第3章 圆锥曲线的方程 B卷能力提升卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版）

18.解：设P(x,y),则M(-4,y). 因为A(-2,0),所以AM=(-2,y),AP=(x+ 2,y), 因为AM·AP=-4,所以-2x-4+y2=-4,即 y2=2x. 所以曲线E的方程为y2=2x. (2)①若直线L的斜率不存在.则L与曲线E无公 共点，因此1的斜率存在； 若1的斜率为0，则1与曲线E只有一个公共点， 因此1的斜率不为0. 设1：y=(x十2)，k≠0， 由红+》得y-爱+4=0，所以a-是 y2=2x -16>0.解得-号<k<名且≠0. 2 设B(x1y),C(x22),则4十y=友y%=4. 因为B为线段AC的中点，所以y2=2y1 又十-云所以-品， 因北=4，所以及=+号特合-名< <号，且k≠0， 所以直钱1的方程为)=±号（十2》 ②因为，点B,D关于x轴对称，所以D(x1,一y1), 于是点D到直线1的距离为d=|x,十十2k 1+k 因为头=(x十2)，所以d=2L √1+k 又|AC|=√1+|x2+2|, 所以S=21+1,+2×2=1(x,+2) √J1+k =(停+2 2 因为yy2=4,y1十%= 所以S=|2y2+2y1=: 4 又因为-号<k<名且k≠0，因此S>8, 即△ACD面积S的取值范围为(8，十∞). 19.解：(1)依题意得，方-（合）广-是，即6=4，由渐 近线方程得，√合-5，因此a=12, 故双曲线的方程为12x2-4y2=1. (2)设直线0D的斜率为.显然®<3且是<3， 则直线OD的方程为y=x, 由121得元=12 ly=kx, 。 oD-oD-1+场- OE2=. +是 2+1 12-412k2=4: k2 &+楼+28 OD2 OE2 1+k2 十上是定值. OE OD (3)设直线n的方程为y=m(x一t),m≠士√3， 由12.x2-4y2-1, (y=m(x一t), 得(12-4m2)x2+8mtz-(4m2t2+1)=0(*), >温-语方程()港有两个不相等的解， 设M(x1y1),N(x2,y2), 则42-法 12-4m2 当x1x2>0,即m2>3时，x1,x2均为正数， a=6x>-8 且x>-3 a 6 设x1<<x2, 动根奖：会 t×28mg+2x4mt+! 整理得x。=12-4m2 2t+,8m 12-4m= 12' 12-4m2 >g壶a 1<1=叵，符合题意. 当1x2<0,即m2<3时，x1x一正一负，设x1>0, 则>x≥-3 a=6x≤-a--3 a 6 经微气兰会袋题得么品 Nx0一x2t-x2 1人1=@，符合题意. ≥将。尼。 存在直线：x=(其中，<回)使得 d 删征成主，北时。= 1 第三章圆锥曲线的方程 B卷能力提升卷 1.B抛物线y2=4x的焦点为(1,0).到双曲线x2- [片=1的一条渐近线3王二y=0的距离为 受发选B √/(3)2+(-1)2 2.C设箱国C的标准方框为号+芳-1a>6>0》. 依题意得，2a=10,∴.a=5,又c=3, ∴.b2=a2-c2=16,即b=4, 因此椭圆的短轴长是2b=8,故选C. 3.B设P(x,y),Q(x,-y), 则OP·OQ=(x,y)·(x,-y)=x2-y2=2,故 选B. 4.A设点P的横坐标为x,F（一c,0), 线段PF1的中点在y轴上， .-c十x=0,.x=c. ∴P与F2的横坐标相等，.PF2⊥x轴. ,∠PFF2=30°， IPF:I-IPFl, IPFI+IPF2I=2a,.PFI=2a a, 2a PF,L_3_3 ∴tan∠PFF,=FF,-2c3' 六号-5一后-原故选A 5.B由题意得a2=10,b2=8, .c2=a2-b2=2, 设椭圆的上顶点为B,由c<b得， ∠F1PF2≤∠FBF2<90°， 因此PF1⊥FF2,或PF2⊥FF2· 当PF⊥FF:时，PF,l==8 a√10 Sam,=2FF川PE,=合×22X是= /10 85,同显，当PR上RR时，Sm85.故 选B. 6.AFP=3FQ,点Q在 P、F之间，过Q作QM⊥l,垂 足为M,由抛物线的定义知 |QF|=|QM,设抛物线的准 线l与x轴的交点为N,则 Q |FN|=4,又易知△PQMn Mb---- △PFN,则器=品即 IQMI2 4 3 QM=,即QF=号 故选A. 7.B由题意得直线AB的方程为y=十1a>1), 当△PAB的面积取得最大值时， 设过，点P且与AB平行的切线方程为y= 1 -x十m (m≠1)， S 联立方程，得 +. 消去y,可得 1 y-ax+m, 2x2+2am.x+a2m2-a2=0, 令△=4a2m2-8(a2m2-a2)=0,得m2=2, 易知m=一√2（正值舍去），所以切线的方程为y= 二x-2,易得(0，一②)为切线上的点. a 设此时切线到直线AB的距离为d, 即(0，一√2)到直线AB的距离为d, 则d= 1√2+11 =a(W2+1) )+- 2 √a+1 又ABl=a+1,所以号AB|·d=2+1, 解得a=2,则M(-√3,0)，N(√3,0)分别为椭圆的 左、右焦点， 所以QM|+1QN|=2a=4,所以TQN+TQM= 4 (1+a)·(QM+1QNI)=1+号 +别+8别≥号， 当且仅当|QM=2|QN|时取等号.故TQN+ 0a的装小位为星 4 8A双由线-一苦-1的去、右预点分别为 A(-1,0),B1,0),又P(合小，直线PA的方程 为z-器-1，PB的方程为x=一会十1，联立 女-登1可得（器--哭-6，得0 3x2-y2=3 成y272#y27r代入x-器-1可得 36t 2t 一华中有M器7）月 27-4t’27-4 头红=一益1可释是--=0解 3x2-y2=3 得y=0成)3将y3代入2=一元 1可得4=中N2甚》 设Q(s,0),由M,N,Q三点共线，可得kw=kv, 即有yM二=yN xM一xNxN-S' 将M,N的坐标代入化简可得 -12t 12t 9-4t=-3-42=5(3-4)’ 解得s=2,即Q=(2,0), 设过Q的直线方程为x=my十2， 联主3x-)3,得(3m2-1Dy+12y十9=0， (x=my++2 设S(x1y1),T(x2y2),可得y1+y2= 12m 3m2-1’ 4%=3m4=144m2-36(3m2-1)>0恒 9 成立， 双SQ=2QT,∴y1=-2y2, -2.，144m2 (3m2-1)2-3m2-1' 部得m 可得Sa=2BQ·h-为=2l,-为 =2/0+3%)-4 - 1 =935 13 16 35 故选A. 9.ABD根据双曲线的定义，必须有k<|AB|,动点 P的轨迹才为双曲线，故A的说法不正确：，OP= 号(Oi+O丽).P为弦AB的中成，放∠AP0 90°.则动点P的轨迹为以线段AO为直径的圆，故 B的说法不正确；显然C的说法正确；过，点(0,1)作 直线，使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点， 这样的直线有3条，分别为直线x=0、y=1、y=x 十1，故D的说法不正确.故选ABD. 10.BCD P(x,y),.PFPF2=8, W(x+1)2+y2·√(x-1)2+y2=8. 因此，(x2+y2+2x+1)(x2+y2-2x+1)=64.① 令x=0,y=0,则①→1=64，不成立，A错误； 以-y代替y,则①→(x2+y2+2x十1)(x2+y2 2x十1)=64，方程不变.因此曲线E关于x轴对 称，B正确； 以-x代替x,则①→(x2+y2-2x+1)(x2+y2+ 2x十1)=64，方程不变，因此曲线E关于y轴对 称，C正确； 由①得，(x2+y2+1)2-4x2=64, 从而x2+y2+1=√/4x2+64≥x2+1, ∴.x4+2x2+1≤4x2+64→x4-2x2-63≤0→(x +7)(x2-9)≤0，又x2+7>0, x2-9≤0，.一3≤x≤3，D正确.综上所述， 选BCD. 11.ABD依题意得，|PF1|-|PF2|=2a. 又知PFI=2|PF2|, ..PF|=4a,PF2=2a. 又：|F1F2|=2c,且a<c, ∴在△PFF2中，PF2是最小的边， .∠PF1F2=30°， 58 4a2=4c2+16a2-2X2cX4ax 2 整理得c2-2√3ac+3a2=0, 即(c-√3a)2=0,.c=√3a, ∴.|F1F2|=2c=2V3a,b=√Jc2-a=√2a. 双曲线的离心率e==5a=5,A正确； a a 双曲线的渐近线方程为y=士bx=士B0x=士2， a a B正确； 根据前面的分析可知，△PFF2为直角三角形，且 ∠PF2F1=90°， 若∠PAF2=45°，则|PF2|=|AF2. 又知PF2|=2a, |AF2|=a+c=a+3a=(1十√3)a≠|PF2l, ∴.∠PAF2≠45°，C不正确； 直线x十2y-2=0,即y=-2x+1, 共外率为-日-日∈[-区w回， 直线x十2y一2=0与双曲线有两个公共点， D正确.故选ABD. 12解折：设所求的双南线方套为号-兰-A以≠0。 4 又点8,2》在双贵线上号-营-元解将=2 故双南线方短为看一苦-1 答案若苦-1 13,解析：由抛物线的焦点为F(2,0),得号=2，解得 p=4. 设抛物线y2=8x的准线为l,则1与x轴的交点 即为N(-2,0),作MP⊥l于点P,FQ⊥MP于 点Q. ∠MFO=120°，.∠MFQ=30°， ∴IMQ1=2IMFI 由抛物线的定义可知，|MF|=|MP|, &lMQ=IMP-PQ=Mr-p=含· MF, 即IMF-4=号IMF, .lMF|=8,.|MQ=4, .FQ=4√5， ÷Sae=2 NFlXIFQ1=2×4X4V5=8E, 答案：4；8√3 14,解折：不坊设复点在工轴上，则指圆的方程为十 言=1(a>b>0),焦点分别为E(-c,0).R(c,0),知 图所示 若，点M满足MF1·MF2=0,则MF1⊥MF2,可得 点M在以FF2为直径的圆上运动， ,满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆内部， ∴以FF2为直径的圆是椭圆内部的一个圆，即圆 的半径小于椭圆的短半轴长. 由此可得b>c,即√a2-c>c,解得a>√2c. 国完精围的离心率=后<号箱国离心率的 取位范国是(o,号) 答案(0号》 15.解：(1)依题意，椭圆的焦点在y轴上，设其方程为 a+=1(a>b>0). 易知c=2,a=√5， 又a2=b2+c2,∴.b=1, 戴箱国C的标准方程为芳+：-1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB的中点为 M(xoyg）, y=x+2, 借+x=1, 由 去y,得6x2十4x-1=0. 故x十=-吕 3，x1C2=一6、 则x,=-子0%=十2=3 3 所以孩AB的中点M的坐标为(-子，号)】 |AB|=√2X|x1-x2|=2X/(x1+x2)2-4x1x2 -×合+号-25 16.解：(1)因为横坐标为1的，点到焦，点的距离为3，所 以1+多=3，解得p=4, 2 所以y2=8x, 所以准线方程为x=一2. (2)显然直线1的斜率存在，设直线1的方程为y =k(x+1)(k≠0)，A(x1y1),B(x2y2）. 由y=8x, {y=k(x+1D,消去y得x+(22-8)·工+ k2=0. 59 令△=(2k2-8)2-4k>0,解得-√2<k<√2. 所以-√2<k<√2且k≠0. 由报与系数的关系得十82=1 解法一：直线BF的方程为y一兰2z一2)， -3y2 又xn=-1,所以yn=x,-2' 所以D(-1,3）, x2-2/, 因为DE∥AF,所以直线DE与直线AF的斜率 相等. -3k+3y2 又E(-4,一3k),所以 -3 x1-2 整理得=少。 y2 x1-2Tx2-2’ 即k= k(x1+1)1k(x2+1) x1-2 x2-2’ 化简得1=西十1+飞+1 x1-2x2-2’ 1=2x2-(x十x2)-4 工-2(x十x2)+4,即十x2=7. 所以8-2=7，整理得2=8， k 9 解得及=士2经检登6=士22特合随忘。 3 所以存在这样的直线L,使得DE∥AF,直线L的 方程为y=2E(x+1)或y=-22(z+1D. 3 3 解法二：因为DE∥AF,所以BA=BF， BEIBDT 所以二x=2一2 x2+4x2十1 整理得x十(x,十，)=8，即8-2=7， 2 然限得=昌。 解得-士2，经检登6-士将合随志 3 所以存在这样的直线L,使得DE∥AF,直线1的 方程为y=2,y2(x+1D或y=2y2(x十1D. 3 3 17.解：(1)由题意得，√x1D+y=5 x-3 31 则3[(x-1)2+y2]=(x-3)2, 甲2r+w=6小号+号1. 故角线C的方程为号+苦-1 (2)设直线2的方程为x=my十1，P(x,yo), A(x1y1),B(x2y2), 由m。消去， 2x2+3y2=6, 得(2m2+3)y2+4my-4=0. 则y1十y2 -4m 2m2+3,+x=m(y十y2)+2= 2算+ 6 2m2+3 6 -4m 六x,=x+x,=2m+30=y+42m+3 ·P(x%)在椭圆号十 3+2=1上， 12 8m 六2m+3y+(2m+3)=1, 即2m+3=4,解得m=士号 直线6的方程为x-号十1或红一号)+1， 即√2x-y-√2=0或2x十y-√2=0. 18,解：1)国为点M在年圆上，所以公-（写）中 (-9)-1.又6>0.所以6=1 当半圆在点M处的切线与直线AG平行时， △AGP的面积最大. 周为kx=号，所以k6=号-反， 又b=1,所以a=√2， 所以南线C的方程为号十2=1y>0)和2+y 2 =1(y≤0). (2)证明：由题意得C(1,W2),D(-1,W2), 是40得-2 设P(xyo)(y<0), √2-yo 即E2-”0,则l:y-臣=+ y-√2x+11 令y=0,得x= 2x0十y √2-y 即FEa+山，0小， 2-yo 又A(-1,0),B(1,0),x+=1, 所以AEI2+|BF|2 (2x。一0+1+ (W2x。+-1】 √2-yo √2-y (W2x。-2y,十√2)2+(W2x,+2y。-√2) (W2-y)2 4x6+8y8-82十4=4. (W2-y)2 19.解：(1)证明：因为圆x2+y2一2x一15=0可化为 (x-1)2+y2=16, 所以圆心M(1,0),半径|MB=4, 又因为过，点N作AM的平行线交BM于点C, 所以AM∥NC, 又因为|MA|=IMB|,所以∠BNC=∠BAM= ∠NBC,所以|CN|=|CBI, 所以|CM+|CN|=|CM+|CB|=|MB|=4> |MN=2, 所以点C的轨迹为椭圆，由椭圆定义可得点C的 就迹方程为写+营10≠0). (2②)由（①）可知点C的轨莲方程为号+号=1（≠0。 易知k≠0，设P(x1y1) (y=kx, ,消去y,得(3+4k2)x2=12, x=。12 解得 3十42， = 12k2 +42, 则OP√x十好= 1212k2 /12(1+k) 3+4级+3+级√3+4收， ,△PQR是以PQ为底边的等腰三角形， .ROLPQ,6m·ku=-1,别k如=-名 同理，OR| 12[1+(-)门 12(1+k2) 3+4(- 3k2+4 SARPQ= ×PQIXIOR 21+)× =×2× 12(1+k2) W3+4 12(1+2) √(3+4k2)(4+3k) 所以S△RPQ= 12(1+k2) √/(3+4k)(4+3k) ≥ 12(1+k) 12(1十k2)_24 3+4k2+4+3 7, 2 号1+的) 当且仅当3十4k2=4十3k2,即k=士1时取等号. (wg 第二次月考滚动检测卷 1.D由题意知点P的坐标为(-营)或（一G,一日）】 :∠RPF-60-6 a 即2ac=√3b=√3(a2-c2), 0第三章 圆锥曲线的方程 B卷能力提升卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1,抛物线y=4x的焦点到双曲线x2-兰=1的渐近线的距离是 () A司 B C.1 D.√3 2.已知椭圆C的两个焦点分别为F,(一3,0)，F2(3,0),点P为椭圆C上一点，且|PF|十|PF2 =10,那么椭圆C的短轴长是 () A.6 B.7 C.8 D.9 3.在平面直角坐标系Oxy中，动点P关于x轴对称的点为Q,且OP·OQ=2,则点P的轨迹方 程为 ( A.x2+y2=2 B.x2-y2=2 C.x+y2=2 D.x-y2=2 EE:分别是椭圆C十1@>6>0)的左，右焦点，点P在椭圆C上，线段P配 幼 刘 点在y轴上.若∠PFF2=30°.则椭圆C的离心率为 ( ) 弼 A号 B c D日 知E,E是椭圆0十令的两个焦点，P为椭圆上一点，且△EPP,是直角三角形 △FPF2的面积为 () 妇 A16 B85 C165或8 D.85或8 6.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 FP=3FQ,则|QF|= () A号 B号 C.3 D.2 7.已知椭圆二+y=1(a>1)的上顶点为A,左顶点为B,点P为椭圆上任意一点，△PAB面积 功 海 的最大值为5+1，若点M一3,0)，N(,0),且点Q为椭圆上任意一点，则0十QM的 最小值为 () 翩 A.2 B号 C.3 D.3+2√2 8,设A,B分别是双曲线3-背=1的左、右顶点，设过P(分)的直线PA,PB与双曲线分别交 3 于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的右支于S,T两点，且SQ=2QT, 则△BST的面积为 ( A035 B.子丽 c 25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是 () A.设A,B为两个定点，k为非零常数.|PA一|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线 B.过定圆0上一定点A作圆的动弦AB,0为坐标原点，若O户-2(OA+O,则动点P的轨 迹为椭圆 y C.若曲线C:46干11为双曲线，则<1或>4 D.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点，这样的直线有2条 10.在平面直角坐标系Oxy中，动点P到两个定点F1（一1,0)和F2(1,0)的距离之积等于8，记点 P的轨迹为曲线E.则 () A.曲线E经过坐标原点 B.曲线E关于x轴对称 C.曲线E关于y轴对称 D.若点(x,y)在曲线E上，则一3≤x≤3 山.已知乃，F,分别是双曲线1(a>0,6>0)的左，右焦点，4为左顶点，P为双曲线右支 上一点.若|PF1=2PF2|,且△PFF2的最小内角为30°，则 () A.双曲线的离心率为√3 B.双曲线的渐近线方程为y=土√2x C.∠PAF2=459 D.直线x十2y一2=0与双曲线有两个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.与双曲线号-著-1有共同的渐近线，日过点3,2》的双曲线方程为 13.已知M为抛物线y2=2px(p>0)上一点，F(2,0)为该抛物线的焦点，O为坐标原点，若 ∠MFO=120°，N(-2,0),则p= ,△MNF的面积为 ·(本题第一空2分， 第二空3分) 14.已知F1,F2是椭圆的两个焦点，满足MF,·MF2=0的点M总在椭圆的内部，则椭圆离心率 的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知椭圆C的焦点为F,(0,一2)和F2(0,2),长轴长为2√5，设直线y=x+2交椭圆 C于A,B两点： (1)求椭圆C的标准方程； (2)求弦AB的中点坐标及|AB. -26 16.(15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3. (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)过（一1,0）的直线1交抛物线C于不同的两点A,B,交直线x=一4于点E,直线BF交直 线x=一1于点D.是否存在这样的直线l,使得DE∥AF?若存在，求出直线1的方程；若不 存在，请说明理由. 17.(15分)设M,》与定点F1,0)的距离和它到直线4：z=3的距离的比是常数记点M 的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程； (2)过定点F的直线L2交曲线C于A,B两点.以O、A、B三点(O为坐标原点)为顶点作平行 四边形OAPB,若点P刚好在曲线C上，求直线L,的方程. 27 18.17分)已知半椭圆岁大飞 +=1(>0,a>b>0)和半圆x2+y=(y≤0)组成曲线C.如图所 示，半椭圆内切于矩形ABCD,CD与y轴交于点G,点P是半圆上异于A,B的任意一点.当 点P位于点M停，-号)处时，△AGP的面积最大 (1)求曲线C的方程； (2)连接PC,PD分别交AB于点E,F,求证：|AE2+IBF2为定值. 19.(17分)设圆x2+y2-2x一15=0的圆心为M,直线1过点N(-1,0)且与x轴不重合，1交圆 M于A,B两点，过点N作AM的平行线交BM于点C (1)证明|CM+CN为定值，并写出点C的轨迹方程； (2)设点C的轨迹为曲线E,直线L1:y=kx与曲线E交于P,Q两点，点R为曲线E上一点， 若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形，求△RPQ面积的最小值. —28