第2章 直线和圆的方程 A卷基础巩固卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版）

∴A店=0,2.0，PB=(1,,-）, p元-(1，，-》 设n=(x,y,z)为平面PBC的法向量， PB·n=0, +y-=0, 则 即 PC·n=0, +-9-0, 5 令x=1,得y=-2,之=-43， n=(1,-2,-4√3)， 设AB与平面PBC所成角为0. 则sin0=AB·nl 4 |AB1In2W12+(-2)2+(-4√3)2 、2 √531 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值 为253 53 19.解：(1)证明：在等边三角形SAD中，P为AD的 中点，于是SP⊥AD, 又平面SAD⊥平面ABCD, 平面SAD∩平面ABCD=AD, SPC平面SAD. 所以SP⊥平面ABCD, 所以SP是四棱锥S一ABCD的高. 设AD=m,则SP=5m 2m,S矩形ABcD=m, 所以V,m-专Saw·SP=m·m-2g, 3 所以m=2, 如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴， 过，点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线 为之轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0,0), A1,00,B1,1,0,50,0),E(30,9）, r2》, P应-（合o),P丽-（侵}， 设n1=(x1,y1,之1)是平面PEF的法向量，则 n1·PE=0, 分+ 2名1=0， 即 n1·PF=0,1 合++=0， 1 令之=1，则x1=-3,y=0,∴n1=(-3,0,1). 同理可得平面SCD的一个法向量2=（一√3,0,1）. ,'n1=n2,∴.平面PEF∥平面SCD. (2)存在.理由如下： 设AE=入AS=λ(-1,0，W3)=(-入，0，W3λ)(0≤入 ≤1)， PE=PA+AE=(1,0,0)+(-λ，0，√3) =(1-λ，0，W3λ)， PB=(1,1,0), 设平面PEB的一个法向量为m1=(x,y,之)， m1·PE=(1-λ)x+3λ.=0， 则{ m1·PB=x十y=0, 令x=√3入，则m1=(√3λ，一√3λ，λ一1)， 易知平面SAD的一个法向量m2=AB=(0,1,0), m-贤设语 因为0<A≤1，所以X= 所以存在点E,位于AS上靠近A,点的三等分，点. 第二章直线和圆的方程 A卷基础巩固卷 1.A由点到直线的距离公式可得d=5+2L=7, √12+02 故选A. 2.C因为直线AB的斜率为33-5=-3，倾斜 -1-1 角的范围是0°≤0<180°，所以倾斜角为120°，故 选C. 3.B依题意，设点P（a,1),Q(7,b),则有 α十7=2，解得=一3”从而可知直线1的斜率 b+1=-2, 为二3-1=1 7+5- 3 4.B如图所示，反射光线所在直 线与直线AB的倾斜角互补. 反射光线所在直线的斜率为及 =w=名9-2 1 -10 因此所求直线方程为y一2= 2(x-0),即2x-y十2=0.故选B. 5.B易知直线y=kx十1一定不过原点O,因为P1, P2是直线y=kx十1上不同的两点，所以OP1与 OP2不平行，因此a1b2一a2b1≠0.所以二元一次方 x十by=1,一定有唯一的一组解。 程组〈 a2x+b2y=1 6.C直线mx十y一2=0过定点A(0,2),因此点P 到直线距离的最大值为PA. .|PA|=√cos2a+(2-sina)2=√5-4sina, ∴.当sina=-1时，|PA|max=√9=3.故选C. 7.A由题意可知，圆心坐标为(2,1)，半径为1，所以 圆的标准方程为(x一2)2+(y一1)2=1. &B直线AB的针率为3二二号=-1，线段AB的 中点坐标为(1,1)，所以线段AB的垂直平分线为y =x, 解方程组y=x, 得x=-1, x-2y-1=0,符y=-1, 因此圆心坐标为（一1，一1）， 半径r=√(-1+1)2+(-1-3)2=4， 所以圆的标准方程为(x十1)2+(y+1)2=16,故 选B. 9.ABD由ax+y+1=0得y= -ax-1, 因此直线1过定点P(0,一1)， 且斜率=一a.如图所示，当 直线1由直线PA按顺时针方 向旋转到直线PB的位置时， 符合题意 易得为w-10D=2u-2二二=-号结 一2一0 合图形知，a≥2或-a≤一昌，解得u<-2成。 ≥号，故选ABD, 10.BCD如图所示，曲线y=3一√4x一x2, 即(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3,0≤x≤4)， 表示以A(2,3)为圆心，2为半径的一个下半圆， 当直线与圆相切时，圆心到直线y=x十b的距离 等于半径2， 即2-3+b1=2,解得6=1+22或6=1-22， √2 结合图形为下半圆可知，直线y=x十b经过点(0， 3)时，b取到最大值3，所以b的取值范围是1一2 √2b3,故选BCD. y↑ 0 1-22 11.BCD曲线C:x2-4x十y2-21=0可化为(x 2)2+y2=25,表示圆心为C(2,0),半径为5的圆. t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y 6)2=222-a,设d=√(x十6)2+(y-6),则t= d-222-a. d可以看作是，点M(x,y)到点N(-6,6)的距离 |MN|,如图所示，圆C上一点M到N的距离的 最大值为|CN|十5，即MN所在直线经过点C 时，dmx=|MN|mx=CN|+5,此时t取得最大 值b. C 01234567 M :|CN|=√/(2+6)+(0-6)=10，∴.dmx=10+ 5=15,∴.tmmx=152-222-a=3-a,即b=3-a, .a+b=3,∴.(a+1)+b=4. a1+6=(a++8汇a+10+时 -(+号+2）≥1 当且仅当。千=告，且a+6=3,中a=16=2 时，等号成立，故选BCD. 12.解析：，P(m,n)是直线2x十y十1=0上的任意一 点，m2十n2的几何意义为直线上的，点到原点距离 的平方， ∴m2十n2的最小值为原点到直线2x十y十1=0 的距离的平方..所求最小值为 广- 答案：号 13.解析：根据题意知直线1的斜率存在，则设直线1 的方程为y一2=k(x-3)(k<0). ◇y=0,得x=8-是A3-是） 令x=0,得y=一3k十2， .B(0,-3k+2). :Sw=2(3-号)(-3+2)=12， 化商，得(3k十2)=0，解样及=一号 故直线1的方程为y一2=一号x一3》. 即2x+3y-12=0. 答案：2x十3y-12=0 14.解析：设圆心为C,则C(1,0),由圆的性质得PC LAB,而直线PC的斜率=P=-1,因为 1·B=一1，所以直线AB的斜率为1，又直线 AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y一 (-1)=x-2,即x-y-3=0. 答案：x-y-3=0 15.解：(1)依题意得，a十1≠0. 令x=0,得y=a-2; 令y=0,得x=a-2. a+1: 直线1在两坐标轴上的截距相等， …a-2=a-2 a+1' 化简，得a(a-2)=0, 解得a=0或a=2. 因此，直线l的方程为x十y十2=0或3x十y=0. (2)直线l的方程可化为a(x-1)十x十y+2=0. 令任9。年释 x=1, y=-3. 因此直线1过定点A(1,一3). 由题意得，OA⊥l时，O点到直线l的距离最大 因此6动=号小直线1的方短为y十8=司 (x-1),即x-3y-10=0. 16,解：1由题意可知如=k如=号号-1， 又F(1,1)为AB的中点， ∴.AB所在直线的方程为y一1=1·(x-1), 即x-y=0.① 同理CA所在直线的方程为x一2y=0,② 联立①②，得A(0,0). 同理可得B(2,2),C(8,4). (2)由(1)可得B(2,2),C(8,4), 设△ABC的外接圆的方程为x2十y2+Dx十Ey+ F=0,将A,B,C的坐标代入圆的方程可得 F=0, 4+4+2D+2E+F=0, 64+16+8D+4E+F=0. D=-16, 解方程组可得E=12, F=0, .圆的方程为x2+y2-16x十12y=0. 17.解：(1)设圆M的标准方程为(x-a)2十y2=r2(a ≤0，r>0), 则圆心(a,0)到直线x十y十2√2=0的距离 为la+2② √2 a2+4=r2, 由题意得a+22l-,解得a=0或a=4区 √2 (舍去)，所以2=4， 所以圆M的标准方程为x2+y2=4. (2)设直线1的方程为y=kx十1，则圆心M到直 线1的距离为1 √2+1 1 4k+3 AB=2,4+1-2√+ 又点P(0,-2)到直线1的距离d=3 √+1 Se=AB1d=合×2√爱 k+3×3 √/k2+1 35,解得2=1，k=士1. 2 则直线1的方程为y=士x十1. 46 18.解：(1)设点P的坐标为(x,y),则由|PA= 21PB1,得√(x+4)2+y=2√(x+1)+y,平方 可得x2+y2+8x+16=4(x2+y2+2x+1), 整理得，曲线E的方程为x2十y2=4. (2)直线L的方程为y=kx一4， 依题意可得△COD为等腰直角三角形，则圆心到 良数的据系d形是-方cD=8 k=土√7 (3)由题意可知，O,Q,M,N四点共圆且在以OQ 为直径的圆上， 设Q(,分-4)，以0Q为直径的圆的方程为x(x -0+(0-台+4)=0， 即x-x+y-(受一4=0， 又M,N在曲线E:x2+y2=4上， ∴MN的方程为x+(行-4y-4=0, 即(x+)k-4(+1)=0, y+1=0, y=-1, 直线MN过定点（分，-） 19.解：(1)由题意知，圆M的半径r=4,圆心M(0,6). PA是圆的一条切线，∴∠MAP=90°. ∴.|PM=√JAM+AP2=8. (2)圆N过定点. 设P(2a,a),∠MAP=90°，.经过A,P,M三 点的圆N以MP为直径. 圆心N,2告），*径为4=2+0， 2 2 :周N的方粮为（红-a)+(-a生） 5a2-12a+36 4 即x2+y2-6y+a(-2x-y+6)=0, x=2, 由平8辉 5 =61g-号 国N过定点06和（号，号） (3)由(2)知，圆N的方程为(x-a)2+ (-生9)°-0-a+3, 4 即x2+y2-2ax-ay-6y+6a=0,① 圆M:x2+(y-6)2=16, 即x2+y2-12y+20=0.② ②-①得2ax+(a-6)y+20-6a=0, 即为直线AB的方程. 又圆心M(0,6)到直线AB的距离d= 1(a-6)×6+20-6al=16 √/(2a)2+(a-6)2√5a-12a+36 ∴.lAB|=2√r2-d=2√16-a =81- 16 5) :当a=号时，线段AB的长度有最小值 第二章直线和圆的方程 B卷能力提升卷 1.A由A、B的金标得女如=二-停，因此直线 AB的倾斜角为30°，故选A. ②A由领斜角为30知，直线的斜率，因此，其 直线方程为y一=(x十1)，化简得，3工一3y 3 十4√5=0，故选A. 3.A圆C1的圆心为C1(-1,1),设圆C2的圆心为 (a-1_b+1-1=0, 2 2 C2(a,b),依题意得 解得 b-1 a+i=-1, a=2,。又圆C,的半径与圆C的半径相等，所以 b=-2. 圆C1的方程为(x-2)2+(y十2)2=1.故选A. 4.D设圆C1、圆C,的半径分别为T1r2,圆C的方 程可化为(x一3)2+(y十2)2=1，圆C2的方程可化 为(x-7)2+(y-1)2=50-a. 由两圆相切得，CC2|=r1十r2或|CC2=r1一r2. .1C1C2|=√42+3=5， .r2十1=5或1-r2|=5→r2=4或r2=6或r2= 一4（舍去）. 因此，50-a=16或50-a=36→a=34或a=14, 故选D. |a(a-1)-2×1=0,① 5.B依题意得，2(a2-1)-6(a-1)≠0，② 解①得，a=-1或a=2, 因为a=-1适合不等式②，a=2不适合②， 所以a=一1，故选B. 6.C易知直线在x轴、y轴上的截距之和为a十b. 直线ax十by=ab(a>0,b>0)过，点(1,1)，∴.a+ 6=a6,即日+6-1 a+6=(a+b)(日+号)=2+8+号≥2+2 合·号=4，当且仅当台=合，即a=6=2时取 a b 等号. ∴.直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4. 7.A点P(a,b)在圆O内部，√a2+b<|r.由 题意知，当1⊥OP时，过点P的弦最短，此时，= 品合而4的斜率么=一云站少又 圆心0,0到直线的距离1=十云 r,.l2与圆O相离.故选A. 8.A依题意得圆C的半径，=42=4，所以圆 √/12+1平 C的方程为x2+y2=16. 因为PA,PB是圆C的两条切线， 所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直 径的圆上，设点P的坐标为(8，b),b∈R.则线段 OP的中点坐标为(4，受)，所以以OP为直径的圆 的方程为x-40+(乡)°=+（合），6ER, 化简得x2+y2-8x-by=0,b∈R,因为AB为两 圆的公共弦，所以直线AB的方程为8.x十by=16,b ∈R,即8(x-2)十by=0,所以直线AB恒过定点 (2,0).故选A. 9.ACD当a=0时，两直线方程分别为y=1和x 2,此时也满足直线相互垂直，故A说法错误；直线 的斜率k=-sina.则-1≤k≤1，即-1≤tan0≤ 1,则9[0，]U[x,故B说法正确：当x x2或y1=y2时，直线方程为x=x1或y=y1,此时 直线方程)二少=工二五不成立，故C说法错误； y2-y1x2一x1 若直线过原点，则直线方程为y=x,此时也满足条 件，故D说法错误，故选ACD. 10.BCD根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π一 a∈R,所以A不正确；当x=y=0时，xsin a十 ycos a-十1=1≠0，所以直线必不过原点，B正确； 由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为 1,所以直线总和单位圆相切，C正确；当直线和两 坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面 教为s=引sin acon2a, 1 所以D正确.故选BCD. 11.CD对于A,设之=y一x,则y=x十之，之表示直 线y=x十之的纵截距，当直线与圆(x一2)2十y2= 3有公共点时，2士≤3.解得-V6-2≤≤6 √2 一2，所以y一x的最大值为√6一2，故A说法正 确；对于B,x2十y2的几何意义是表示圆上的点到 原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则 原点到圆上的最大距离为2十√3，所以x2十y2的 最大值为(2十√)2=7+4√3，故B说法正确；对 于C,义的几何意义是表示圆上的，点与原，点连线 的斜率，则义的最大值为tan60°=√5.故C说法第二章直线和圆的方程 A卷 基础巩固卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.点(5，一3)到直线x十2=0的距离等于 A.7 B.5 C.3 D.2 2.已知点A(1,√3)，B(-一1,3√3)，则直线AB的倾斜角为 A.60% B.90° C.120 D.150° 3.若直线1与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1，一1)，则直线1的斜 率为 A号 B-3 c-是 n号 4.一束光线从点A(1,0)处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程 是 () 90 A.x+2y-2=0 B.2x-y+2=0 C.x-2y+2=0 D.2x+y-2=0 病5.已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=k.x+1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方 |a1x+b1y=1, 程组 的解的情况是 azx+b2y=1 A.无论，P1,P2如何，总是无解 B.无论，P,P2如何，总有唯一的一组解 C.存在，P1,P2,使之恰有两组解 D.存在k,P1,P2,使之有无穷多组解 6.在平面直角坐标系中，记d为点P(cosa,sina)到直线mx+y一2=0的距离，当a,m变化时， 到 d的最大值为 ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的标准方程为 ( A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y+1)2=1 C.(x-2)2+(y-1)2=5 D.(x+2)2+(y+1)2=5 8.过点A(-1,3),B(3,一1)，且圆心在直线x-2y一1=0上的圆的标准方程为 舒 A.(x+1)2+(y+1)2=4 B.(x+1)2+(y+1)2=16 C.(x-1)2+y2=13 D.(x-1)2+y2=5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设A(-2,2),B(1,1),若直线l:ax十y+1=0与线段AB有交点，则a的取值范围不可能是 ( A(-，-2引u[2,+o) B[22 C.(-∞，-2]U[,+∞) 3 D.[-2, 10.若直线y=x十b与曲线y=3一√4x一x2有公共点，则b的取值可以是 () A.-3 B.-1 C.1 D.3 11.点M(x,y)在曲线C:x2-4x十y2-21=0上运动，t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最 大值为6，若a,6是正实数，则。十名的最小值不可能为 A.1 B.2 C.3 D.4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知点P(m,n)在直线2x十y十1=0上运动.则m2+n2的最小值为 13.直线1经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点，△OAB的面积为12，则直 线1的方程为 14.若P(2,一1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知直线l:(a+1)x+y+2-a=0(a∈R), (1)若直线1在两坐标轴上的截距相等，求直线1的方程； (2)当O(0,0)点到直线1的距离最大时，求直线1的方程. 16.(15分)已知△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别是D(5,3),E(4,2),F(1,1). (1)求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标； (2)求△ABC的外接圆的方程. -10 17.(15分)已知过点P(0,-2)的圆M的圆心为(a,0)(a≤0)，且圆M与直线x十y+2√2=0 相切. (1)求圆M的标准方程； (2)若过点Q(0,D且斜幸为k的直线L交圆M于A,B两点，且△PAB的面积为3，求直线 l的方程. 18.(17分)已知两个定点A(-4,0),B(-1,0),动点P满足|PA|=2PB.设动点P的轨迹为 曲线E,直线l:y=x一4. (1)求曲线E的方程； (2)若直线1与曲线E交于不同的C,D两点，且∠COD=90°(O为坐标原点)，求直线1的 斜率； (3)若k=2,Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点为M,N,探究： 直线MN是否过定点， -11 19.(17分)已知圆M:x2十(y一6)2=16，点P是直线1：x一2y=0上的一个动点，过点P作圆M 的切线PA,PB,切点分别为A,B. (1)当切线PA的长度为4√3时，求线段PM的长度； (2)若△PAM的外接圆为圆N,试问：当点P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过，求 出所有的定点的坐标；若不过，说明理由； (3)求线段AB长度的最小值， 12