（y一6)2=36 有交点，所以-62≤6，解得-专≤≤0. √1+k 答案：[-专0] 14.解析：直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°， ∴.CC⊥BC,CC1⊥AC,AC⊥BC,如图所示，以C 为坐标原，点，分别以CA,CB,CC1所在直线为x 轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), B(0,1,0),C(0,0,0),C1(0,0,1),B1(0,1,1), A1(1,0,1),∴.BC=(0,-1,1),AB1=(-1,1,0), cos(BC,A,B)=BCAB =1 IBC1I·|A1B1 2异 面直线BC与AB:所成的角为.设平面ABC n·AB=0, 的法向量为n=(x,y,之)，则 即 n·BC1=0, 厂x十y=0取y=1,则n=(1,1,1),显然平面 -y十z=0. 51 CBC1的一个法向量为m=(1,0,0),cos(n,m）= n·m nm三g×1=3,故平面ABC与平面 CBC,的夹角的余弦值是 3 答案号号 15.解：(1)设圆心M(a,b),圆M的方程为(x一a)2+ (y-b)2=r2(r>0), 1(1-a)2+(-1-b)2=x2, 根据题意得(-1-a)2+(1-b)2=r2,解得 a+b-2=0, /a=1, b=1,故所求圆M的方程为(x一1)2+(y一1)2 r=2. =4. (2)由题易知，四边形PAMB的面积S=S△PAM十 Saaw=2 AMIIPAI+号BM·PB. AM=BMI=2.IPA=PBI, 所以S=AMIIPAI+号BMPB到=2IPA. 而|PA=√TPM-AM严=√TPM2-4, 即S=2√/TPM2-4. 因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值 即可， 即在直线3x十4y十8=0上找一点P,使得|PM 的值最小.因为当|PM|所在直线垂直于直线3x 十4y十8=0时，|PM取得最小值，所以|PMImi =13×1+4×1+81=3, √32+42 所以四边形PAMB的面积的最小值为S= 2√/TPM-4=2√32-4=2√5. 16.解：(1)圆C:x2+y2十2x-4y十m=0化为标准形 式为(x+1)2+(y-2)2=5-m,故圆C的圆心坐 标为（一1,2）.由于圆C与y轴相切，所以√5一m =1,得m=4,所以圆C的半径为1. （2)当过点P(一2,4)的直线斜率不存在时，此时 直线l的方程为x=一2.圆C的圆心（一1,2）到直 线x=一2的距离为1，所以直线l:x=一2为圆C 的切线. 当过，点P(一2,4)的直线斜率存在时，设直线方程 为y=(红十2)十4，由直线与圆相切得b+2 √k2+1 =1. 解得及=一是此时切线1的方程为y=一 x +多 综上，满足条件的切线1的方程为x=一2或y= 3 + (3)设P(x,y),则|PM2=|PCI2-|MCI2=(x +1)2+(y-2)2-1,|P02=x2+y2, 由于|PM=2|PO1,所以(x+1)2+(y-2)2-1 =4(x2+y2), 整理得(x-日)+(+号)-好， 所以点P的轨连是以（行，一号）为圆心，平为半 径的圆。 17.解：(1)证明：在△ABC中，BC=2,AC=2√2. ∠ACB=45°， 由余弦定理可得AB2=BC2十AC2-2 XBCXAC ×c0s45°=4.所以AB=2(负值舍去)， 因为AC2=AB2十BC, 所以△ABC是直角三角形.AB⊥BC 又BE⊥BC.AB∩BE=B. 所以BC⊥平面ABE. 因为AEC平面ABE.所以BC⊥AE, 因为EA⊥AC,AC∩BC=C, 所以AE⊥平面ABCD. (2)由题易得EB=2AB=4.由(1)知，BC⊥平面 ABE,所以平面BEC⊥平面ABE,如图.以B为 原点，过点B且垂直于平面BEC的直线为之轴， BE,BC所在直线分别为x,y轴，建立空间直角坐 标系Bxyz,则C(0,2,0),E(4,0,0),A(1,0,√3)， D(1,1w3), 因为EF=2FC所以F(停，专0)小 易知A0=0,10a=(合专 设平面FAD的法向量为n=(x,y,之)， 则/A5·n=0,=0, 即1 4 AF·n=0,3x+3y-3x=0, 令之=√3，则x=9,所以n=(9,0,3). 由(1)知EA⊥平面ABCD,所以EA=(-3,0,√3) 为平面ABCD的一个法向量.设平面FAD与平 面ADC的夹角为a, 则cosa=|EA·nl 24 _2√7 |EA·|nl23X2√2I 7 所以平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值 为2识 52 18.解：(1)在棱AB上存在，点E,使得AF∥平面 PCE,且E为棱AB的中点. 理由如下：如图，取PC的中点Q,连接EQ、FQ, 由题意得.FQ,/DC且FQ=CD, 因为AE∥CD且AE=2CD, 所以AE∥FQ且AE=FQ. 所以四边形AEQF为平行四边形， 所以AF∥EQ 又EQC平面PCE,AF寸平面PCE, 所以AF∥平面PCE. (2)连接BD、DE.由题意知△ABD为正三角形. 所以ED⊥AB.即ED⊥CD,又∠ADP=90°，所 以PD⊥AD,且平面ADP⊥平面ABCD,平面 ADP∩平面ABCD=AD. 所以PD⊥平面ABCD,故以D为坐标原点建立 如图所示的空间直角坐标系， 设FD=a.则由题意知F(0,0,a),C(0,2,0), B(W3,1,0), 则FC=(0,2,-a),CB=(√5，-1,0)， 设平面FBC的法向量为m=(x,y,z). |m·FC=2y-az=0, 则 m·CB=√3x-y=0, 令x=1,则y=3,2=23 a 所以m=(1w3,23) a 易知平面DFC的一个法向量n=(1,0,0),因为 二西角D一FC-B的余孩值为子，所以c0s(m, =网设-中是 、1412二4，解得a=1(负■ a 值舍去). 因为PD⊥平面ABCD,所以PB在平面ABCD 内的射影为BD, 所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角. 由题志知在R△PBD中，tam∠PBD=品 2FD-=1,所以∠PBD=45, BD 所以直线PB与平面ABCD所成的角为45°. 19.解：(1)证明：四边形AA1CC是正方形.∴.AA1⊥ AC.又，平面ABC⊥平面AA,C1C,平面ABC∩ 平面AAC1C=AC,.AA1⊥平面ABC. (2)由AC=4,BC=5,AB=3,得AC+AB2= BC2,.AB⊥AC. 建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0,0,4), B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),.BC1=(4, -3,4),BA1=(0,-3,4),BB1=(0,0,4). 设平面ACB的法向量为n1=(x1,y1,之1)，平面 B1C1B的法向量为n2=(x2y2,22). n2·BC1=4x1-3y1十4z1=0, 则 n1·BA1=-3y1+4z1=0, 令y1=4,则x1=0,之1=3，.n1=(0,4,3). |n2·BC1=4x2-3y2+4z2=0, n2·BB1=4x2=0, 令x2=3,则y2=4,.n2=(3,4,0). oxa%=-8=8 小平面AGB与平面BCB夹角的余弦值为 25 (3)证明：设，点D的竖坐标为t(0<t<4),在平面 B0CB中作DE LBC于点E,易得D(,(4-),t, “A0=(,星4-0小， 由(1)知AB=(0,3,-4), :ADLAB,.AD.AB=0,即0十9(4-)- 4 =0,解泽-票肥-品 第三章 圆锥曲线的方程 A卷基础巩固卷 1.B设椭圆的右焦点为F2,连接MF2,NO,如图 所示， 由椭圆的定义得|MF|+MF2|=10, .|MF|=2,∴.|MF2=8, 又O是F,F2的中点，N是MF1的中点， ON=2Mr,=4,故选B. 5 2.C若点M到点F1,F2的距离之和恰好为F1,F2 两点之间的距离，则，点M的轨迹不是椭圆，所以前 者不能推出后者，由椭圆的定义知，椭圆上一点到 两焦，点的距离之和为常数2a,所以后者能推出前 者.故“点M到点F1,F2的距离之和为定值”是“点 M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的必要不充 分条件，故选C. 3.A由题意，知A、C为椭圆的左、右焦点，且|AC引 =8,|AB|+|BC=10. 所以sinA+sinC=BC+|ABl=10=5 sin B AC 8 4 4.A依题意得|CA|+|CB|=10>8,∴.点C的轨迹 是以A,B为焦点的满圆设共标准方程为号十若 =1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b2=9. 又A、B、C三点不共线，点C不在x轴上，点C 的税莲方程为莞苦-1y40.就选N 5.A不妨设F(c,0),B(0,b),因此直线BF的方程 为名+若=1，即6z十cy-bc=0, 依题意得，圆心到直线BF的距离d=I0十0-bcl √6+c =→c=36,∴2=e-6=26,e==5, a2 故选A. 6.C如图所示，过点B作BM ⊥AC于点M,设|BD=x, 则AC=,从而=号， ∴.|AM=2x,|AB|=4x,因 此，|BM=2√3x, Sae=2CD1·p=7 |BM|·p =×2·=号×2×号=， p=是，解得=（负值合），故造C 7.B设线段AB的中点为M,如图 所示，1是抛物线的准线，过A点 作AA1⊥L于A1点，过M点作 MM1⊥L于M1点，交y轴于N B 点，过B点作BB1⊥U于B1点， .AF=AA,BF=BB, .lAA1|+|BB1=8. 由，点M是线段AB的中，点知， IMM.I-(1AA,I+IBB,1)-4. 2p=4,.p=2. 因此M,N=1,.MN=3,故选B.第二部分月考滚动检测卷 第一次月考滚动检测卷 [范围：第一、二章] (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,x),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为() A.（1,0,-2) B.(1,0,2) C.(-1,0,2) D.(2,0,-1) 2.如图所示，在正方体ABCD-ABCD1中，AB=2,E,F分别为AD,DC的中 D. 点，则B,B与平面B1EF所成角的正弦值为 ( A A2得 B.317 D 17 E c. D.4I7 17 幼 邻 3.已知直线1经过点P(1,2)和点Q(-2,一2)，则直线1的单位方向向量为 A.(-3,-4) B(是》 c(±号±》 D±得) 4.正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上任 意一点，则直线OP与直线AM所成的角是 ( ) A至 R骨 妇 蚁 C.2 D.与P点的位置有关 5.平面直角坐标系中，设A(一0.98,0.56)，B(1.02,2.56),点M在单位圆上，则使得△MAB为 直角三角形的点M的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 6.在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(4,3),点B是圆(x+1)2十y2=4上的动点，则线段AB 的中点M的轨迹方程是 A(e-}+-》°-1 B(-)+(-)=4 C.(x-3)2+(y-3)2=1 D.(x-3)2+(y-3)2=2 7.设P是圆(x一3)2+(y十1)2=1上的动点，则点P到直线y=x的距离的最大值为( A.2√2+1 B.√2+1 C.√10+1 D.2√2-1 8.过直线1：2x十y十4=0与圆C:x2+y2+2x一4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程为() A(++(--8 B(++-)=借 c(+)+(-》-9 D.(+)+(-- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知点Mx,)在函数y=一2x十8的图象上，当x[2,5]时，牛的取值可能为 () A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知直线l过点P(1,0,-1),其方向向量平行于向量a=(2,1,1),直线1与点M(1,2,3)在 平面a内，则平面a的法向量可能是 () A.(1,-4,2) B(经-1》 c(-1,-》 D.(0,-1,1) 11.如图所示，为一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论，其中正确的是( A.AN⊥GC G B.CF与EN所成的角为60 C.BD∥MN D.二面角E-BC-N的大小为45 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.圆C1:x2+y2+2x十2y=0和圆C2:x2+y2一6x十2y十6=0的公切线的条数为 13.定义：点M(xy)到直线l:ax十by十c=0(a2+6≠0)的有向距离为2，十6，+ .已知点 √a2+b A(-2,0),B(2,0),直线m过点P(4,0),若圆x2+(y一6)2=36上存在一点C,使得A,B,C 三点到直线m的有向距离之和为0，则直线m的斜率的取值范围是 14.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=1,则 异面直线BC1与A1B1所成角的大小为 ;平面ABC1与平面CBC1的 夹角的余弦值是 .(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点，且圆心M在x+y-2=0上. (1)求圆M的方程； (2)设点P是直线3x十4y十8=0上的动点，PA,PB是圆M的两条切线，A,B为切点，求四 边形PAMB的面积的最小值. 18 16.(15分)已知圆C:x2十y2十2x一4y十m=0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P 作圆C的切线，切点为M. (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)若点P运动到（一2,4）处，求此时切线1的方程； (3)求满足条件|PM=2|PO的点P的轨迹方程. 17.(15分)如图所示的几何体中，BE⊥BC,EA⊥AC,BC=2,AC=22, ∠ACB=45°，AD∥BC,BC=2AD. (1)求证：AE⊥平面ABCD; (2)若∠ABE=60°，点F在EC上，且满足EF=2FC,求平面FAD与平E 面ADC的夹角的余弦值. 19 18.(17分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， ∠DAB=60°，∠ADP=90°，平面ADP⊥平面ABCD,F为棱PD的 中点， --------c (1)在棱AB上是否存在一点E,使得AF∥平面PCE?并说明理由； (2)当二面角D-FC-B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所 成的角， 19.(17分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA,C1C是边长为4的正方 形，平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求证：AA1⊥平面ABC; (2)求平面ACB与平面B1C1B夹角的余弦值； A (3)证明：在线段BC1上存在点D(不与B、C1重合)，使得AD⊥A1B,并求 吧的值 20