专题2.16 抛物线的几何性质（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.16 抛物线的几何性质 教学目标 ①理解与掌握抛物线的几何性质。 ②通过对抛物线几何性质来解决与圆锥曲线有关的点、线、面积、周长的相关计算问题。 ③会解决与抛物线有关的弦、定点、定值与取值范围问题的处理。 教学重难点 教学重点：抛物线的性质 教学难点：与抛物线相关的计算与证明问题 知识点01抛物线的性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 【即学即练】已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C．8 D．16 知识点02 直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若 ,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个 ; 当时,直线与抛物线 ,没有公共点. (2)若 ,直线与抛物线 ,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【即学即练】已知抛物线，若过点的直线与抛物线C只有一个交点，则这样的直线一共有 条． 知识点03 直线与抛物线 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则 （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则 （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则 （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则 【即学即练】已知抛物线与一条过焦点的直线相交于两点，若弦的中点的纵坐标为，则 . 题型01 抛物线的简单性质 【典例1】若抛物线上一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为 ． 【变式1】已知拋物线的准线经过双曲线的一个焦点，则（    ） A．2 B． C． D．4 【变式2】抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】抛物线的焦点和准线为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式4】（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 题型02直线与抛物线的位置关系 【典例1】对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【变式1】已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【变式2】（多选）过点且与抛物线只有一个交点的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为 . 【变式4】已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况. 题型03 抛物线的弦长 【典例1】已知抛物线的焦点坐标为． (1)求抛物线C的方程； (2)若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求． 【变式1】已知抛物线 经过点 . (1)求 的值和抛物线 的准线方程； (2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 【变式2】已知抛物线的焦点为；直线与抛物线的交点为，，且直线斜率为. (1)若；求的方程； (2)若直线与轴的交点为，，求. 【变式3】已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点． (1)求线段所在的直线方程． (2)求线段的长． 【变式4】已知抛物线：的焦点坐标为． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线：与抛物线交于，两点，求弦长． 题型04抛物线的中点弦和点差法 【典例1】已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【变式1】已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 【变式2】已知抛物线：，过的焦点的直线与交于，两点. (1)若点在抛物线上，且到抛物线的准线距离为2，求抛物线的方程 (2)若直线的斜率为1，线段的中点纵坐标为2，求抛物线的准线方程. 【变式3】已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率. 【变式4】已知抛物线是抛物线上的点，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 题型05抛物线的焦点弦 【典例1】已知焦点位于x轴的抛物线C过点． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 【变式1】已知直线：与抛物线：恒有两个交点． (1)求的取值范围； (2)当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度． 【变式2】已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为12，点到轴的距离为9． (1)求的值； (2)若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点．求线段的长． 【变式3】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点.当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求直线的方程. 【变式4】已知抛物线的焦点为，直线经过点且与交于点． (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若，求线段的中点到轴的距离． 抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 题型06 抛物线的定值、定点、定直线问题 【典例1】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 【变式1】已知抛物线（常数），是轴正半轴上一点，过点作直线交抛物线于两点．探究：是否存在定点，使为定值？ 【变式2】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【变式3】如图所示，已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、，直线、交于点．证明：点在定直线上． 【变式4】已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 题型07 抛物线的向量问题 【典例1】已知为双曲线的右焦点，其渐近线被抛物线截得的弦长为2，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，则轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【变式2】已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【变式3】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为，过点且斜率为的直线与轨迹从左到右的三个公共点分别为． (1)求轨迹的方程 (2)求的取值范围； (3)点关于原点对称，若，求的面积． 【变式4】已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值． 题型08 抛物线的三角形问题 【典例1】已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【变式1】过点作直线与抛物线交于，两点. (1)设为坐标原点，求的值； (2)若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程； (3)过点作直线（不同于）与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：与的面积相等. 【变式2】已知抛物线的焦点为上动点到点的最小距离为1. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，求的值. 【变式3】抛物线与的焦点分别为，为的一个交点，且． (1)求的值； (2)是上的两点，若四边形（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积． 【变式4】抛物线的焦点为，且过点． (1)求的方程； (2)过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点． ①证明：点到和的距离相等； ②若的面积等于的面积，求点的坐标． 1．已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 6．设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 7．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且F是抛物线C的焦点，则的面积为（    ） A．16 B．8 C． D．4 9．（多选）已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（    ） A．直线的方程为 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 10．已知抛物线，过其焦点作直线抛物线交于两点，下列说法正确的是 ． ①以为直径的圆与直线没有公共点；②以为直径的圆与轴只有一个公共点；③的最小值为4；④的最小值为2． 11．过点作抛物线的弦，恰被点平分，求的所在直线方程及弦的长度. 12．在平面直角坐标系中，动点到定点的距离是点到轴的距离与点到直线的距离的等差中项，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点，过的直线与曲线交于两点，且，求的面积. 13．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 14．已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若． (1)求点的坐标以及抛物线方程； (2)若点与关于点对称，求． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.16 抛物线的几何性质 教学目标 ①理解与掌握抛物线的几何性质。 ②通过对抛物线几何性质来解决与圆锥曲线有关的点、线、面积、周长的相关计算问题。 ③会解决与抛物线有关的弦、定点、定值与取值范围问题的处理。 教学重难点 教学重点：抛物线的性质 教学难点：与抛物线相关的计算与证明问题 知识点01抛物线的性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 【即学即练】已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程可得，即可求解. 【详解】由可得， 故，故， 故抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：C 知识点02 直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【即学即练】已知抛物线，若过点的直线与抛物线C只有一个交点，则这样的直线一共有 条． 【答案】2 【分析】结合图象，不难发现过点与抛物线只有一个交点的直线共有两条，一条与对称轴平行，另一条与抛物线相切，且切点为. 【详解】 如图，因在抛物线上，则过点与抛物线只有一个交点的直线共有两条， 一条是与抛物线对称轴平行的直线，另一条是以点为切点的直线，以下求出该切线方程. 设过点的切线方程为，即， 将其代入，可得， 由，解得， 即抛物线在点处的切线方程为. 综上，过点与抛物线只有一个交点的直线有和两条. 故答案为：2. 知识点03 直线与抛物线 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 【即学即练】已知抛物线与一条过焦点的直线相交于两点，若弦的中点的纵坐标为，则 . 【答案】 【分析】首先把抛物线方程化成标准方程，得到，再利用焦点弦长公式，即可求得. 【详解】由得，所以，根据题意得； 所以由抛物线过焦点的弦长公式可知： . 故答案为： 题型01 抛物线的简单性质 【典例1】若抛物线上一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为 ． 【答案】 【分析】求得点的坐标，将点到该抛物线焦点的距离转化为点到抛物线的准线的距离即可． 【详解】由抛物线可设点，焦点为， 因为点到坐标原点的距离为， 所以，解得， 即或， 根据抛物线定义知：点到焦点的距离等于点到准线的距离， 即， 故答案为： 【变式1】已知拋物线的准线经过双曲线的一个焦点，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据双曲线以及抛物线的焦点坐标即可求解. 【详解】双曲线的焦点坐标为， 因为抛物线的准线经过双曲线的一个焦点， 所以. 故选：C 【变式2】抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的准线方程的定义求解. 【详解】抛物线的准线方程是. 故选：B. 【变式3】抛物线的焦点和准线为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】将抛物线方程化为标准方程，再根据抛物线的性质确定其焦点坐标和准线方程. 【详解】抛物线的标准方程为， 所以抛物线的焦点的坐标为， 抛物线的准线方程为， 故选：C. 【变式4】（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 题型02直线与抛物线的位置关系 【典例1】对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【答案】D 【分析】联立直线和抛物线的方程，消元后利用的符号判断交点个数. 【详解】联立， 消去得：， 所以， 因为， 所以，故直线与抛物线无公共点， 故选：D. 【变式1】已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【详解】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 【变式2】（多选）过点且与抛物线只有一个交点的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由已知当直线与抛物线对称轴平行时成立，当直线与抛物线对称轴不平行时，设点斜式，联立方程，利用判别式确定方程只有一个解时的斜率，即可得解. 【详解】由已知抛物线方程为，其对称轴为， 当直线与抛物线对称轴平行时，直线方程为，此时与抛物线只有一个交点成立， 当直线与抛物线对称轴不平行时，可知直线斜率存在， 设直线方程为， 联立直线与抛物线，得， 由直线与抛物线只有一个交点，可知， 解得或， 所以直线方程为或，即，或， 综上所述：直线方程为或，或， 故选：ABC. 【变式3】已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】直线的方程为，与抛物线的方程联立可化为，由题意可得，解出即可． 【详解】直线的方程为：， 联立，化为， 直线与抛物线相交于不同的两点， ，即，解得，且． 斜率的取值范围是． 故答案为：． 【变式4】已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况. 【答案】答案见解析 【分析】分别讨论直线斜率不存在和存在的情况，在斜率存在的情况下，与抛物线方程联立，根据二次项系数是否为零和判别式来进行讨论即可. 【详解】    若直线斜率不存在，此时为轴，与抛物线有且仅有一个交点； 若直线的斜率存在，记为，则可设直线的方程为：， 由得：； ①当时，，解得：，此时， 直线与抛物线有且仅有一个公共点 ②当时，方程的判别式； 若，即，方程无实根，则直线与抛物线无交点； 若，即，方程有两个相等实根，则直线与抛物线相切，有且仅有一个公共点； 若，即且时，方程有两个不等实根，则直线与抛物线有两个不同交点； 综上所述：当直线斜率不存在或直线斜率或时，直线与抛物线有且仅有一个公共点；当直线斜率时，直线与抛物线无公共点；当直线斜率且时，直线与抛物线有两个公共点. 题型03 抛物线的弦长 【典例1】已知抛物线的焦点坐标为． (1)求抛物线C的方程； (2)若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据焦点确定抛物线参数，即可得方程； （2）由题意直线，联立抛物线，应用韦达定理及弦长公式求. 【详解】（1）由题设，则抛物线方程为； （2）由题设，直线，联立抛物线得， 所以，，则. 【变式1】已知抛物线 经过点 . (1)求 的值和抛物线 的准线方程； (2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 【答案】(1). (2). 【分析】（1）代入，求解即可； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式求解即可. 【详解】（1）解：代入 ， 得解得， 所以准线方程是； （2）解：由， 可得， 设方程的两根为， 则，， 所以. 【变式2】已知抛物线的焦点为；直线与抛物线的交点为，，且直线斜率为. (1)若；求的方程； (2)若直线与轴的交点为，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合抛物线的定义来求得直线的方程. （2）根据来进行求解，利用弦长公式求得. 【详解】（1）抛物线的焦点为，， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 设，则， ，解得， 所以直线的方程为. （2）由，令，解得，则， 依题意，，， 所以，则， 结合，解得， 所以. 【变式3】已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点． (1)求线段所在的直线方程． (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设点，点，利用点差法即可求得直线方程的斜率，从而解决问题． （2）由（1），联立直线方程和抛物线方程，消元得一元二次方程，再结合根系数的关系和弦长公式即可得解. 【详解】（1）设点，点，线段所在的直线方程的斜率为k 1°当斜率k不存在时，线段所在的直线方程为， 解方程得 所以，或， 此时，线段的中点坐标为，不合题意； 2°当斜率k存在时，，在抛物线上，，． 两式相减，得． ∵点是的中点，∴，即 ， 直线的方程为，即； 综上，线段所在的直线方程为. （2）由（1）知，直线方程为：，与抛物线方程联立得： 消元得， ，， ． 【变式4】已知抛物线：的焦点坐标为． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线：与抛物线交于，两点，求弦长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由焦点坐标确定参数，即可得抛物线方程； （2）联立直线与抛物线消去y，应用韦达定理和弦长公式求. 【详解】（1）由题设，即:. （2）联立与，消去y整理得，显然， 所以，，故.    题型04抛物线的中点弦和点差法 【典例1】已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解； （2）设，，，利用点差法化简计算即可得出结果. 【详解】（1）由抛物线的定义得， 故． （2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点， 设，，， ∴，， 当M，F不重合时，相减整理得，， ∴，即， 当M，F重合时，满足上式． ∴点M的轨迹方程为． 【变式1】已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程； （2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程. 【详解】（1）圆的方程可化为， 故圆心的坐标为． 设抛物线的方程为()，所以，所以， 所以抛物线的方程为． （2）设，，则两式相减， 得，即， 所以直线的斜率． 因为点是的中点，所以，所以． 所以直线的方程为，即． 【变式2】已知抛物线：，过的焦点的直线与交于，两点. (1)若点在抛物线上，且到抛物线的准线距离为2，求抛物线的方程 (2)若直线的斜率为1，线段的中点纵坐标为2，求抛物线的准线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦半径公式以及点在抛物线上，即可联立求解， （2）利用点差法，结合斜率公式即可求解. 【详解】（1）由题意,解得, 所以抛物线的方程为. （2）设,,则, 所以, 即：, 所以, 抛物线方程为,准线方程为 【变式3】已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）根据两点间距离公式，结合绝对值的性质进行求解即可； （2）利用点差法进行求解即可. 【详解】（1）设，由题意可知：， 两边同时平方， 得 所以的方程为或. （2）由题可知曲线为， 设，，则. 由 得， 所以的斜率为. 【变式4】已知抛物线是抛物线上的点，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的长，由几何知识即可求出抛物线的方程； （2）设出两点坐标和直线的斜率，将两点代入抛物线方程，由点差法求出斜率，根据的中点即可求出直线的方程. 【详解】（1）由题意， 在抛物线中，， 由几何知识得， ， 解得：， 故抛物线的方程为：. （2）由题意及（1）得， 直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则， 两式相减得， 整理得， 因为的中点为， ∴， ∴直线的方程为：， 即，经检验，满足题意. 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 题型05抛物线的焦点弦 【典例1】已知焦点位于x轴的抛物线C过点． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 【答案】(1)，准线方程为 (2) 【分析】（1）设出抛物线方程，代入，得到，得到抛物线方程和准线方程； （2）设出直线AB：，联立抛物线方程，得到两根之和，由抛物线焦点弦长公式进行求解. 【详解】（1）由题意可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴， 设抛物线的方程为， ∵过点， ∴，解得， ∴抛物线C：，准线方程为； （2）由（1）知，抛物线焦点为，直线AB的倾斜角为， 则直线AB：，设，，    由，得：， 则， 则． 【变式1】已知直线：与抛物线：恒有两个交点． (1)求的取值范围； (2)当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）将直线方程和抛物线方程联立消元后，根据判别式大于零得到不等式恒成立，运用数形结合法即得. (2)根据的值确定抛物线方程，两方程联立后再运用焦点弦公式即得. 【详解】（1）将直线与抛物线方程联立，得， 又因为直线与抛物线恒有两个交点，所以其判别式对恒成立， 故须使方程的判别式，又，所以解得，即的取值范围为. （2）由题，当时，：，由过焦点得；，所以抛物线：． 将直线与抛物线方程联立，并令，，得，， 由韦达定理得，又因经过抛物线焦点，故． 【变式2】已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为12，点到轴的距离为9． (1)求的值； (2)若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点．求线段的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）结合抛物线的定义，结合距离公式，即可求解； （2）直线与抛物线方程联立，得到韦达定理，再根据焦点弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设，且， 则． （2）由（1）知抛物线，焦点，直线，． 联立，得， 设， 则， ． 【变式3】已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点.当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据点坐标可得两点坐标，利用可求的方程. （2）设直线的方程，与抛物线联立，结合过焦点的弦长公式可求直线的方程. 【详解】（1）由题意得，， 把代入得，即， ∴，解得， ∴的方程为：. （2）由（1）得直线斜率存在，， 设， 由得，， ∴， 由得，，解得， ∴直线的方程为或. 【变式4】已知抛物线的焦点为，直线经过点且与交于点． (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若，求线段的中点到轴的距离． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线联立，求出，的值，进而得出，则由求出的面积； （2）因为是焦点弦，所以能求出值，设出直线方程与抛物线联立，解出直线方程，把中点横坐标代入求出纵坐标即为所求. 【详解】（1）因为抛物线，焦点为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立得，则，，， 则， 又 所以，. （2）因为直线经过点且与交于点，设，， 因为，所以直线斜率一定存在，设方程为， 组成方程组，则有， 则，，， 因为，所以，则， 当时，直线方程为，且， 所以中点纵坐标为，此时中点到轴的距离为， 根据对称性，当时，中点到轴的距离也为， 所以线段的中点到轴的距离为. 抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 题型06 抛物线的定值、定点、定直线问题 【典例1】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 【答案】(1)是，2 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线，斜率分别为，然后根据题意利用韦达定理把表示出来作比值即可； （2）结合（1）设直线，利用已知条件求出设直线即可. 【详解】（1）设直线，斜率分别为，则为定值． 理由如下：如图， 易知，设，直线， 联立得， ．① ， 因为，所以， 所以点为线段OD的中点， 因为，所以， 故直线， 代入抛物线方程可得：， 则．② 联立①②得，同理可得， 所以， 所以，为定值． （2）由（1）知． ， 因为N，B，D三点共线，所以， 化简得， 所以，即， 所以． 设直线， 由得， ， 解得，所以直线方程为：， 当， 所以直线过定点． 【变式1】已知抛物线（常数），是轴正半轴上一点，过点作直线交抛物线于两点．探究：是否存在定点，使为定值？ 【答案】存在 【分析】设，，，，联立抛物线并应用韦达定理及两点距离公式化简得，由即可得定值. 【详解】设，，，，    由，得，则，， ， 当且仅当时，即存在定点使得为定值． 【变式2】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； (3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将点代入抛物线方程计算可得，即可求出结果； （2）设点，，根据中点坐标公式进行代换可得点的轨迹方程； （3）联立直线方程并利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积的坐标运算即可求得结果. 【详解】（1）已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 （2）易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； （3）设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 【变式3】如图所示，已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、，直线、交于点．证明：点在定直线上． 【答案】证明见解析 【分析】设直线的方程，然后与抛物线联立方程组，消元，然后根据韦达定理即可求解. 【详解】证明：法一（常规证法） 由题意，设点，，，． 直线的方程为，直线的方程为． 由得， ∵恒成立，由韦达定理得，， 同理有，， ∴， ∴① 同理可得 ∵，∴，同理∵，∴， ∴， 即② 联立①②得 整理得 化简得，即点在直线上． 法二（参数方程）． 设，，，，（，）， 则， ∴， 同理可得， ∵，且，， ∴ 化简得，同理可得． 由整理得 即，∴点在直线上． 【点睛】本题考查了抛物线中的定直线问题，求直线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 【变式4】已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)或； (2)证明见解析 【分析】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为0即可得直线方程； （2）设出直线方程并利用韦达定理可得，结合即可求出动点在直线上. 【详解】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 题型07 抛物线的向量问题 【典例1】已知为双曲线的右焦点，其渐近线被抛物线截得的弦长为2，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，则轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据题意列出方程，求出，再代入点，解之即得； （2）由题意可设直线/的横截距方程，与双曲线方程联立消元得到一元二次方程，得出韦达定理，不妨假设存在点P，求出的表达式，代入韦达定理，化简后分析即得. 【详解】（1）由对称性可设双曲线的一条渐近线方程为， 且与抛物线交点分别为，则， 联立得， 则，解得，则， 故的方程为，代入点，解得． 所以的方程为． （2）轴上存在一点，使得为定值． 由（1）得，设， ①当直线的斜率不为0时，设的方程为． 联立得， ，则． 故 ， 故当时，为定值，此时点的坐标为． ②当直线的斜率为0时，则直线为轴，故， 此时，将点代入得，满足①中所求定值． 综上，当点的坐标为时，为定值． 【变式1】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的方程求出右焦点，从而得抛物线的焦点，从而得到抛物线方程； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求出，再通过向量垂直的条件来证明． 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，又，，该椭圆的右焦点为， 又抛物线的焦点为，所以，解得， 故抛物线的方程为． （2）直线过点且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为， 设直线的方程为， 联立，得，即， 方程的判别式， 设，，则，， 由根与系数的关系得， 因为，， 所以， . 【变式2】已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)N在定直线上，直线方程为：. 【分析】（1）由结合抛物线定义可得准线方程，据此可得抛物线方程； （2）设过点F的直线方程为，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，然后由抛物线定义结合基本不等式可得最小值； （3）设，由导数知识可得点P处的切线方程，据此可得点Q坐标，设，由可得，据此完成判断及得到定直线方程. 【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义， 可得准线方程为：，则焦点为，则； （2）由题可得点F的直线的斜率存在， 设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立， 可得，判别式为. 设，由韦达定理，可得，则. 又由抛物线定义可得， 当且仅当，即时取等号； （3）设，， 则在处的切线方程为：. 令，得，设，则. 又注意到，， 则.因， 则，从而，即N在定直线上， 直线方程为：. 【变式3】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为，过点且斜率为的直线与轨迹从左到右的三个公共点分别为． (1)求轨迹的方程 (2)求的取值范围； (3)点关于原点对称，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)40 【分析】（1）由已知得，即，化简即可得出点M的轨迹的方程； （2）设直线l的方程为，与C的方程联立，要使得有三个交点，则，直线与轴的交点为，可得，求解即可； （3）由得出的坐标即可求解面积． 【详解】（1）设，依题意得：，即， 化简得，， 所以点的轨迹的方程为； （2）设直线的方程为，由方程组， 可得，要使得有三个交点，则， 方程的判别式为， 设直线与轴的交点为，则由，取得， 当，解得或， 故当时，直线与轨迹恰有三个公共点； （3）设，，由（1）知，， 所以， 由直线的方程可知，，故， 所以，， 则，整理得，解得， 从而，故，， 则，，，即直线为，， 点到直线的距离为， 所以． 【变式4】已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线定义列式求解即可； （2）直线与抛物线联立方程，根据韦达定理得，，根据计算可得，再根据化简求值即可. 【详解】（1）抛物线的准线为，焦点 由抛物线定义可得，解得， 故的方程为 （2）设，， 联立， 故，     又则， 由， 解得：或（舍去）， （当且仅当时，等号成立）. 题型08 抛物线的三角形问题 【典例1】已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【答案】(1)抛物线的标准方程为，准线方程为或抛物线的标准方程为，准线方程为. (2) 【分析】（1）根据题意分开讨论抛物线的开口方向，求出抛物线的标准方程与准线方程. （2）首先求出和直线的方程，然后求出点的纵坐标，最后根据面积公式求出的面积即可. 【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为； 当抛物线开口向上时，设其方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为. 综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为. （2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为. 画出图象为： 由题意可知存在，，因为，所以. 设点，所以，解得（舍去）或. 直线的方程为，即. 所以点的坐标为. 所以的面积为. 【变式1】过点作直线与抛物线交于，两点. (1)设为坐标原点，求的值； (2)若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程； (3)过点作直线（不同于）与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：与的面积相等. 【答案】(1)5 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用直线方程与抛物线联立，结合韦达定理，通过代数运算求解向量点积. （2）根据弦长公式先求，利用中点到轴的距离为半径，建立方程求解即可； （3）由题知与有相同底边，要证三角形面积相等，转化为证，设点，，同理可得，设点，利用，，三点共线可得，然后即可证，从而得证与的面积相等. 【详解】（1） 由题意，直线不与轴重合，设的方程. 代入，并整理得. 由，得或. 设点，，则，. 所以. （2）由弦长公式，得. 线段的中点到轴的距离. 又，故. 由，得，解得（均满足）. 所以直线的方程为. （3）设点，，同理可得. 又直线的斜率. 由，，得. 设点，由，，三点共线，得. 化简，得. 又直线的斜率，故. 所以，故与的面积相等. 【变式2】已知抛物线的焦点为上动点到点的最小距离为1. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，求的值. 【答案】(1) (2)或3 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出，再表达三角形面积为，求解出，进而求解即可得. 【详解】（1）根据抛物线的定义，有， 由题意可得,当时，，所以， 所以抛物线的标准方程为. （2）抛物线的焦点，设直线的方程为， 联立，得，所以， 由，解得， 由，解得或，又， 所以或. 【变式3】抛物线与的焦点分别为，为的一个交点，且． (1)求的值； (2)是上的两点，若四边形（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由结合抛物线焦半径公式可得，再将点坐标代入抛物线可得，再将坐标代入抛物线可得； （2）借助平行四边形性质可得中点坐标，再借助点差法计算可得，从而可得方程，再联立方程与方程，消去可得与横坐标有关一元二次方程，即可借助韦达定理、弦长公式与面积公式计算得解. 【详解】（1）抛物线，准线方程为， ，所以，所以， 因为点在抛物线上，所以， 又，所以， 将代入抛物线，可得， 故，，； （2）由（1）可知，设中点为， 因为四边形为平行四边形，所以为中点， 设，所以， 因为在抛物线上，所以，则， 即， 所以，所以，且直线过点， 所以，即， 联立， 所以， 所以， 到距离， 所以． 【变式4】抛物线的焦点为，且过点． (1)求的方程； (2)过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点． ①证明：点到和的距离相等； ②若的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②P. 【分析】（1）将点的坐标代入计算，即可得到抛物线方程； （2）①联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到，即可证明；②由题意可得点P在线段AF的中垂线上，即可得到结果. 【详解】（1）因为抛物线过点，所以，得：，所以C的方程为：. （2）①设直线方程为，，， 由得：，则， ，， 又， ， 易知点，所以垂直于轴， 所以，所以点到和的距离相等. ②因为，所以， 故直线PA//FQ，所以， 由①知，所以， 所以点P在线段AF的中垂线上，点的纵坐标为1，代入抛物线方程可得点P. 1．已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由抛物线的焦点弦长公式，即可求得线段的中点的横坐标，得到答案. 【详解】设，由已知， 由焦半径公式可得 所以，所以. 故选：B. 2．抛物线的焦点为，点在此抛物线上，，则点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据焦半径公式即可求解. 【详解】根据焦半径公式可得，故， 故选：B 3．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 4．已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出满足条件的点的坐标，根据已知列出方程求解即可. 【详解】设满足条件的点为， 则到的准线的距离为， 设，所以， 解得或，故所求方程为或． 故选：C 5．抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由抛物线定义可列式求解点的横坐标，将所求横坐标代入抛物线方程可得点的纵坐标. 【详解】设点的坐标为， ∵，∴，∴. 把代入方程，得， ∴.∴点P的坐标为. 故选：B. 6．设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示：    则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 7．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示：    则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 8．已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且F是抛物线C的焦点，则的面积为（    ） A．16 B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】联立直线和抛物线求出关于的方程，设，，求出，求出F到直线l的距离即可求解. 【详解】联立得， 设，， 不妨取，， 则， 易知F到直线l的距离为， 所以． 故选：B. 9．（多选）已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（    ） A．直线的方程为 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可知为线段的中点，由抛物线的定义且可求得，即可判断C；在中求出即可判断D；求出，可得线的斜率，从而得出直线的方程，即可判断A；取线段中点，过作轴于，可求得，即可判断B． 【详解】抛物线的焦点，准线，， 如图，因为，所以为线段的中点，， 过作准线的垂线，垂足为，与轴交于，则， 由抛物线的定义可知，，得，故C正确； 在中，有，得，故D错误； ，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即或，故A错误； 取线段中点，过作轴于， 则， 所以，即线段中点到轴的距离等于， 则以线段为直径的圆与轴相切，故B正确． 故选：BC． 10．已知抛物线，过其焦点作直线抛物线交于两点，下列说法正确的是 ． ①以为直径的圆与直线没有公共点；②以为直径的圆与轴只有一个公共点；③的最小值为4；④的最小值为2． 【答案】①②③ 【分析】利用抛物线的定义，结合交点的横坐标来表示各焦半径长和弦长，再推导交点的纵坐标之积为定值，即可作出各选项判断. 【详解】由抛物线方程，可知焦点， 设，，由题意知：， 所以，整理得． 对于①：根据抛物线定义可知， 所以圆的半径为， 又因为线段的中点到直线的距离为， 因此圆与直线相离．故①正确； 对于②：以为直径的圆的半径为， 而线段的中点到轴的距离为，因此圆与直线相切．故②正确； 对于③：， 因此的最小值为4．故③正确； 对于④：，因此没有最小值．故④错误； 故答案为：①②③． 11．过点作抛物线的弦，恰被点平分，求的所在直线方程及弦的长度. 【答案】， 【分析】解法1、利用点差法，设，得，则，根据点斜式即可求直线方程；解法2、设，联立曲线方程，根据韦达定理即可求得斜率，得到直线方程及弦长. 【详解】解法1：设以为中点的弦端点坐标为， 则有，两式相减，得. 又， 则， 所以所求直线的方程为，即， 点在抛物线内，所以直线符合条件， 由整理得，，则. 由弦长公式得，. 解法2：设所在的直线方程为 由，整理得. 设，由韦达定理得， 又是的中点，， 所以所求直线的方程为. 由整理得，，则. 由弦长公式得，. 12．在平面直角坐标系中，动点到定点的距离是点到轴的距离与点到直线的距离的等差中项，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点，过的直线与曲线交于两点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，由题意得，由抛物线的定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，可得解； （2）设直线方程为，根据，可得的值，再求点到直线的距离，即可得面积. 【详解】（1）设点，则它到轴的距离与它到直线的距离分别为， 由题意得， 又，结合图形可知，点不可能在轴的右侧，所以， 由抛物线的定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为. （2）由题意知，过的直线的斜率不为零， 设其方程为， 联立方程，得消去并整理，得， 则，且， 所以， 解得， 所以点到直线的距离， 故的面积为. 13．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义求解； （2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】（1）根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 14．已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若． (1)求点的坐标以及抛物线方程； (2)若点与关于点对称，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线过点、求出可得答案； （2）求出点坐标，由可得答案． 【详解】（1）因为抛物线过点，则①，又， 且焦点为，即②， 结合①②解得(舍)，或， 即； （2）当时，，则， 所以． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $