第2章 一元二次函数、方程和不等式 B卷能力提升卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版）

(2)已知a>0,6>0,且1+2=2， a b a+6=名a+6)(日+8)-(1+2+合+2)≥ 合8+2@-3号2，当且权当6=a时，取等号， 2 故a十b的最小值为3十22 2 18.【解】（函数fx)=2-(a+合）k+1, 若不等式f)<0的解集为l日<x<2, 则2和2是方程2-(a+日)z+1=0的两个实数根， a 由根与系数的关系知，宁+2=a十合，解得a=2或号 (2)a>0时，关于x的不等式f(x)≥0， 可化为x-a(a-日）≥0， 当0<a<1时a<日，解得<a或x≥； 当a=1时a=日解得z∈R: 当a>l时，a>日，解得≤合或x≥a, 综上知，0<a<1时，不等式的解集为z≤0，或≥}： a=1时，不等式的解集为R; a>1时，不等式的解条为{z≤石，或≥a}: 19.【解】(1)依题意，得y=[1.2(1十0.75x)一(1+x)]× 1000(1+0.6x) =1000(-0.06x2+0.02x+0.2), 所以本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x 的关系式为y=1000(-0.06.x2+0.02x十0.2). (2)依题意得1000(-0.06x2+0.02x十0.2)>(1.2-1)× 100,化商，得3x2-<0,解得0<x<分 所以为使本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增 加的地例x的范图是{红0<<号} B卷能力提升卷 1.C6<a<0,2<方ab>a2,由通数y=近在R上 单调递增，可得：拓<a. 当a=-1,b=-2时，a+|bl=|a+b与C矛盾. 因此只有C错误. 故选C. 2.Cp=a2-4a+3,q=a2-4a+4, 则p-q=a2-4a十3-(a2-4a+4)=3-4=-1<0, 即p<q, 故选C. 3.D≤09(z+1D(z2》≤0，且x≠-1，即z-13 x≤2}. 6 4.D:'不等式x十ax十b>0的解集为{xx≤-3，或x≥1}， |x1十x2=一a . （x1x2=b .a=2,b=-3. ∴.ab=-6. 故选D. 5.D转化为 x≤0，.fx>0, ”或 x2≥12x-1≥1. x≤-1或x≥1. 6.C①当a2-4=0,即a=±2. 当a=2时，不等式(a2-4)x2十(a-2)x-1≥0化为 一l≥0，其解集为空集，因此a=2满足题意； 当a=-2时，不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0化为 一4红一1>≥0，即x≤一是，其解集不为空条，因此a=-2 不满足题意，应舍去 ②当a2-4≠0，即a≠士2时. 关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为 空集， ÷040解得-名<a<2。 △<0 综上可得：a的取值范国是{a-吾<a≤2 故选C. 7.A'a>0,b>0,3a+b=1, :1+a+1=3a+b+a+0+也-3+合+0+1≥4+ a b b 3公·名-8当且仅当名-名中a=日6-号时取 等号， “日+古的爱小值为8故选A 8.A周为u+b++b=(a+b)(1+b)=5又a>0, 6>0,所以a十b=5 5 防+26)，当具仅当a=6时· 等号成立，即(a+b)2-5(a十b)+4≤0，解得1≤a+b4. 9.AD①由xt2>yt2可知，t2>0,故x>y.故①是. ②由xt>yt可知，t≠0，当t<0时，有x<y;当t>0时， 有x>y.故②不是. ③由x2>y2,则|x>|y,推不出x>y,故③不是； 国由0<<，可得>y>0,故国是. 故选AD. 10.AC由题意得1☒k=√E+1+k=3,即k+√E-2=0,解 得√E=1或WE=一2（舍去），故k的值为1. 又f)=1x=丘+x+1=1++1>≥1+2=3，当 x 且仅当丘=上，即x=1时取等号，故函数f(x)的最小 值为3. 又1x4, )=1=E+z+1-1十E+上在x=4时有最 大值为了.故选AC, 11.AC原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1，即 x2-x-1≥(a十1)(a-2)对任意x恒成立，x2-x-1= (-日）广-≥所以-8≥2-。-2，解得-名< <8 12.21①正实数x,y满足x十y=2xy, 2+2， y ix+y= 是(+})x+)=(2+号+￥)≥ 合(2+2√号·之)=2，当且仪当)=1时取等号 .x十y的最小值是2. ②由正实数x,y满足2xy=x十y>≥2√cy,解得：xy≥1. .xy的最小值是1. 故答案为：2,1. 13.②对于①，当a<0,b>0时，a2b>0,ab2<0,a2b<ab2 不成立； 对千@，a<b>0d成： 对于③，当a=-1,b=1时， 台=号=-1，放不成之 14.m≥6因为>0,6>0,2+号-1， 所以a+6=a+6(日+8）=10+台+2≥10+25 =16. 由题意，得16≥-x2+4x+18-m, 即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立， 又x2-4x-2=(x一2)2-6的最小值为-6， 所以一6≥一m,即m≥6. 15.【解】+-(Wa+ bJa √a =a(后a）=a-6. ab :a-b=(√a-√⑥)(wa+√b), (a-).a-6=wa-⑥2.a+5 √ab √ab a>0,b>0,∴√a+√b>0,√ab>0. 又：(Wa-√6)2≥0（当且仅当a=b时等号成立）， ∴(Wa-2.6+60. Vab :&+≥a+(当且仅当a=b时等号成立)， b√a 6 16.【解】(1)由题意，y-2x1-2x)=子×2z(1-2x)≤ 2+2)- 当且仅当2x=1-2x即x=}时等号成立； (2)由题意，3-x>0, f)=,4, -3+x-3+3 x3十x=4 =-(3+3+3-2+3=-1 当组仅当写产3：即z=1时等号成立 (3)由2z+3y+12-4得y22: x,y>0, .0<x<2, 则2z+8y=2z+品z5-2x+12-名-(8z+2) 9 9-1=2, +8z+2-1≥2 当且仅当(8x+2)=82中x=合时等号成立. 17.【解】(1)由已知方程a.x2+x-a一b=0的两根分别为 -1+3=-日 -1,3,且a<0,所以 -1X3=-a+b a 1 a=-2' 解得 b=-1. (2)若a<0,不等式为a.x2十x-(a+1)>0, 中x-1D(+由）<0， 1-（-）-2a1=0>a= a 当a时，-<1， a 不等式的解枭为{z-1<x<: a 当a=-号时，--1，不等式的解集为： a 当-名<a<0时，-a4>1, a 不等式的解集为x1<x<-a+1) a 18.【解】(1)不等式m.x2-2x-m+1<0恒成立， 即函数f(x)=mx2-2x-m十1的图象全部在x轴 下方. 当m=0时，不等式变为1一2x<0,对任意实数x不恒 成立，故m=0不满足； 当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m十1为二次函数， 需满足图象开口向下且方程m.x2-2x-m十1=0无解， 即A=4-4m1-m)<0,则m无解. 综上可知，不存在这样的m,使不等式恒成立. (2)设g(m)=(x2-1)m+(1-2x), 当x2-1=0时，即x=士1，检验得x=1时符合题意；当x2≠ 1时，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线， 由题意知该直线当一2≤m≤2时在x轴下方， 所以(g2)<0即 -2x2-2x+3<0,① g(2)<0, 2x2-2x-1<0.② 解0，得<-1，亚或心-1， 2 2 解②，得1,5<<1+5 2 2 由0②，得1万<<1+5，且x≠1， 2 2 综上得x的取值范围为{x 2 19.【解】(1)依题得y=180x-「22x+z(,D×4]-450 2 =-2.x2+160x-450(x∈N*) (2)￥--2x+160-450=160-(2x+4)<160 x 2√2x.0=100, 当且仅当2z=450,即x=15时等号成立. ·.使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额 为1500万元. 第二部分月考滚动检测卷 第一次月考检测卷 1.D'a,b,c∈R且a>b,.取c=0,可排除A,B;取a= 1,b=-1可排除C. 由不等式的性质知当a>b时，一2a<-2b,故D正确. 故选D. 2.A进行交集的运算即可. :A={✉-1≤x<},B=(x0<x<1, AnB={al0<a<号}. 故选A. 3.D因为x2+4x-5=(x-1)(x+5)<0 .不等式x2+4x-5<0的解集为{x|-5<x<1} 故选D. 4.A x-20解得：0<<2， ∫x>0 则选项中0<x<1为0<x<2的充分不必要条件， 故选A. 5.B正数m,n,满足2m十n=1, 则n+动=(2m+)·(+云)=名+烈+费≥ 名+名V品开-名+，当且收当=m=区-1时 取等号. “+云的最小值为：号+2 故选B. 7 6.A 7.AA∩B=0,且A={x|a-1<x<a+1,x∈R},B= {x2<x<5,x∈R}, .a-1≥5或a+1≤2， a≤1或a≥6， .实数a的取值范围为{aa≤l或a≥6}. 故选A. 8.B≥2，=2-2x+>0, x ∴.x2-2x十a>0, 即a>-x2+2x, x≥2， 结合二次函数的性质可知，x=2时，一x2十2x取得最大 值0，故a>0. 故选B. 9.BDA={x|-1<x≤3}，B={x|x≤2}={x-2≤ x≤2}， ∴.A∩B={x|-1<x≤3}∩{x|-2≤x≤2}={x|-1< x≤2}，故A不正确； AUB={x|-1<x≤3}U{x|-2≤x≤2}={x|-2≤x ≤3}，故B正确； ,CRB={x|x<-2或x>2}, .AU(CRB)={x|-1<x≤3}U{x|x<-2或x>2}= {xx<-2或x>-1),故C不正确； A∩(CRB)={x|-1<x≤3}∩{x|x<-2或x>2}= {x2<x≤3}，故D正确. 故选BD. 10.AB由不等式1≤|x≤4，解得：-4≤x≤-1，或1≤≤4. 不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为A,B. 故选AB. 11.BDA.x<0时，y<0,无最小值. B.y=√E十2≥22，当且仅当x=2时取等号，正确. x Cy=+异+4≥2+04)=2，当 且仅当x2+4= 下24时，等号成立，显然不可能成立，故 选项C不正确； D.y=ex+2e-x≥2√ex·2ex=2√2，当且仅当ex=√2 时取等号，正确 故选BD. 12.7{2,3,5}二A{2,3,5,7,11,13}, 那么满足条件的集合A的个数即为{7,11,13}的真子集 的个数，有7个. 故答案为7. 13.{x2<x<3}{xx≤-1或x≥3}：M={xx<-2, 或x>2},N={x|-1<x<3}, .M∩N={x2<x<3},CuN={xx≤-1或x≥3. 故答案为{x|2<x<3},{xx≤-1或x≥3}. 14.9x+2y=4,x>0,y>0,.x十2y=4≥2Wx·2y, (x=2,y=1时取等号) 2B卷 能力提升卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 6.已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x 数分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是 符合题目要求的， 1.若b<a<0,则下列结论不正确的是( A.1<1 A.{a-2<a≤g} B.al-2<a<5 B.ab>a2 雨 C.lal+1b>a+bl D.ab cal-g<a≤2 D.{aa≠2} 2.已知a∈R,p=(a-1)(a-3),q=(a-2)2, 7.若。>0,6>0,3a+6=1,则+古的最小 则p与q的大小关系为 A.p>q B.p≤q 值为 C.p<q D.p≥q A.8 B.7 p 剂 8不等式0的解集是 C.6 D.5 A.{x|x<-1或-1<x≤2} 8.已知a>0,6>0,且a+6+2+3=5,则 B.{x-1≤x≤2} a+b的取值范围是 () C.{xx≤-1或x≥2} A.1≤a+b≤4 B.a+b≥2 惊 製 D.{x|-1<x≤2} C.2<a+b<4 D.a+6>4 4.关于x的不等式x2+ax+b≥0的解集为{x 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 x≤-3，或x≥1}，则ab= 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 A.12 B.-12 C.6 D.-6 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 舒 x,x≤0， 分，有选错的得0分 5.已知函数f(x)= 若f(x)≥ 阳 2x-1,x>0, 9.给出下列四个条件：①xt>yt;②xt>yt; 1,则x的取值范围是 ⑧x>y;④0<1<1.其中能成为x>y x A.{xlx≤-1} B.{xx≥1} 的充分条件的是 C.{xx<0或x≥1} A.① B.② D.{x|x≤-1或x≥1} C.③ D.④ 13 10.规定：“☒”表示一种运算，即a⑧b=√ab+ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写 a十b(a,b为正实数).若1☒k=3,函数 出文字说明、证明过程或演算步骤. f()=⑧，1≤≤4，则下列说法正确 15.(13分)已知a>0,b>0,试比较2+6与 √ 的是 √a+√b的大小. A.f(x)的最小值为3 B.f(x)的最小值为2 Cf)的最大值为号 D.f()的最大值为 a 6 11.在R上定义运算： =ad-bc.若不等 x-1a-2 式 ≥1对任意实数x恒成 a+l x 立，则实数a的 A.最小值是一方 B.最小值是一2 C最大值是号 D.最大值是2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.若正实数x,y满足x十y=2xy,则x十y的最 小值是 .xy的最小值是 13.已知a,b为非零实数，且a<b,则下列不等 式成立的是 (填序号). 14正数a,6满足日+号-1，若不等式a十6> 一x+4x十18一m对任意实数x恒成立，则 实数m的取值范围是 14 16.15分)1已知0K3求y-71-2） 17.(15分)已知f(x)=ax2+x-a,a∈R. (1)若不等式f(x)<b的解集为{xx<一1， 的最大值； 或x>3},求a,b的值； (2)已知x3,求)=写十z的最大值： (2)若a<0,解不等式f(x)>1. (3)已知x,y∈(0，十∞)，且2x+3y+ 12xy=4,求2x十3y的最小值. 15 18.(17分)已知不等式mx2-2x-m十1<0. 19.(17分)某厂商在去年用450万元购进一 (1)若对任意实数x不等式恒成立，求m 批VR设备，经调试后今年投入使用，计划 的取值范围； 第一年维修、保养费用22万元，从第二年 (2)若对一2≤m≤2的所有实数不等式恒 开始，每年所需维修、保养费用比上一年增 成立，求x的取值范围. 加4万元，该设备使用后，每年的总收入为 180万元，设使用x年后设备的盈利额为y 万元 (1)写出y与x之间的函数关系式： (2)使用若干年后，当年平均盈利额达到最 大值时，求该厂商的盈利额. 16