第4章 指数函数与对数函数 A卷基础巩固卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版）

第四章 指数函数与对数函数 A卷 基础巩固卷 (时间：120分钟满分：150分) 数一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 5.下列大小关系正确的是 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 A.0.43<3°.4<1og40.3 符合题目要求的， B.0.43<1og40.3<3.4 C.log40.3<0.43<3.4 1.根式 (式中a>0)的分数指数幂的形 aa D.log40.3<3°.4<0.4 式为 6.若当x∈R时，函数f(x)=a始终满足0< A.a B.ai C.a号 D.a |f(x)≤1，则函数y=log。 的图象大致为 ) 2.函数f(）=己十g1+)的定义域是 p 邻 扬 A.(-∞，-1) B.(1,+∞) C.(-1,1)U(1,+∞) D.(-∞，十∞) 载 3.下列计算正确的是 7.已知函数f(x)=6-logx.在下列区间中， A.10g2 6-l0g23=10g23 B.1og26-log23=1 包含f(x)零点的区间是 () C.loga9=3 A.(0,1) B.(1,2) 舒 D.log3(-4)2=21og3(-4) C.(2,4) D.(4,+∞) l0g3x,x>0, 则f() 8若函数f()-1o.(2+号+小a>0a≠1) 御4.已知函数f(x) 2,x≤0， 在区间(2，+∞)内恒有f(x)>0,则f(x) 的单调递增区间为 ( A.4 B. A.(0,+∞) B.(2,+∞) C.-4 D. C.(1,+∞) 4 D.(合，+∞ 37 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 出文字说明、证明过程或演算步骤. 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 15.(13分)已知函数f(x)=a2z+2a-1(a> 分，有选错的得0分 1且a为常数)在区间[-1,1]上的最大值 9.下列各式（各式均有意义）正确的是() 为14. A.log (MN)=log M+logN (1)求f(x)的表达式； B.log.(M-N)= logM (2)求满足f(x)=7时，x的值. log N C.a÷= 1 a D.log。b=-nlogb 10.下列函数中在区间(0,1)上单调递减的是 ( A.y=x B.y=log号(x十1) C.y=|x-1| D.y=2x+1 11.已知y=x(x-1)(x +1)的图象如图所 示.令f(x)=x(x一 1)(x+1)+0.01, 则下列关于f(x)= 0的解叙述正确的是 A.有三个实根 B.当0<x<1时恰有一实根 C.当一1<x<0时恰有一实根 D.当x<一1时恰有一实根（有且仅有一实根） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.31og,2-1og,9+21og122 13.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数 g(x)满足f(x)十g(x)=a-az十2(a> 0,且a≠1).若g(2)=a,则a= f(2)= 14.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在 区间（一∞，0]上是单调减函数，则不等式 f(-1)<f(1nx)的解集是 38 16.(15分)已知函数f(x-3)=1og。6-x x 17.15分)尼知函数f)=1-2 32+1 (a>0,a≠1). (1)求函数f(x)的定义域，判断并证明 (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； f(x)的奇偶性； (2)当0<a<1时，求函数f(x)的单调 (2)用单调性定义证明函数f(x)在其定义 区间. 域上是增函数； (3)解不等式f(3m+1)+f(2m-3)<0 39 18.(17分)目前某县有100万人，经过x年后19.(17分)已知f(x)=1og2(4+1)-kx(k∈R). 为y万人.如果年平均增长率是1.2%，请 (1)设g(x)=f(x)-a,k=2,若函数g(x) 回答下列问题： 存在零点，求a的取值范围； (1)写出y关于x的函数解析式； (2)若f(x)是偶函数，设h(x)= (2)计算10年后该县的人口总数（精确到 logb·2-号b,若函数f(x)与h(x)的 0.1万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将 图象只有一个公共点，求实数b的取值 达到120万（精确到1年）. 范围. [参考数据：(1十1.2%)°≈1.127，(1+ 1.2%)15≈1.196，(1+1.2%)16≈1.210] 4071 f(0)=4a-2=2, .a=1, ·y=fx)的解析式为f(x)=(x-2)2-? 2 (2)由A)=fK)-(21-3)x=2-(1+20)x+7,对 称轴为x=1十号， 当什日<0时，即<-子时，h()在[0,1上单训递 增，h()在[0,1]上的最小值为h(0)=: 当0<+合<1时，即-合<≤号时，A(x)在[0,1]上 的最小值为h(+号）=一2-计子 当什名>1时，即>2时，h(x)在[0,1]上单调递减， h(x)在[0,1]上的最小值为h()=号-2z, ,.h(x)在[0,1]上的最小值为： 〔1 1 -2， h(x)min }-2心2 1 19.【解】(1)当0<x≤20时，y=8000, 当20<x≤40时，设BC满足的函数关系式为y=kx十b, (20k+b=800 则40k十b=400' 解得=-200，b=12000, 所以y=一200x十12000， 180000<x≤20 综上，y= -200.x+1200020<x≤40 (2)当0<x≤20时，该水果种植基地获得的利润W= (8000-2800)x=5200x≤104000， 此时该水果种植基地获得的最大利润为104000元， 当20<x≤40时，该水果种植基地获得的利润为W= (-200x+12000-2800)x=-200(x2-46x)=-200(x- 23)2+105800, 所以当x=23时，利润W取得最大值，最大值为105800 元，因为105800>104000， 所以当刘总经理采购量为23吨时，该水果种植基地在 这次买卖中所获得的利润最大， 最大利润为105800元. 第四章指数函数与对数函数 A卷基础巩固卷 1.AV√√aa。=。. 2.C要使函数f)有意义，则-0， x+1>0, 解得x>-1,且x≠1. 故函数f(x)的定义域为（一1,1）U(1,十o). 7 3.B在B选项中，1og6-1og23=log影号=log2=1,故该 选项正确， 4.Bf((日)=fog})=-2)=22= 4 5.C根据题意，由于log40.3<0,0<0.43<1<3.4,那么根据 与0,1的大小关系比较可知结论为log40.3<0.43<30.4. 6.B当x∈R时，函数f(x)=az始终满足0<|f(x)≤1.因 此，必有0<a<1. 先画出函数y=logal的图象：虚线的图象。 而备数y-16g-1b8,共园象如实线的因象 故选B. y 0 7.C由题意知f1)=9-1og1=6>0,f2)=合-10g2 =3-1=2>0, f④=4-g4=是-2=-号<0.故f2)·f④<0.由 零点存在性定理可知，包含f(x)零点的区间为(2,4)， &A令M=2+,当xG(合，+o∞)时，ME(1,+o), f(x)>0,所以a>1,所以函数y=logM为增函数，又M= (+》”-品因先M的单调递增区间为（是，+∞） 又2+号>0，所以>0或K-是所以温数f)的单 调递增区间为(0，十∞). 9.AC由对数与指数的运算性质知A、C正确. 10.BCy=l1og号(x+1)和y=|x-1|在区间(0,1)上单调 递减，y=x和y=2+1在区间(0,1)上单调递增. 11.ADf(x)的图象是将函数y=x(x-1)(x+1)的图象 向上平移0.01个单位得到的.故f(x)的图象与x轴有 三个交点，它们分别在区间(-，-1)，(0,2）和 (21)内. ，9 312 12.0原式=log23-1og9+log7(22)=l1og?98 1og71=0. 13.25因为f)是奇画数，g()是偶画数， 所以由f(x)十g(x)=ax-a-x+2,① 得-f(x)+g(x)=ax-ax+2,② ①十②，得g(x)=2,①-②，得f(x)=ar-a-x 又g(2)=a,所以a=2,所以f(x)=2r-2x, 所以f(2)=22-22=15 Γ4 14.(0,是)U(e,+∞)由已知f(x)在区间(-o,0]上是 单调减函数，在区间(0，十o∞)上是单调增函数，当lnx>0 时，f(1)<f(lnx),则1<lnx,有x>e,当lnx<0时， f(-1)<fn,则-1>1nx,有0<<。综上，不等 式f(-1)<fnx)的解集是(o,。)U(e,+o∞). 15.【解】(1)令t=ax>0,因为x∈[-1,1]，a>1,所以 g∈[日a]小)=y=+2-1=+102-2,放当i =a时，函数y取得最大值为a2十2a-1=14,求得a= 3,所以f(x)=32红+2×32-1. (2)由f(x)=7,可得32十2×3-1=7，即(3x+4)· (3x-2)=0,求得3x=2,所以x=log32. 16.【解】令x-3=,则x=u+3,于是f(w)=loga3- 3+u (a>0,a≠1，-3<u<3), 所以f)=lbea>0,a≠1，-3Ka<3. (a因为K-+fa)-loe3是+lg号 ,3十x=1og1=0, 所以f(-x)=一f(x),又定义域（一3,3）关于原点对 称，所以f(x)是奇函数. (②)令1=}2-1-3则1在(-3,3)上是增品 3-x 数，当0<a<1时，函数y=logat是减函数，所以f(x)= .8+工(0<a<1)在(-3,3)上是减函数，即函数f(x) 1oga3一x 的单调递减区间是（一3,3）. 17.(1)【证明】因为3x>0,3x+1≠0，函数f(x)的定义域 为R,f(x)=1一 23x+1-2_32-1 3x+13x+13x+11 -3-1-13=-f0. 所以f(-x)=3x+11+3 所以f(x)是定义在R上的奇函数。 (2)【证明】任取x1,x2∈R且x1<x2,则 a)-)=12-) 22 3x2+1321+1 =2(3+1)-2(32十1) 2(31-32) (33+1)(32+1)(31+1)(3+1)’ 因为x1<x2,所以31一32<0. f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在 其定义域上是增函数. (3)【解】由f(3m+1)+f(2m-3)<0得f(3m+1)< 一f(2m-3),因为函数f(x)为奇函数，所以一f(2m-3) =f(3-2m), 所以f(3m+1)<f(3-2m).由(2)已证得函数f(x)在 R上是增函数，所以f(3m十1)<f(3-2m)台3m+1<3 -2m,所以m<号 不等式f(3m+1)+f(2m-3)<0的解集为{mm<行}： .2 18.【解】(1)当x=1时，y=100+100×1.2%=100(1+ 1.2%); 当x=2时，y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)× 1.2%=100(1+1.2%)2; 当x=3时，y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)2× 1.2%=100(1+1.2%)3; … 故y关于x的函数解析式为y=100(1十1,2%)(x∈N*). (2)当x=10时，y=100×(1+1.2%)10=100×1.127≈ 112.7.故10年后该县约112.7万人. (3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1+ 12%)产=120，郎得x=168018≈15.3 根据实际意义知，大约16年后该县的人口总数将达到 120万. 19.【解】(1)由题意知函数g(x)存在零点，即f(x)=a有 解.又f(x)=1og2(4x+1)-2x =be:-le:(+)易知f在(-o,+o上 是减画数，又1+>1， 1g(1+)>0,脚f>0,所以a的取值范周是0，十o. (2)f(x)=log2(4r+1)-kx,定义域为R,f(x)为偶函 数→f(-1)=f(1)→10g2(4+1)+k=10g2(4+1)- →k=1. 检意：f(x)=1og:(4+1)-=lg:(2) 1og2(2z+2-x),则f(-x)=1og2(2-x+2x)=f(x)→ f(x)为偶函数，因为函数f(x)与h(x)的图象只有一个 公共点，所以方程f(x)=h(x)只有一个解，即2x十2r= :2-号6只有-个解，令t=2(>0),则3b-12 4L-3=0有一个正根，当6=1时，t=-3<0,不符合 4 题意，当b≠1时，若方程有两个相等的正根，则△= 46 （-4b)2-4X3(6-1)×(-3)=0且2x3(6-D>0,解 得b=一3，若方程有两个不相等实根且只有一个正根 时，因为y=3(b一1)t2-4bt一3图象恒过点(0，-3)，只 需图象开口向上，所以b一1>0即可，解得b>1,综上，b =一3或b>1,即b的取值范围是{一3}U(1,十∞). B卷能力提升卷 1.D因为1og。合-m,lg3=,所以a-2a=3. 1 所以a+n=am:a2=号×32=号 2.C因为3(x十y)=3xy不恒成立，所以选项A不满足 f(x十y)=f(x)·f(y);(x十y)3≠x3y3,所以选项B不 满足f(x十y)=f(x)·f(y); 3x·3=3x+y,所以选项C满足f(x十y)=f(x)·f(y); log3xy=log3x十log3y,所以选项D不满足f(x十y)= f(x)·f(y).