第1章 空间向量与立体几何 A卷基础巩固卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版）

参考 第一部分章未末过关检测卷 第一章空间向量与立体几何 A卷基础巩固卷 1.A设平面ABC的法向量为n=(x,y,之)，则 n·AB=0,x+2y+3z=0, 即 n·AC=0,3.x+2y+z=0, 令x=一1，则y=2,之=-1，即平面ABC的一个法 向量为n=(一1,2，一1). 2.AA(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),∴AB= (1,0,0),BC=(-1,2,-2),∴点A到直线BC的 距离为d=|AB|厅 1-(cos(AB,BC)2 =1× -(-2, 31 3.B因为OA⊥OB,OC⊥平面OAB,所以以O为原 点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OC 所在直线为之轴建立空间直角坐标系，又OA=6, OB=O℃=8，所以A(6,0,0),B(0,8,0),C(0,0,8).因 为点D,E分别为AC,AB的中点，所以D(3,0,4), E(3.4,0),因为BF=BC,所以F(0,2,6),所以 4 EF=(-3,-2,6),OD=(3,0,4),所以异面直线 EF与OD所成角的余弦值为|cos〈EF,OD)|= EF·OD o4o-9 -9十24 EF.IODI 4.B AE=(AB+BC+CE)2=AB+BC+CE+ 2AB.BC+2 AB.CE+2 BC CE=AB+BC +C市-1+1+1=3.所以A-5,故选B. 5.Aa1c,∴.a·c=2x-4+2=0,解得x=1,又 b/e合-之4-合解得y=-2,剥x十=-1 故选A. 6.A由中点坐标公式，得P(1,1,-1),所以OP= (1,1,-1),|OP|=1+1+1=√3.故选A. 7.D由题意得，A(3,3,-1),所以A'B=(-4,-2,6), 所以|A'B|=√/16+4十36=2√14，故选D. 8.A提示：如图所示，取BD的中 点O,连接AO,CO,AB=BD =DA=2,BC=CD=√2，.CO ⊥BD,AO⊥BD,且CO=1,AOB0 =√3，∴.∠AOC是二面角A一 答案 BD一C的平面角，二面角A一BD一C的平面角 为，∠A0C-要以0为原点，0C所在直线为 x轴，OD所在直线为y轴，过点O作平面BCD的 垂线为之轴，建立空间直角坐标系，则B(0,一1,0)， C10,0.D(01,0,A(-0,号}A店- (,-1,-),Ci=(-11,0),设AB与CD所 成的角为&，则cosa= IAB·CD |AB·|CD 2√2 -52 8 9.AB,平面Q,B不重合，l不在a,B内，平面a,B 的法向量平行（垂直）等价于平面Q,B平行（垂直）. A,B正确；直线1的方向向量平行（垂直）于平面 a的法向量等价于直线l垂直（平行）于平面a, C,D都错误.故选AB. 10.ABC若AA1=AD,则AD1⊥B,C,A正确；若 AB=AD,则BD1⊥AC,B正确；：AB⊥平面 AAD1D,.AB⊥AD1,C正确；，BD1和BC分 别为矩形A1DCB的对角线和边.∴.两者不可能 垂直，D错.故选ABC. 11.ABC设正方体的棱长为 z D. 1,如图，建立空间直角坐标 系，则A(1,0,0),B(1,1, 0),C(0,1,0),D(0,0,0), A1(1,0,1),B1(1,1,1), D以 C0,1,1,M(日1，)，4 1 No,》 “m=(-2-号0），0元=(0,0,1)，Ac (-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1B1=(0,1,0), .MN·CC=0,MN⊥CC,A说法正确；MN ·AC-名-司=0，MN1AC,B说法正确，易 知BD=2MN,且M、NtBD..MN∥BD,C说 1 2 =0X入， 法正确；设MN=AA1B1,得 无解， 1 2 =入， 所以MN与AB1不平行，D说法错误.故选ABC 12.解析：提示：以AB的中点O为坐 标原，点，建立如图所示的空间直角 坐标系，不妨设SA=AB=4,则M (0,-1,√3)，设C(x,y,0),由对称 A 性不妨设x>0,y<0且x2十y2= 4,则MC=(x,y十1，-3)，易知平 面SAB的一个法向量为m=(1,0,0), 据此有sina=|MC·ml x 1 MCIX Iml√+(y+1)2+3 合×[-叶0平+可≤2=8-1 当且仅当y=2√3-4时等号成立.综上可得sina 的最大值为√3-1. 答案：√3-1 13.解析：因为AB⊥BC,所以AB·BC=-0, 即1×3十5×1+（一2）z=0.所以之=4. 因为BP⊥平面ABC. 所以BP⊥AB,且BP⊥BC, 即Xx-1)+5y+(-2)×(-3)=0, 3(x-1)+y+4×(-3)=0, =9 解得 15 所以B驴=(9，-只，-3)片 7 答案：(9，-9，-3) 14.解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0), P(0,0,2),B(2,2,0),AP=(-2,0,2),E是 棱PB的中点，.E(1,1,1),设M(0,2-m,m), 则EM=(-1,1-m,m-1), .'cos(AP,EM)|= AP·EM APIIEMI 12+2(m-1) 1 2√2·√1+2(m-1)2 ，解得m=3 ； Mo,是，)PM=√需+器-5 /25+25_52 D-- B 答案5 15.证明：(1)-P萨-P元=2(pi+p)-号Pd =2PD+2(P店-P心=2PD+2c=Pi +号Di, 38 所以向量EF,PD,DA共面， 又EF中平面PAD,DA,PDC平面PAD, 所以EF∥平面PAD. (2)因为侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底 面ABCD=AD,底面ABCD是正方形，所以CD ⊥平面PAD,CD⊥PA. 设AD=1,则AD=(PD-PA)2=PD2+PA2 2P防.P,即1=3+合-2P防.Pi, 所以PD·PA=0, 所以E.PD=号(PD+DA).PD=是PA· PD-0.EF.CD-2(PD+DA).CD-0, 所以EF⊥PD,EF⊥CD,由PD,CDC平面 PCD,PD∩CD=D,可得EF⊥平面PCD. 16.证明：(1)易知(AB,BC)=120,AB,=AB+BB1, 则AB,·BC=(AB+BB1)·BC=AB·BC+ BB·BC=2×2×(-号)+2×2×号=0.所以 AB1⊥BC. (2)易知四边形AA1CC为菱形，所以ACLAC,因 为AB1·AC=(BB1-BA)·(AC-AA1) =(BB-BA).(BC-BA-AA =BB·BC-BB,·BA-BB·AA-BA·BC +BA·BA+BA·AA =BB,·BC-BB,·AA-BA.BC+BA.BA =2×2×含-4-2×2x号+4 =0. 所以AB1⊥A1C,又AC1∩AB1=A,所以AC⊥ 平面AB1C. 17.解：由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0), D(1,1,1). I)由PB=2PA得P(1,号，号)， 所以M-1,号-号)，所以PM-2 3 (2)当点P是西对角线AB的中点时，P(1,7,), 点Q在面对角线DC上运动，设点Q(a,l,a),a∈ [0,1], 则PQ=a-12+(1-）+(a-) =/2a-3a+/2a-+， 所以当口=是时，PQ取得蓑小值，此时点 Q(,) 18.解：(1)如图，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0), P(0,0,2),E(1,1,1), 所以BE=(0,1,1),PB=(1,0,-2),PD=(0,2, 一2)，设平面PBD的法向量为m=(x,y,之)，则 由m⊥PB,m⊥PD, 符m·Pi=x-2g=0, m·PD=2y-2z=0, 令2=1，得x=2,y=1,即m=(2,1,1), 所以cos(BE,m)= BE·m=2 =3 |BElm√2X√63' 设直线BE与平面PBD所成角为a, 则a-cs(B正，m1-停，即直线BE与平西 PBD所成角的正弦值为 3 (2)由(1)得PC=(2,2,-2),PB=(1,0,-2), AC=(2,2,0) 设PF=λPC(0≤A≤1)，则BF=PF-PB=APC -PB=(2λ，2入，-2λ)-(1,0，-2)=(2λ-1,2λ， 2-2λ)， BF.AC=4认-2+4以=0，解得A=, 所以点F(合》， 显然，AD=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量， 设n=(x1y1,之1)是平面FAB的法向量. 因为A=(合2)B驴-（日2》： …=名4++2=0 1 3 所以 a,晾-合+2y+=0, 1 令之1=1，则y1=一3，x1=0,所以n=(0,一3,1)， 所以c0s(AD,）=二6=-3西 2X√10101 设平面FAB与平面PAB的夹角为B, cos B=Icos(AD,n)310 10 即平面FAB与平面PAB的夹角的余弦值 为3v⑩ 101 3 19.解：(1)证明：，四边形ABEF为正方形， AF⊥EF. .∠AFD=90°，AF⊥DF, ,DF∩EF=F,DFC平面EFDC,EF中平面 EFDC, AF⊥平面EFDC,.AFC平面ABEF, .'.平面ABEF⊥平面EFDC. (2)由AF⊥DF,AF⊥EF,可得∠DFE为面DAF 和面ABEF所成角的平面角. ,四边形ABEF为正方形， ..BE∥AF,BE⊥EF, 又AF⊥平面EFDC,.BE⊥平面EFDC. ,CEC平面EFDC,.CE⊥BE. 可得∠CEF为面CBE和面ABEF所成角的平 面角， .∠DFE=∠CEF=60. ,AB∥EF.AB中平面EFDC,EFC平面EFDC, .AB∥平面EFDC, ,'平面EFDC∩平面ABCD=CD,ABC平面ABCD, .AB∥CD,.CD∥EF, 四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立 如图所示的空间直角坐标系， 设FD=a,则E(0,0,0),B(0,2a,0), C号0,9)42a,2a,0 “EB=0,2a,0),Bc=(号，-2a,a,A店 (-2a,0,0), 设平面BCE的法向量为m=(x1,y1,之1)， ym·EB=0,∫2ay=0, 0即a， m·Bc=0,2a-2ay+5。 则{ 2a之1=0， 令之=-1，则x1=3,y=0,则m=(W3,0,-1). 同理可得平面ABCD的一个法向量为n=(0W3,4), 设面BCE与面ABCD所成角的大小为B, 则9-m:hg1X3i9, 1-41=2W/19 面BCE与面ABCD所成商的余缤值为2 第一章空间向量与立体几何 B卷能力提升卷 1.B关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标和竖坐 标相反，故选B. 2.B由题意可得，a十2b=(1+2x,4,4-y),2a-b =(2-x,3,-2y-2).第一部分 章末过关检测卷 第一章 空间向量与立体几何 A卷基础巩固卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.若两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为 ( ) A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1) 2.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为 A2 B.1 C.2 D.2√2 3.如图所示，在三棱锥C-OAB中，OA⊥OB,OC⊥平面OAB,OA=6,OB=OC 中 北 扬 -8,点D,E分别为AC,AB的中点，点F在线段BC上，若BF=BC,则异面 0 直线EF与OD所成角的余弦值为 A.-号 c.-1 D.青 斯 4.如图所示，在三棱锥A一BCD中，AB⊥平面BCD,BCLCD,且AB=BC=1,CD=2,点E为 CD的中点，则AE的长为 ( 舒 阳 A.2 B.√3 C.2 D.5 5.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则x十y的值为（) A.-1 B.1 C.2 D.3 6.在空间直角坐标系中，已知M(一1,0,2)，N(3,2,一4)，则MN的中点P到坐标原点O的距离 为 () A.√3 B.√2 C.2 D.3 7.空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A'与点B(一1,1,5)间的距离为( A.6 B.2√6 C.43 D.214 8.如图所示，四边形ABCD中，AB=BD=DA=2,BC=CD=√2，现将△ABD沿 BD折起，当二面角A-BD-C的大小为时，直线AB与CD所成角的余弦值是 ( A.52 8 B.32 8 C.32 4 D② 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知v为直线1的方向向量，n1,n2分别为平面a,3的法向量(a,B不重合，l不在a,3内)，那么 下列说法中正确的有 () A.n1∥n2台a∥B B.n1⊥n2台a⊥B C.v∥n1台l∥a D.v⊥n1台l⊥a 10.已知长方体ABCD一A1B,CD1,则下列向量的数量积可以为0的是 ) A.AD1·B1C B.BD1·AC C.AB·AD D.BD1·BC 11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是BC1,CD1的中点，则下列说法正确的是 ( ) D A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知圆锥的顶点为S,O为底面中心，A,B,C为底面圆周上不重合的三点，AB为底面的 直径，SA=AB,M为SA的中点，设直线MC与平面SAB所成的角为a,则sina的最大值为 13.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则 BP= D 14.如图所示，四棱锥P一ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为2的 正方形，PD=2,E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线 EM所成的角为60°时，那么线段PM的长度是 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面 PADL底面ABCD,且PA=Pn=竖AD,若EF分到为PC,BD的中 点.求证： (1)EF∥平面PAD; (2)EF⊥平面PDC.(用向量方法证明) 16.(15分)在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求证： (1)AB1⊥BC; (2)AC⊥平面AB,C1. 17.(15分)如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间 直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上，点Q在线段DC上. A (1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时，求|PM的长度； (2)当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究 0 PQ的最小值. 一3 18.(17分)在四棱锥P一ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,P AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点. E (I)求直线EB与平面PBD所成角的正弦值； D ---1---------------0 (2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC,求平面FAB与平面PAB 夹角的余弦值 19.(17分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方 形，AF=2FD,∠AFD=90°，且面DAF与面ABEF所成的角和面CBE 与面ABEF所成的角都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC; (2)求面BCE与面ABCD所成角的余弦值.