专题2.14 双曲线的几何性质（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.14双曲线的几何性质 教学目标 ①掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义及范围。 ②会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题。 教学重难点 重点:双曲线的渐近线、离心率等几何性质: 难点:双曲线的离心率的意义及算法 知识点01 双曲线的几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 【即学即练】已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D．1 知识点02 等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 【即学即练】已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为 ． 知识点03 直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【即学即练】已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 知识点04 弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长 . 【即学即练】已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 知识点05 双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 【即学即练】双曲线的渐近线方程为 知识点06 双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 【即学即练】6．已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点.若线段的中点坐标为，求直线的方程. 题型01由双曲线的方程求几何性质 【典例1】已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式1】已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A．2 B．6 C． D． 【变式2】（多选）已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 【变式3】若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 【变式4】在双曲线中，的取值范围是 ． 题型02 根据双曲线几何性质求其标准方程 【典例1】（1）平面直角坐标系中，求经过两点的椭圆标准方程； （2）平面直角坐标系中，求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线标准方程. 【变式1】求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点，且与双曲线的离心率相等； (2)两顶点间的距离为8，渐近线方程为. 【变式2】（1）已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程． （2）求经过点的双曲线的标准方程． 【变式3】（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程； （2）求焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程； 【变式4】已知双曲线的离心率为，且双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为2．求的方程． 题型03双曲线的渐近线问题 【典例1】过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 【变式1】双曲线的渐近线方程为 ． 【变式2】若双曲线的渐近线为 . 【变式3】双曲线的渐近线方程为 ． 【变式4】双曲线的右顶点到其渐近线的距离为 . 题型04 双曲线的离心率问题（定值） 【典例1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，若点P在C的右支上，且，，则C的离心率为 ． 【变式1】已知双曲线E：的左、右焦点分别为，．若点A，B在E的左支上，且，，则E的离心率为 ．   【变式2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为，直线过点且与双曲线交于，两点，若，且，则双曲线的离心率为 ． 【变式3】已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为N，M，且为线段的中点，，则此双曲线的离心率为 . 【变式4】已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点且与轴垂直的直线与在第一象限交于点，直线与的渐近线在第一象限交于点，若是的中点，则的离心率为 ． 求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 题型05 双曲线的离心率问题（最值或范围） 【典例1】如图，，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形为等腰梯形，且．若，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线．垂足为．若恒成立，则的离心率的取值范围是 【变式3】已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，是线段的中点，，，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【变式4】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ． 求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求建立不等关系求出离心率取值范围； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次不等式，然后转化为关于的不等式； 题型06根据双曲线的离心率求参数 【典例1】已知双曲线的离心率为，则 ． 【变式1】若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知双曲线C：的离心率，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式4】（多选）若双曲线的离心率是2，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 题型07 直线与双曲线的位置关系 【典例1】若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 【变式1】“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作 条（填“条数”）． 【变式4】若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 . 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 题型08 弦长问题 【典例1】已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【变式1】已知双曲线：，点的坐标为 ．设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长． 【变式2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 【变式3】已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 【变式4】已知双曲线的离心率，实轴长. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于，两点，求； 题型09三角形面积问题 【典例1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若C的离心率为2，点在C上，过的直线l交C的右支于P，Q两点． (1)求直线AP，AQ的斜率之积； (2)若的面积为，求l的方程． 【变式1】已知点在双曲线C：上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．若，求的面积． 【变式2】已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积. 【变式3】已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线交于M，N两点，若的面积为，求实数的值． 【变式4】已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程. 题型10中点弦和点差法 【典例1】已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【变式1】已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为 ． 【变式2】已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为 . 【变式3】设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 【变式4】已知圆心为的动圆与：外切，与：内切. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求坐标原点关于直线的对称点的坐标. 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 1．直线与双曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 2．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的两条渐近线分别为与与为上关于原点对称的两点，为上一点且（为双曲线离心率），则双曲线离心率可能的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，过C的左焦点F的直线与C的右支交于点G，且与：相切于点E，若M为FG中点，则（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，点P在C上且在第一象限内，设直线AP与BP的斜率分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知点在左、右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 10．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 . 11．求适合下列条件的曲线方程： (1)与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程； (2)渐近线方程为，经过点双曲线的标准方程． 12．已知双曲线的离心率为，实轴长为． (1)写出双曲线的渐近线方程； (2)直线与双曲线右支交于不同的两点，求实数的取值范围． 13．已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.14双曲线的几何性质 教学目标 ①掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义及范围。 ②会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题。 教学重难点 重点:双曲线的渐近线、离心率等几何性质: 难点:双曲线的离心率的意义及算法 知识点01 双曲线的几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 【即学即练】已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】由题干得到双曲线方程可求出虚轴 【详解】由点在双曲线上，得，解得，即双曲线方程为，所以，则的虚轴长为． 故选：A 知识点02 等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 【即学即练】已知等轴双曲线过点，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设出双曲线的方程，代入双曲线的方程，求得参数的值，即可得到双曲线的方程 【详解】因为双曲线是等轴双曲线， 所以可设双曲线的方程为， 将点代入，可求得， 所以所求双曲线的方程为， 即为， 故答案为：. 知识点03 直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【即学即练】已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】结合双曲线的性质与点位置，画出对应图形即可得. 【详解】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为， 由可得该点在双曲线右顶点上方， 易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中， 有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1）， 有两条双曲线右支的切线（图2），共4条. 故选：D. 知识点04 弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 【即学即练】已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程； （2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案. 【详解】（1）由已知，， 又，则， 所以双曲线方程为. （2）由，得， 则， 设，，则，， 所以. 知识点05 双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 【即学即练】双曲线的渐近线方程为 【答案】 【分析】令双曲线右边为，再求解关于与的关系式，从而得到渐近线方程. 【详解】 故答案为：. 知识点06 双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 【即学即练】6．已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点.若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】 【分析】设，根据题意利用点差法可得直线的斜率，即可得方程，注意检验. 【详解】设，则，直线的斜率， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即，经检验符合题意， 所以直线的方程为，即. 题型01由双曲线的方程求几何性质 【典例1】已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】设出点的坐标，结合双曲线的范围，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】根据题意，的坐标为，设点的坐标为，则， 故， 又，故， 又，故当时，取得最小值，且其没有最大值， 故的最小值为，无最大值. 故选：D 【变式1】已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】求出右焦点坐标、渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】因为，所以， 可得右焦点坐标为，其中一条渐近线方程为， 右焦点到其渐近线的距离为. 故选：B. 【变式2】（多选）已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 【答案】BD 【分析】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项． 【详解】对于A，由题意可知双曲线的长轴长均为，所以它们的实轴长相等，故A正确； 对于B，双曲线的焦点分别在轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误； 对于C，双曲线的焦距均为，所以它们的离心率均为，即它们的离心率相等，故C正确； 对于D，双曲线的渐近线分别为和， 因为，所以它们的渐近线不相同，故D错误. 故选：BD 【变式3】若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，设双曲线方程，代入点求出参数即可. 【详解】可化为，其焦点为和， 所以双曲线焦点为和，即， 故设双曲线方程为， 因其过点，代入可得，解得或（舍去）， 故双曲线的方程为. 故答案为:. 【变式4】在双曲线中，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简双曲线方程，求出值，即可得到答案. 【详解】由双曲线，可得：，所以，则，故的取值范围是， 故答案为： 题型02 根据双曲线几何性质求其标准方程 【典例1】（1）平面直角坐标系中，求经过两点的椭圆标准方程； （2）平面直角坐标系中，求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线标准方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设椭圆方程为（，根据椭圆所过的点列方程组求出即可得解； （2）由题意设双曲线方程为，再根据所过的点求出即可得解. 【详解】（1）设椭圆方程为（， 则，解得，∴椭圆方程为； （2）由题意设双曲线方程为， 因为双曲线过点，所以，故， 所以双曲线标准方程为，即. 【变式1】求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点，且与双曲线的离心率相等； (2)两顶点间的距离为8，渐近线方程为. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用已知条件确定双曲线焦点位置，从而可求解，，即可得到双曲线方程； （2）由已知可得，分别讨论当焦点在轴上，利用渐近线方程求得的值，从而得双曲线方程. 【详解】（1）由题意可知：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，且， 又双曲线的离心率为，则，得， 故，所以双曲线的方程为. （2）由题意知，当双曲线的焦点在轴上时，则，可得， 所以双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，则，可得， 所以双曲线的方程为； 综上所述：双曲线的方程为或. 【变式2】（1）已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程． （2）求经过点的双曲线的标准方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）结合双曲线的渐近线方程，设双曲线方程为，代入给定点即可得解. （2）设双曲线方程为，代入求解方程组即得. 【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 而该双曲线过点，则， 所以该双曲线的标准方程为. （2）依题意，设双曲线方程为， 则，解得 所以该双曲线的标准方程为. 【变式3】（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程； （2）求焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）写出已知椭圆参数，结合共焦点及椭圆所过的点求椭圆标准方程； （2）根据虚轴长、离心率及双曲线参数关系求双曲线参数，即可得双曲线标准方程. 【详解】（1）由，可知，令所求椭圆为且， 则且在椭圆上，可得，故，， 所以，所求椭圆标准方程为. （2）由题意，令双曲线为且，， 所以，故所求双曲线标准方程为. 【变式4】已知双曲线的离心率为，且双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为2．求的方程． 【答案】 【分析】根据离心率设，再根据渐近线方程结合点到直线距离即可得到关于的方程，解出即可. 【详解】由题意知，双曲线的离心率为，设，则， 设双曲线的一条渐近线方程为， 则双曲线的右焦点到渐近线的距离为，解得， 所以的方程为． 题型03双曲线的渐近线问题 【典例1】过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】由题可得四边形为矩形，则，由，结合，求出，再利用勾股定理即可求解. 【详解】如图，设为C的左焦点，连接，则四边形为平行四边形， 因为以线段MN为直径的圆过F，所以，从而四边形为矩形， 所以． 由双曲线的定义，得，即， 又因为，所以． 由，得，解得， 所以，故C的渐近线方程为． 【变式1】双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程直接代入渐近线方程计算可得结果. 【详解】由双曲线可得其标准方程为，则， 所以，所以渐近线方程为； 故答案为： 【变式2】若双曲线的渐近线为 . 【答案】 【分析】化方程为双曲线的标准方程，即可得出渐近线方程. 【详解】由可得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为： 【变式3】双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可. 【详解】由方程知，双曲线对应参数为，则其渐近线为， 所以，渐近线方程为. 故答案为： 【变式4】双曲线的右顶点到其渐近线的距离为 . 【答案】/ 【分析】由双曲线方程依次得其渐近线和顶点坐标，再利用点到直线距离即可求解. 【详解】易得该双曲线的渐近线方程为，右顶点坐标为， 则其右顶点到其渐近线的距离为． 故答案为：. 题型04 双曲线的离心率问题（定值） 【典例1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，若点P在C的右支上，且，，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】在和中，利用余弦定理并结合已知条件可得，从而可得离心率. 【详解】如图，在中，由余弦定理得，同理可得． 又因为，且，所以，即，又因为, 所以C的离心率． 故答案为：. 【变式1】已知双曲线E：的左、右焦点分别为，．若点A，B在E的左支上，且，，则E的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】假设点在第二象限，设，则,结合双曲线定义、勾股定理得，再由勾股定理得，结合离心率公式解方程即可得解. 【详解】假设点在第二象限，如图，设，则． 由双曲线的定义得，． 因为，所以在中，， 即，整理得， 所以，， 故在中，，即， 整理得，所以．又，所以．    故答案为：. 【变式2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为，直线过点且与双曲线交于，两点，若，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【分析】根据条件用表示，在及中，分别利用余弦定理表示，，由可得的齐次式，从而可出离心率． 【详解】椭圆，则椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 易知椭圆的离心率，从而． 若，，则， 从而，， 设双曲线的半焦距为，双曲线的离心率为， 在中，由双曲线的定义可知，从而， 由余弦定理可得：． 在中，由双曲线的定义可知，从而， ． 由，可得， 即，则， 解得或（舍去）． 故答案为：2． 【变式3】已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为N，M，且为线段的中点，，则此双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先画出图形，根据相似和勾股定理可得，然后根据双曲线的定义可求出，然后在直角三角形中根据勾股定理可求出之间的关系，从而求出离心率. 【详解】如图所示，根据相似，. 因为，所以. 所以，又， 根据勾股定理得，化简得， 所以，故. 故答案为：. 【变式4】已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点且与轴垂直的直线与在第一象限交于点，直线与的渐近线在第一象限交于点，若是的中点，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】利用双曲线方程求得，，利用中点坐标公式求得，结合点在渐近线方程上，可求得离心率. 【详解】由双曲线，可得右焦点，右顶点， 过过点且与轴垂直的直线方程为，代入双曲线方程可得， 解得，又因为点在第一象限，故， 因为是的中点，所以由中点坐标公式可得， 直线与的渐近线交于点，又渐近线方程， 所以，所以，两边平方得， 所以，所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 题型05 双曲线的离心率问题（最值或范围） 【典例1】如图，，分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线C左支上一点，四边形为等腰梯形，且．若，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义可得，在中结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，由双曲线的定义可知，， 又四边形为等腰梯形，且，则， 则， 在中，由余弦定理可得， ， 即， 化简可得，即，解得， 又，所以. 故选：D 【变式1】已知双曲线的焦距为，直线过点，且点到直线的距离与点到直线的距离之和，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，由可得，据此可得答案. 【详解】设直线，即．由点到直线的距离公式， 得点到直线的距离，点到直线的距离. 因，则. 由 ,则. 故选：C． 【变式2】已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线．垂足为．若恒成立，则的离心率的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意画出草图，结合草图找到不等关系，再利用双曲线的离心率公式化简求范围. 【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为， 设，则点到渐近线的距离. 由双曲线的定义可得，故， 所以，即的最小值为， 因为恒成立，所以恒成立，即恒成立， 所以，，即，即， 所以，，即，解得. 故答案为：. 【变式3】已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，是线段的中点，，，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由可知，又可得，则．设，，在中，由双曲线的定义及勾股定理可求得，．由根据正弦定理可知，进而可求得离心率的范围． 【详解】由可知， 由是线段的中点，是线段的中点，则，可得．    设，， 在中，由双曲线的定义可知，由勾股定理可知， 则，， 因为，所以由正弦定理可知， 代入整理可得，则， 又，所以． 则双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为：． 【变式4】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用得的关系式，然后求得离心率范围. 【详解】设直线的方程为，则其与另一条渐近线的交点为，    由为锐角，可得，即， 化简得，，，所以．故离心率的取值范围为． 故答案为： 求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求建立不等关系求出离心率取值范围； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次不等式，然后转化为关于的不等式； 题型06根据双曲线的离心率求参数 【典例1】已知双曲线的离心率为，则 ． 【答案】或 【分析】直接利用双曲线的方程，求出，，，利用离心率公式求解即可． 【详解】解：双曲线， 当焦点在轴时，，， 可得， 双曲线的离心率为， ，即，解得， 当焦点在轴时，，， 可得， 双曲线的离心率为， ， 可得，即，可得． 故答案为：或． 【变式1】若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线的离心率公式求出的值，再利用双曲线渐近线方程的公式得出渐近线方程. 【详解】已知离心率，由离心率公式可得（这是因为，两边同时除以得到，再开方就得到）. 所以，平方可移项得到. 可得. 对于双曲线（，），其渐近线方程为. 已经求得，将其代入渐近线方程，可得渐近线方程为. 故选：A 【变式2】已知双曲线C：的离心率，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用离心率公式计算即可. 【详解】若曲线C：表示双曲线，且， 则双曲线标准方程为，， 则，即. 故选：A. 【变式3】已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以， 即,解得或,又因为,即. 故选：A 【变式4】（多选）若双曲线的离心率是2，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【分析】根据双曲线的解析式，确定取值范围，分和两种情况结合双曲线离心率列出方程解得即可. 【详解】因为双曲线方程为，所以有， 解得或；双曲线离心率为 若，则有，，双曲线离心率为， 即，解得； 若，则有，，双曲线离心率为， 即，解得；所以或. 故选：BC 题型07 直线与双曲线的位置关系 【典例1】若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题是含参直线与双曲线的右支有两个交点，联立方程列出不等式，求解参数的取值范围. 【详解】联立方程组消去y所得的方程为，由题意，设方程的两根为， 则 解得或． 所以k的取值范围为． 【变式1】“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断. 【详解】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 【变式2】已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 【变式3】已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作 条（填“条数”）． 【答案】4 【分析】明确点与双曲线和双曲线渐近线的位置关系即可得解. 【详解】由题双曲线的渐近线方程为， 因为点在第四象限，在双曲线外，且不在渐近线上， 所以如图过点作与双曲线有且只有一个交点的直线可以作出2条与双曲线右支相切的切线和2条分别与两条渐近线平行的直线. 故答案为：4. 【变式4】若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】直线过，根据渐近线斜率可得到取值范围. 【详解】当直线与双曲线的渐近线平行时，， 此时直线与双曲线的其中一支有一个交点， 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 可得直线一定在两渐近线之间， 则k的取值范围为. 故答案为：. 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 题型08 弦长问题 【典例1】已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知实轴长、焦点与渐近线距离，结合点线距离公式列方程求参数，即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求参数即可. 【详解】（1）∵双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为， 到直线的距离为， ∴，解得，，所求双曲线C的方程为. （2）联立，得，    ∵直线被双曲线C截得的弦长为， ∴，设直线与双曲线交于，， 则，，则. 【变式1】已知双曲线：，点的坐标为 ．设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解. 【详解】直线的方程为． 由方程组， 得． 设， 则， ． 【变式2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由且得，根据勾股定理即可求出，再由双曲线的定义即可求出，最后利用即可求出； （2）设过的直线为， 与双曲线方程联立根据韦达定理有，由弦长公式，最后由即可求出. 【详解】（1）因为且，所以焦点，即，， 所以， 根据双曲线的定义有，所以， 所以双曲线. （2）根据题意过的直线斜率为0显然不满足题意，可设过的直线为， 由， 当时，有， 设，则由韦达定理有， 所以， 因为，所以，即点和点到直线的距离相等， 则有，解得， 所以， 【变式3】已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可得的值，再由离心率，可得的值，进而求出的值，由此可求出双曲线的方程以及渐近线方程； （2）由题意得到直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得，可得，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：； （2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 联立双曲线方程可得：， 所以， 则. 【变式4】已知双曲线的离心率，实轴长. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于，两点，求； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知得、，即可得双曲线方程； （2）由题设可得，联立双曲线方程，应用韦达定理及弦长公式求. 【详解】（1）由题设，又， 所以，则. （2）由右焦点为，则， 联立双曲线方程，得，整理得， 显然，则，， 所以. 题型09三角形面积问题 【典例1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若C的离心率为2，点在C上，过的直线l交C的右支于P，Q两点． (1)求直线AP，AQ的斜率之积； (2)若的面积为，求l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件求出双曲线方程为：，设l的方程为，，，与双曲线方程联立，由韦达定理可得，，代入化简即可求解. （2）化简，由，解出的值，判断其合理性即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以C的方程为． 所以，由于直线l的斜率不为0，设l的方程为，，， 联立消去得， 由， 得，则，， 故 ． （2）由（1）得，， 所以 所以， 即，即， 解得或， 因为直线l交C的右支于P，Q两点， 所以且， 即，， 解得，所以仅有满足题意， 所以直线l的方程为或． 【变式1】已知点在双曲线C：上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．若，求的面积． 【答案】． 【分析】点代入求得双曲线方程，直线AP，AQ的斜率之和为0．得直线倾斜角关系，然后由求得直线的斜率、方程，直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理求得，再由面积公式得结论. 【详解】将点代入C得， 解得．所以C的方程为． 不妨设直线的倾斜角， 则或． 因为C的渐近线的斜率为， 由得， 解得或（舍）或（舍）或（舍）， 所以，． 故直线的方程为， 直线的方程为， 联立消去得， ，， 所以 ． 联立消去得， ，， 同理． 由得， 所以． 【变式2】已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线的方程为，由已知可得，进而求解即可得的方程； （2）求得，设，，与双曲线联立方程组可得，，根据，可求面积. 【详解】（1）由题可知，设. 因为直线与轴垂直，所以直线的方程为，与的方程联立得， 由，可知是等腰直角三角形，所以， 即，解得（负值舍去），所以， 所以的方程为. （2）由（1）可得，， 由得， 设，，且，则，. 所以. 由（1）可得，， 又， 所以. 【变式3】已知双曲线的焦距为，右顶点为，点在双曲线的渐近线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线交于M，N两点，若的面积为，求实数的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）设双曲线的半焦距为，由条件列关于的方程，解方程可求，由此可得结论； （2）设直线的方程为，联立方程组，结合设而不求法利用表示的面积，列方程求可得结论. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为， 由题意可知，① 又因为在双曲线的渐近线上，所以，② 由方程①和②解得， 所以双曲线的方程为． （2）由题意可设直线的方程为， 联立方程可得①， 所以， 且方程①的判别式， 得且． 设直线与双曲线交于两点，有 则 ， 所以，即， 解得或或， 所以实数或或． 【变式4】已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、通径公式以及双曲线中、、的关系列出方程组，求解出、的值，进而得到双曲线的标准方程. （2）先设出直线方程，然后联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得到和，再根据三角形面积公式列出关于的方程，求解出的值，从而得到直线方程. 【详解】（1）由题意可得 解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线. 联立整理得， 则， . 因为的面积为， 所以，即， 整理得，即，即， 解得，所以， 故直线的方程为或 题型10中点弦和点差法 【典例1】已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析. 【分析】（1）根据条件计算双曲线焦点坐标，结合渐近线方程可得结果. （2）利用点差法计算直线的方程，与双曲线方程联立可得无交点，故点N不能是线段的中点. 【详解】（1）由题意得，椭圆焦点坐标为. ∵双曲线渐近线方程为， ∴，解得， ∴双曲线C的标准方程为. （2）假设点N能是线段的中点，设，则， 由得 ， ∴， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 由得， ∵，∴直线与双曲线无交点， ∴点N不能是线段的中点. 【变式1】已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设，，先由重心坐标公式求出弦的中点坐标，再由，在双曲线上结合点差法和中点坐标公式以及两点斜率公式即可求解. 【详解】设，， 因为，，由重心坐标公式得，， 所以弦的中点坐标为，，即． 又，在双曲线上，由题意知直线的斜率存在，则， 故，作差得， 将中点坐标代入得． 故答案为： 【变式2】已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设，由条件可得，，由点差法可求出的值，从而得出离心率. 【详解】设，则，， 将两点坐标代入双曲线方程得：，， 将上述两式相减可得： ， 即，可得， 所以，即. 故答案为：. 【变式3】设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 【答案】1 【分析】设，通过点差法即可求解； 【详解】设，则的中点 在双曲线上，，两式相减得， 则，则． 此时，即，联立方程，消去y得， 此时，故直线与双曲线有两个交点. 故答案为：1 【变式4】已知圆心为的动圆与：外切，与：内切. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求坐标原点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据这些关系求出动圆圆心M到两定圆圆心的距离之和为定值，从而根据椭圆的定义确定M的轨迹方程.   （2）利用点差法求出直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程，再根据点关于直线对称的性质求出点P的坐标. 【详解】（1）设动圆M的半径为r，的圆心，半径； 的圆心，半径. 圆相内切， 因为动圆M与外切，所以； 动圆M与内切，所以，则. 又. 因为， 根据椭圆的定义，点M的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆. 则，，根据，可得. 所以M的轨迹方程为. （2）设，. 因为A，B在椭圆上，所以. 两式相减得：. 因为N为线段AB的中点，所以，. 则直线AB的斜率. 直线AB的方程为，即. 设点P，则，即. 又中点在直线AB上，所以. 将代入上式得：. 解得，. 所以点P的坐标为. 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 1．直线与双曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】方法一：将直线方程与双曲线方程联立即可求得交点个数；方法二：将直线与渐近线的斜率比较进行判断. 【详解】方法一：由 可得，， 所以直线与双曲线有2个交点． 方法二：双曲线的渐近线为， 易知直线过双曲线的左顶点，且斜率为， 所以直线与双曲线有2个交点． 故选：C 2．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线方程的形式进行求解即可. 【详解】由，且该双曲线的焦点在纵轴， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：A 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一利用斜率转化直角三角形中角的正切值，再利用正弦定理转化边之比，最后利用面积可求解各边，即可求双曲线方程； 方法二是利用焦半径关系，结合直角三角形中角的正切值和面积关系即可求解焦半径，再用勾股定理和双曲线的定义可得双曲线方程. 【详解】 解法一：如图，点一定在第四象限，． 设，，， 由得． 因为，所以，即，，则． 由正弦定理得， 则可设，． 由得， 则，，，． 由双曲线的定义得，即，， 所以双曲线的方程为． 解法二：由解法一知点一定在第四象限，．设，， 则．因为是面积为8的直角三角形，所以①， 因为直线的斜率为2，所以，即②． 联立①②解得，， 则，即． 又由勾股定理得：，即．故， 所以双曲线的方程为． 故选：C 4．已知双曲线的两条渐近线分别为与与为上关于原点对称的两点，为上一点且（为双曲线离心率），则双曲线离心率可能的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得渐近线方程，设出点坐标，结合，化简可得，再利用导数确定零点个数，结合零点存在定理求解即可. 【详解】设直线的方程为，则直线的方程为， 设点，，则点， ，，， 即，即，令， ，在时，恒成立， 单调递增， 又，，， 由零点存在性定理可知方程的解在区间内. 故选：C． 5．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由双曲线的定义求出a，再根据双曲线与双曲线N共渐近线设出双曲线M的方程，分焦点在x轴上与焦点在y轴上两种情况进行分类讨论即可. 【详解】由题意易知． 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为； 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为． 故选：D 6．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，过C的左焦点F的直线与C的右支交于点G，且与：相切于点E，若M为FG中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由双曲线的渐近线得双曲线的基本量，再由双曲线的定义及三角形的中位线定理及圆的切线性质即可得出. 【详解】由双曲线C：的一条渐近线方程为，得，则. 如图，    设C的右焦点为，由双曲线的定义得， 由M为FG的中点，知，，则①， 又，，，所以，由图知M在线段EF上，故②， ②－①得，又，所以． 故选：B. 7．已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，点P在C上且在第一象限内，设直线AP与BP的斜率分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先通过题干求出和两点的坐标，再设出点的坐标，写出两条直线的斜率，最后利用均值不等式即可求出. 【详解】由题意，双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，，， 设，则直线的斜率；直线的斜率，， 又因为点P在C上，，即，，又P在第一象限，，， ，当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为2. 故选：. 8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查椭圆和双曲线的性质，根据题意，将应用到的性质转化成数学符号，进行运算. 【详解】设双曲线的焦距为． 则依题意得，，，，． 由得于是，． 又，则． 设，由，． 由在区间上为减函数，得的值域为． 所以的取值范围为， 故选B． 9．（多选）已知点在左、右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BC 【分析】根据方程可求渐近线方程和离心率，求出可判断CD选项. 【详解】由题意可得，焦点在轴上，所以， 渐近线方程为，离心率为，A错误，B正确； 不妨设点在双曲线的右支上，所以， 因为，所以， 所以，C正确； ，所以，D错误. 故选：BC 10．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】 根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率. 【详解】 根据双曲线的定义，可得， 因为是等边三角形，即， 所以，即， 又，所以， 因为中，，，， 所以， 即，解之得， 由此可得双曲线的离心率． 故答案为： 11．求适合下列条件的曲线方程： (1)与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程； (2)渐近线方程为，经过点双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意先求出椭圆的焦点坐标，设出椭圆的标准方程，代入点运算得解； （2）设出共渐近线的双曲线方程，代入点运算得解. 【详解】（1）与椭圆有相同的焦点，则椭圆的焦点为，所以， 设椭圆的方程为，将代入可得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）由渐近线方程为，设双曲线的方程为，， 代入点可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 12．已知双曲线的离心率为，实轴长为． (1)写出双曲线的渐近线方程； (2)直线与双曲线右支交于不同的两点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据双曲线离心率公式、长轴长定义，结合双曲线渐近方程进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】（1）由已知有，，所以， 所以双曲线方程为，或，渐近线方程为 （2）设两交点坐标分别为，， 联立，消去得， 由已知，因为直线与双曲线右支交于不同的两点， 所以解得， 实数的取值范围为. 13．已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设所求双曲线方程为，根据过知，把点代入求得，即可得出答案． （2）当直线l与双曲线的一条渐近线平行时，设直线l的方程为，根据三角形面积公式列方程求出，当直线l与双曲线相切时，设其方程为，与双曲线方程联立，利用求得，结合三角形面积公式列方程求得及，即可得出答案． 【详解】（1）由题意知该双曲线焦点在x轴上，故设其方程为， 根据过知，又过，故有，解得， 所以双曲线C的标准方程为； （2）直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且与坐标轴正半轴所围成三角形，分两种情况： 当直线l与双曲线的一条渐近线平行时，设直线l的方程为， 此时三角形的面积为，解得，所以直线l的方程为； 当直线l与双曲线相切时，直线l的斜率显然存在，设其方程为， 联立，得， 所以且，即， 又因为三角形的面积为，解得（负根舍去）， 所以，解得（正根舍去），所以直线l的方程为； 综上，直线l的方程为或. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $