专题2.13 双曲线的标准方程（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.13 双曲线的标准方程 教学目标 ①掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用。 ②通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力。 ③初步会按特定条件求双曲线的标准方程。 教学重难点 重点：双曲线的定义和标准方程 难点：动点的轨迹方程 知识点01 双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与 等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做 . 这两个定点叫做双曲线的 ,两焦点间的距离叫做双曲线的 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【即学即练】双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 知识点02 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【即学即练】已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 题型01 双曲线定义的理解 【典例1】双曲线上一点到其中一个焦点的距离为，则这个点到另外一个焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式2】已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．13 C．5或9 D．5或6 【变式3】已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ． 【变式4】已知，是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若，则 . 双曲线就是下列点的集合:. 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 题型02 利用双曲线定义求方程 【典例1】方程可化简为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 双曲线就是下列点的集合:. 题型03利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 【典例1】已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【变式1】若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 【变式2】如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是 . 【变式3】已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【变式4】已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为 ． 题型04 利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值 【典例1】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知点，将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线C，在C上任取一点P，则（    ） A． B．2 C． D．不确定 【变式2】已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【变式3】已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式4】已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C． D．5 题型05 判断方程是否表示双曲线 【典例1】已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于，则（    ） A．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 B．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 C．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 D．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 【变式1】（多选）平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上，两点所形成的曲线C可以是（        ） A．若，C是圆心在原点的圆 B．若，C是焦点在x轴上的椭圆 C．若，C是焦点在x轴上的椭圆 D．若，C是焦点在x轴上的双曲线 【变式2】（多选）当变化时，指出方程表示的曲线的形状，下列说法正确的是（    ） A．存在实数使得方程表示轴 B．存在实数使得方程表示圆 C．不存在实数使得方程表示椭圆 D．存在实数使得方程表示双曲线 【变式3】（多选）方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，方程表示圆 D．当或时，方程表示双曲线 【变式4】（多选）关于、的方程表示的轨迹可以是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 题型06 求双曲线方程 【典例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 【变式1】求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【变式2】求符合下列要求的曲线的标准方程： (1)已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； (2)已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点. 【变式3】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【变式4】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为. 题型07 双曲线中的轨迹方程问题 【典例1】已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 【变式1】如图，点的坐标分别是，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程．    【变式2】已知，，对于平面内一动点，轴于点，且.求点的轨迹的方程. 【变式3】动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹. 【变式4】已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程. 题型08双曲线中的焦点三角形问题 【典例1】已知､是双曲线的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且，求的面积. 【变式1】双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是 . 【变式2】已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 【变式3】设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 【变式4】已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，． (1)求双曲线C的方程； (2)若，求． ①定义 ② ③余弦定理 1．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8    2．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若双曲线的实轴长为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则（    ） A． B． C． D． 5．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 7．双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 8．已知双曲线T：的左、右焦点分别为，，T上的一点P满足，若的内切圆面积为，且与y轴相切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（多选）已知方程表示的曲线为.给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 10．已知双曲线（）的左、右焦点分别为、．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得．若的面积为，则的值为 ． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 12．已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且． (1)求曲线的方程； (2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值． 13．已知点，，动点使直线，的斜率之积为，其轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，点在曲线上，直线与轴交于点，满足，求直线的方程. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.13 双曲线的标准方程 教学目标 ①掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用。 ②通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力。 ③初步会按特定条件求双曲线的标准方程。 教学重难点 重点：双曲线的定义和标准方程 难点：动点的轨迹方程 知识点01 双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【即学即练】双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【答案】C 【分析】先根据双曲线的焦距求出，再根据双曲线的定义即可得解. 【详解】由题意可得，即，又，即， 由双曲线的定义可得，解得或9， 又，所以． 故选：C. 知识点02 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【即学即练】已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 题型01 双曲线定义的理解 【典例1】双曲线上一点到其中一个焦点的距离为，则这个点到另外一个焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】设双曲线的左右焦点分别为，已知点为点，不妨设， 由双曲线得， 因为，所以点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义可得，解得或（舍去）， 所以这个点到另外一个焦点的距离为. 故选：B. 【变式1】已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义结合垂直平分线的性质判定即可. 【详解】由题意可得圆心，半径. 因为M是线段的垂直平分线，所以， 则. 因为，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线. 故选：C 【变式2】已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．13 C．5或9 D．5或6 【答案】C 【分析】由双曲线的定义求解. 【详解】由题意可知，，，若，则或9． 故选：C 【变式3】已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解. 【详解】由双曲线的标准方程可得， 由满足方程，知点在双曲线的右支上， . 故答案为：4. 【变式4】已知，是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若，则 . 【答案】2或14 【分析】利用双曲线标准方程及其定义计算即可求出结果. 【详解】由双曲线可知， 所以，因此的最小值为； 再由双曲线定义可知， 可知2或14. 故答案为：2或14 双曲线就是下列点的集合:. 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 题型02 利用双曲线定义求方程 【典例1】方程可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】移项平方化简可得答案. 【详解】由得， 两边平方得，且得， 两边再平方得， 可化简为. 故选：D. 【变式1】已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解. 【详解】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 【变式2】已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解. 【详解】由题意可得, 由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即， 所以. 又因为焦点在轴上，所以曲线方程为. 故选:A. 【变式3】已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义可得，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，即可求解. 【详解】因为，，所以，动点满足条件，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 点，，动点满足条件， ， ， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式4】已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】因为，故的轨迹为双曲线的右支， 且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为， 的轨迹方程为：. 故答案为：. 双曲线就是下列点的集合:. 题型03利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 【典例1】已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 【变式1】若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则 【答案】10 【分析】根据双曲线的定义和性质进行求解即可. 【详解】根据题意，双曲线：，，， 又由点在双曲线上，则，即． 又由，则等于或，又，故． 故答案为：10 【变式2】如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的左焦点的距离是 . 【答案】4或12 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】设点到它的左焦点的距离是， 由可知，，即， 则由双曲线定义，解得或， 故答案为：4或12 【变式3】已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，且，通过可求得最小值. 【详解】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值. 故答案为：. 【变式4】已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为 ． 【答案】9 【分析】求出双曲线的a,b,c，讨论P在左支和右支上，运用双曲线的定义，得到所求距离． 【详解】双曲线中，，， 设双曲线的左右焦点为，可设， 若P在双曲线左支上，则；若P在双曲线右支上，则有， 所以在双曲线左支上，因为， 所以到另一个焦点的距离为9． 故答案为：9 题型04 利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值 【典例1】已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【详解】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式1】已知点，将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线C，在C上任取一点P，则（    ） A． B．2 C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可求解. 【详解】直线与联立得两交点的坐标为、，这两点间的距离为， 所以函数的图像绕原点顺时针旋转得到双曲线方程为，由双曲线定义得. 故选：A． 【变式2】已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论． 【详解】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为， 所以， 当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号. 故选：C． 【变式3】已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案 【详解】由，得，则， 所以左焦点为，右焦点， 则由双曲线的定义得， 因为点在双曲线的两支之间， 所以， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为9， 故选：A 【变式4】已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C． D．5 【答案】A 【分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解. 【详解】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以． 故选：A    题型05 判断方程是否表示双曲线 【典例1】已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于，则（    ） A．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 B．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 C．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 D．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 【答案】C 【分析】由题意得，分别令、即可判断. 【详解】由题意不妨设，则，即， 当时，顶点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，并除去两点，故AB错误； 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点，故C正确，D错误. 故选：C. 【变式1】（多选）平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上，两点所形成的曲线C可以是（        ） A．若，C是圆心在原点的圆 B．若，C是焦点在x轴上的椭圆 C．若，C是焦点在x轴上的椭圆 D．若，C是焦点在x轴上的双曲线 【答案】ACD 【分析】设动点为，再根据化简求解可得，再分别讨论，，与时的情况即可. 【详解】设动点为， 当时，由条件可得， 即， 又、的坐标满足， 对A，当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆，所以A正确; 对B，当时，曲线C的方程为，C为焦点在y轴上的椭圆，故B错误; 对C，当时，，C是焦点在x轴上的椭圆，故C正确; 对D，当时，，C是焦点在x轴上的双曲线，故D正确. 故选：ACD 【变式2】（多选）当变化时，指出方程表示的曲线的形状，下列说法正确的是（    ） A．存在实数使得方程表示轴 B．存在实数使得方程表示圆 C．不存在实数使得方程表示椭圆 D．存在实数使得方程表示双曲线 【答案】ACD 【分析】由，可判断A；由，可判断B；当，时，方程可写成，进而可判断C；当或时，可判断D. 【详解】当时，方程为，表示轴，故A正确； 若曲线为圆，由，得，且，故B错误； 当，时，方程可写成， 若曲线为椭圆，则且，m不存在，故C正确； 当或时，方程表示的曲线为双曲线，故D正确. 故选：ACD. 【变式3】（多选）方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，方程表示圆 D．当或时，方程表示双曲线 【答案】BCD 【分析】根据方程中分母的正负及是否相等可判断选项即可. 【详解】当时，由，且即时，此方程表示圆，故A不正确； 当时，，，由方程可知表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 由A可知，当时，方程表示圆，故C正确； 当时，，，故方程表示焦点在轴上的双曲线，当时，由B可知，方程表示双曲线，故D正确. 故选：BCD 【变式4】（多选）关于、的方程表示的轨迹可以是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 【答案】BC 【分析】对实数的取值进行分类讨论，化简原方程，结合圆的方程以及圆锥曲线方程可得出结论. 【详解】当时，该方程表示的轨迹是直线； 当时，该方程表示的轨迹是直线； 当且时，原方程可化为. 当或时，，该方程表示的轨迹是双曲线； 当，又，则，此时方程为，该方程表示圆； 综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线. 故选：BC. 题型06 求双曲线方程 【典例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出椭圆焦点坐标，由离心率可得双曲线实半轴长，从而得方程； （2）由题意可设双曲线的标准方程为，把已知点的坐标代入即可求出，从而得解. 【详解】（1）根据题意，椭圆焦点坐标为， 又双曲线离心率为，所以，则， 所以双曲线的标准方程为； （2）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 双曲线经过、两点， 则由题意有，解得，显然有， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 【变式1】求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 【变式2】求符合下列要求的曲线的标准方程： (1)已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； (2)已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得的值，由此求得椭圆方程. （2）由题意，先求出，然后，设双曲线的标准方程，利用和过点，列方程求解即可 【详解】（1）由已知条件可设所求的椭圆标准方程为（其中） 则，∴， 且离心率为，∴ ∴ 故所求的椭圆的标准方程为 （2）由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且. 设双曲线的标准方程为， 则有，， 解得，. 故所求双曲线的标准方程为. 【变式3】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合的值，设出双曲线方程，将点坐标代入，计算参数即可． （2）结合已知双曲线，设出所求双曲线方程，代入点的坐标，计算参数，即可求出答案． 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． 【变式4】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为. 【答案】(1) (2) 【分析】结合题意，利用待定系数法即可求取双曲线的标准方程. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）椭圆的两个焦点为、， 故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 令，即有，解得， 故有，解得， 故双曲线的标准方程为. 题型07 双曲线中的轨迹方程问题 【典例1】已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 【答案】 【分析】利用两圆相切分别可得，结合双曲线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支，从而可得的轨迹方程. 【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 又因为动圆C与圆外切，且与圆内切， 则，可得， 可知点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支， 则，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 【变式1】如图，点的坐标分别是，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程．    【答案】 【分析】首先设的坐标为，由已知点的坐标代入求得直线的斜率，由乘积为即可得到点坐标的关系式，将其整理化简可得到的轨迹方程，最后去除多余点. 【详解】设，则直线的斜率， 直线的斜率, 由题意得，， 化简，整理得， 所以点的轨迹方程为：. 【变式2】已知，，对于平面内一动点，轴于点，且.求点的轨迹的方程. 【答案】答案见解析 【分析】根据距离公式表示，，，由，即可得到，再分、两种情况讨论. 【详解】设，则， 从而，，， 由，有， 若，化简整理得； 若，化简整理得. 综上可得点的轨迹的方程为（）或（） 【变式3】动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹. 【答案】点M轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线. 【分析】利用两点、点线距离公式列方程，并转化整理即可得轨迹方程，进而判断轨迹. 【详解】设d是点M到直线l的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，则. 将上式两边平方，并化简，得，即. 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线. 【变式4】已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程. 【答案】 【分析】设出动点M的坐标，再利用斜率坐标公式列式并化简作答. 【详解】设点，而点，，在中，，又直线，的斜率存在，即， 于是，即，整理得， 所以动点M的轨迹方程. 题型08双曲线中的焦点三角形问题 【典例1】已知､是双曲线的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且，求的面积. 【答案】 【分析】根据双曲线焦点坐标结合题意求得，根据双曲线定义和余弦定理求得，再利用三角形面积公式即可求得结果. 【详解】因为､是双曲线的两个焦点， 所以，所以； 设，， 因为点M是双曲线上一点，且，所以； 在△中，由余弦定理可得：； 联立上述两式可得：， 所以的面积. 【变式1】双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是 . 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，进而求出三角形面积. 【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得， 由，，解得或， 当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求， 因此，，为直角三角形， 所以的面积是. 故答案为：6 【变式2】已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理求出三角形周长. 【详解】双曲线的实半轴长，焦点，， 由点在双曲线上，得，由，得， ， 因此，所以的周长是. 故答案为： 【变式3】设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】利用双曲线性质、焦半径的范围将所求转换为对勾函数的最小值即可得解. 【详解】，， ， 而函数在上单调递增， 所以当且仅当时，. 故答案为：8. 【变式4】已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，． (1)求双曲线C的方程； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线基本量关系求解即可； （2）设，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1），得，，所以双曲线． （2）设，则， 在中，由余弦定理得， ，解得或（舍）， 故，故． ①定义 ② ③余弦定理 1．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可求得的周长. 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12． 故选：B.    2．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为． 故选：B. 【点睛】对于方程，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数m，n进行讨论．只有时，方程才表示双曲线，且当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上． 3．若双曲线的实轴长为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，解方程即可. 【详解】因为双曲线的实轴长为4， 所以，解得. 故选：A. 4．已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程，得到，结合条件，利用双曲线的定义，得，再由余弦定理，即可求解. 【详解】由题易知，又，又，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 故选：C. 5．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用焦点三角形的性质结合题设条件可得，从而可得焦点三角形为直角三角形，从而可求其面积. 【详解】点P在双曲线右支上， 由双曲线的定义可得， 又，两式联立得. 又， 所以，即为直角三角形， 所以. 故选：C 7．双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【答案】A 【分析】根据双曲线焦距可求出a的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线：，焦距为10， 故，则， 由，，得或， 结合，则M在双曲线左支上， 由于，故， 故选：A 8．已知双曲线T：的左、右焦点分别为，，T上的一点P满足，若的内切圆面积为，且与y轴相切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】通过内切圆的性质结合双曲线的定义和切线长定理得到内切圆的半径和的值相等，即可求出. 【详解】双曲线T：的左、右焦点分别为，，， 设的内切圆圆心为，半径为r，如图， 过其圆心向三边作垂线，垂足分别为C，D，E， ，四边形为正方形，则， ，又由切线长定理可得， 又的内切圆与y轴相切，，，解得， 又的内切圆面积为π，，． 故选：. 9．（多选）已知方程表示的曲线为.给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【答案】BD 【分析】A选项，根据曲线表示椭圆得到不等式，求出A错误；B选项，令，解得或；C选项，由椭圆特征得到，求出C错误；D选项，根据双曲线特征得到，，解得，D正确. 【详解】A选项，方程表示的曲线为. 当即或时，曲线表示椭圆， 当时，曲线表示圆，所以A不正确； B选项，若曲线表示双曲线，令，解得或， 故当或时，曲线是双曲线，所以B正确； C选项，曲线表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，C错误； D选项，曲线表示焦点在轴上的双曲线，可得，，解得，所以D正确 故选：BD. 10．已知双曲线（）的左、右焦点分别为、．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得．若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，得出点坐标，再结合双曲线的定义可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则，， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得，即， 由题意可得， 则. 故答案为： 11．已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 12．已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且． (1)求曲线的方程； (2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用两点间的距离公式计算可得答案； （2）设曲线的左焦点为，由双曲线定义得，当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小即周长的最小． 【详解】（1）设．因为，所以， 整理得，即曲线的方程为； （2）设曲线的左焦点为，则． 因为点在双曲线的右支上，所以，所以． 因为， 所以的周长为． 当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小值， 所以周长的最小值为． 13．已知点，，动点使直线，的斜率之积为，其轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，点在曲线上，直线与轴交于点，满足，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用直线，斜率的关系即可列出等式，求出动点的轨迹方程； (2)点为曲线的右焦点，设出直线的方程，求出点的坐标，再利用向量关系即可求解. 【详解】（1）设，则，整理得：. （2）由题意可知直线斜率存在，设，， 令得， 由，得，， 即， 代入：，得，，， 直线：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $