第一章 专题强化5 带电粒子在电场中运动的综合问题(Word教参)-【步步高】2024-2025学年高一物理必修第三册学习笔记（教科版）

本讲义聚焦带电粒子在交变电场及电场与重力场复合中的运动，系统梳理直线、曲线（类平抛）、圆周运动等类型，通过分析运动条件、分解过程、结合动力学与能量方法构建递进式学习支架。 资料以v-t图像等模型直观呈现复杂运动，例题解析注重科学推理与模型建构，强化练覆盖多样情境。课中助力教师系统教学，课后帮助学生巩固物理观念，提升科学思维，有效查漏补缺。

专题强化5　带电粒子在电场中运动的综合问题 [学习目标]　1.学会分析带电粒子在交变电场中的运动(重难点)。2.学会分析带电粒子在复合场(重力场与电场)中的运动(重难点)。 一、带电粒子在交变电场中的直线运动 1．电场强度的大小和方向随时间做周期性变化的电场叫作交变电场(常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等)。 2．此类问题中，带电粒子进入电场时初速度为零，或初速度方向与电场方向平行，带电粒子在交变电场电场力的作用下，做加速、减速交替的直线运动。 3．该问题通常用动力学知识分析求解。重点分析各段时间内的加速度、运动性质。 例1　(2023·遂宁市高二期末)如图甲所示，在两平行金属板间加有一交变电场，两极板间可以认为是匀强电场，当t＝0时，一带电粒子从左侧极板附近开始运动，其速度随时间变化关系如图乙所示。带电粒子经过4T时间恰好到达右侧极板，(带电粒子的质量m、电荷量q、速度最大值vm、时间T为已知量)则下列说法正确的是(　　) A．带电粒子在两板间做往复运动，周期为T B．两板间距离d＝2vmT C．两板间所加交变电场的周期为T，所以电压大小U＝ D．若其他条件不变，该带电粒子从t＝开始进入电场，该粒子不能到达右侧板 答案　B 解析　速度—时间图像与横轴围成的面积表示位移，由题图乙可知位移不断增加，带电粒子在两板间做单向直线运动，故A错误；由题图乙可知两板间距离为d＝4×＝2vmT，故B正确；速度—时间图像斜率表示加速度，由题图乙可知两板间所加交变电场的周期为T，粒子在电场中加速度大小a＝＝，解得U＝，故C错误；该带电粒子从t＝开始进入电场的v－t图像如图所示，由图像可知粒子正向位移大于负向位移，所以带电粒子从t＝开始进入电场，运动方向时而向右，时而向左，该粒子最终打到右侧板，故D错误。 通过粒子的v－t图像，可将粒子复杂的运动过程形象、直观地反映出来，便于求解。 二、带电粒子在交变电场中的曲线运动 若带电粒子以一定的初速度垂直于电场方向进入交变电场，粒子将做曲线运动，应用运动的独立性，分方向对粒子的运动进行分析： (1)在初速度方向上，粒子做匀速直线运动。 (2)在垂直初速度方向上， ①若带电粒子的初速度很大，粒子通过交变电场时所用时间极短，在该段时间内电场几乎不变，可认为粒子所受电场力为恒力。 ②若带电粒子的初速度较小，粒子通过交变电场时所用时间较长，粒子将在此方向上做加速、减速交替的运动，可利用vy－t图像分析在此方向上的速度、位移。 例2　(多选)如图甲所示，长为8d、间距为d的平行金属板水平放置，O点有一粒子源，O点到两极板的距离相同，能持续水平向右发射初速度为v0、电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子，在两板间存在如图乙所示的交变电场，取竖直向下为正方向，不计粒子重力，下列判断正确的是(　　) A．粒子在电场中运动的最短时间为 B．射出粒子的最大动能为mv02 C．t＝时刻射入的粒子，从O′点射出 D．t＝时刻射入的粒子，从O′点射出 答案　AD 解析　由题图乙可知电场强度大小E＝，则粒子在电场中的加速度a＝＝，粒子在电场中运动的最短时间满足＝atmin2，得tmin＝，选项A正确；能从板间射出的粒子在板间运动的时间均为t＝，则任意时刻射入的粒子若能射出电场，则射出电场时沿电场方向的速度均为0，可知射出电场时粒子的动能均为mv02，选项B错误；t＝＝时刻射入的粒子，先向下做匀加速运动，由于T＝>tmin，粒子将打在下极板上，选项C错误；t＝＝时刻射入的粒子，在沿电场方向的运动是：先向上加速，后向上减速速度到零；然后向下加速，再向下减速速度到零…如此反复，则最后射出时沿电场方向的位移为零，则粒子将从O′点射出，选项D正确。 三、带电粒子在电场和重力场中的直线运动 1．做直线运动的条件 (1)合外力为零，物体做匀速直线运动； (2)合外力不为零，但合外力的方向与运动方向在同一直线上，物体做匀变速直线运动。 2．处理带电粒子在电场和重力场中的直线运动的方法 (1)动力学方法——牛顿运动定律、运动学公式。 (2)功、能量方法——动能定理、能量守恒定律。 例3　(2023·成都市高二期末)如图，平行板电容器的两极板与水平方向成30°，两极板与一直流电源相连(图中电源未画出)。若一质量为m、电荷量为－q的液滴以水平初速度v0进入电容器且恰能沿图中所示的水平直线向右通过电容器，重力加速度为g，则(　　) A．a极板带负电 B．液滴在极板间做匀速直线运动 C．极板间的电场强度大小为 D．液滴在极板间运动的加速度大小为 答案　D 解析　根据题意可知，液滴做直线运动，则其所受合力方向必定沿该直线，可知液滴所受电场力方向必定垂直于极板指向a极板，液滴带负电，则电场强度方向由a极板指向b极板，即a极板带正电，A错误；对液滴进行受力分析如图所示，由于合力方向与速度方向相反，可知液滴在极板间做匀减速直线运动，B错误；对液滴受力分析有qEcos 30°＝mg，mgtan 30°＝ma，解得E＝，a＝，C错误，D正确。 四、带电粒子在电场和重力场中的类平抛运动 1．运动分解的方法：将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的匀加速直线运动，在这两个方向上分别列运动学方程或牛顿第二定律。 2．利用功能关系和动能定理分析 (1)功能关系：电场力做功等于电势能的变化量，W电＝Ep1－Ep2。 (2)动能定理：合外力做功等于动能的变化量，W＝Ek2－Ek1。 例4　(2024·湖南湘西高二阶段练习)将带正电、负电和不带电的三个等质量小球，以相同的水平速度由P点射入水平放置的平行金属板间，已知上板带负电，下板接地。三个小球A、B、C的轨迹如图所示，则下列说法错误的是(　　) A．小球A带正电、小球B不带电、小球C带负电 B．三个小球在电场中加速度大小关系为aA<aB<aC C．三个小球在电场中运动时间关系为tA>tB>tC D．三个小球到达下板时的动能关系为EkA>EkB>EkC 答案　D 解析　三个小球在水平方向上都做匀速直线运动，则有x＝v0t，由题图可以看出水平位移关系为xA>xB>xC，三个小球水平速度v0相同，则运动时间关系为tA>tB>tC，故C正确，不符合题意；竖直方向上三个小球都做匀加速直线运动，由题图看出竖直位移y大小相等，由y＝at2，可知加速度关系为aA<aB<aC，根据牛顿第二定律得到合力关系为FA<FB<FC，三个小球重力相同，而平行金属板上板带负电，可以判断出来小球A带正电、小球B不带电、小球C带负电，故A、B正确，不符合题意；三个小球所受合力方向都竖直向下，都做正功，竖直位移大小相等，而合力关系为FA<FB<FC，则合力做功大小关系为WA<WB<WC，根据动能定理得三个小球到达下板时的动能关系是EkA<EkB<EkC，故D错误，符合题意。 五、带电粒子在电场和重力场中的圆周运动 解决电场和重力场中的圆周运动问题的方法 1．首先分析带电体的受力情况进而确定向心力的来源。 2．用“等效法”的思想找出带电体在电场和重力场中的等效“最高点”和“最低点”。 (1)等效重力法 将重力与电场力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“等效重力”，F合的方向为“等效重力”的方向，即等效重力场中的“竖直向下”方向。a＝视为等效重力场中的“等效重力加速度” (2)几何最高点(最低点)与物理最高点(最低点) ①几何最高点(最低点)：是指图形中所画圆的最上(下)端，是符合人视觉习惯的最高点(最低点)。 ②物理最高点(最低点)：是指“等效重力F合”的反向延长线过圆心且与圆轨道的交点，即物体在圆周运动过程中速度最小(大)的点。 例5　(多选)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球，小球所带电荷量大小为q。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿顺时针做完整的圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A．匀强电场的电场强度E＝ B．小球动能的最小值为Ek＝ C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 答案　AB 解析　如图所示，小球静止时细线与竖直方向成θ角，受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有mgtan θ＝qE，解得E＝，选项A正确；小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，则在等效最高点A时速度最小，根据牛顿第二定律有＝m，得v＝，则小球动能的最小值为Ek＝mv2＝，选项B正确；小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置时机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，选项C错误；小球从初始位置开始，在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，电场力先做负功，后做正功，再做负功，则其电势能先增大后减小，再增大，选项D错误。 专题强化练　[分值：60分] 1～5题每题5分，共25分 1.(2023·重庆市凤鸣山中学高二期末)匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示，当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子(带正电)，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是(　　) A．带电粒子将始终向同一个方向运动 B．2 s末带电粒子回到原出发点 C．3 s末带电粒子的速度不为零 D．0～3 s内，电场力做的总功为零 答案　D 解析　由牛顿第二定律可知，带电粒子在第1 s内的加速度为a1＝，第2 s内的加速度为a2＝，故a2＝2a1，因此先加速1 s，再减速0.5 s时速度为零，接下来的0.5 s将反向加速，v－t图像如图所示，带电粒子在第1 s内匀加速运动，在第2 s内先匀减速后反向匀加速，所以不是始终向同一个方向运动，故A错误；根据速度—时间图像与t轴围成的面积表示位移可知，在t＝2 s时，带电粒子没有回到原出发点，故B错误；由图可知，3 s末带电粒子的瞬时速度刚好减到0，故C错误；因为第3 s末粒子的速度刚好减为0，根据动能定理可知，0～3 s内，电场力做的总功为零，故D正确。 2.(2023·乐山市草堂高级中学高二期中)如图所示，水平向左的匀强电场中，质量为m的带电小球从A点沿直线运动到B点。不计空气阻力，则(　　) A．小球一定带负电 B．小球在做匀加速直线运动 C．小球的电势能减小 D．小球的机械能增加 答案　A 解析　小球做直线运动，则小球所受的合力一定与小球的初速度共线，当小球带正电时，电场力方向水平向左，重力竖直向下，合力斜向左下方，不可能与小球的初速度共线，当小球带负电时，小球所受电场力水平向右，与重力的合力斜向右下方，当合力的方向与小球的初速度共线时，小球做直线运动，故A正确；由A项分析可知，小球所受合力的方向与初速度方向相反，小球做匀减速直线运动，故B错误；小球所受电场力水平向右，位移斜向左上方，可知电场力做负功，故小球的电势能增加，故C错误；根据能量守恒定律，小球的电势能增加，则小球的机械能减小，故D错误。 3．(多选)如图(a)所示，A、B表示真空中水平放置的间距为d的平行金属板，板长为L，两板加电压后板间电场可视为匀强电场，现在A、B两板间加上如图(b)所示的周期性的交变电压，在t＝时，恰有一质量为m、电荷量为q的粒子在板间中央沿水平方向以速度v0射入电场，忽略粒子重力，下列关于粒子运动状态的表述正确的是(　　) A．粒子在垂直于板的方向的分运动不可能是单向运动 B．粒子在垂直于板的方向的分运动可能是往复运动 C．粒子不可能沿与板平行的方向飞出 D．只要电压周期T和v0的值满足一定条件，粒子可以沿与板平行的方向飞出 答案　BD 解析　粒子在平行于板的方向做匀速直线运动，在垂直于板的方向上粒子受到电场力的作用，做匀变速直线运动，粒子从t＝时刻出发，在电场中的运动时间不明确，可能做单向运动，也可能做往复运动，故A错误，B正确。若粒子在(＋n)(n＝1,2，…)时刻从右端离开电场，此时粒子沿电场方向的分速度恰好为0，粒子就可沿与板平行的方向飞出，故C错误，D正确。 4.(多选)如图所示，真空环境下，三个质量相同、带电荷量分别为＋q、－q和0的小液滴a、b、c，从竖直放置的两板中间上方由静止释放，最后从两板间穿过，小液滴a、b、c的运动轨迹如图所示，则在穿过极板的过程中，下列说法正确的是(　　) A．电场力对液滴a、b做的功相等 B．三者动能的增量相同 C．液滴a与液滴b电势能的变化量相等 D．重力对液滴c做的功最多 答案　AC 解析　因为液滴a、b的带电荷量的绝对值相等，则两液滴所受的电场力大小相等，由静止释放，穿过两板的时间相等，则偏转位移大小相等，电场力做功相等，故A正确；电场力对a、b两液滴做功相等，重力做功相等，则a、b动能的增量相等，对于液滴c，只有重力做功，故c动能的增量小于a、b动能的增量，故B错误；对于液滴a和液滴b，电场力均做正功，电场力所做的功等于电势能的减少量，故C正确；三者在穿过极板的过程中竖直方向的位移相等，质量相同，所以重力做的功相等，故D错误。 5.(多选)(2023·北京交通大学附属中学高二期中)如图所示，真空中存在竖直向下的匀强电场，一个带电油滴(考虑重力)沿虚线由a向b运动，以下判断正确的是(　　) A．油滴一定带负电 B．油滴的电势能一定增加 C．油滴的动能一定减少 D．油滴的动能与电势能之和一定减少 答案　AD 解析　物体做曲线运动时，受到的合力的方向指向物体运动轨迹弯曲的凹侧，由此可知，该油滴受到的电场力的方向是向上的，与电场方向相反，所以油滴一定带负电，故A正确； 该油滴受到的电场力做正功，电势能减小，故B错误；该油滴受到的电场力做正功，而重力做负功，油滴的动能不一定减小，故C错误；重力对油滴做负功，重力势能增加，根据能量守恒，油滴的动能和电势能之和一定减小，故D正确。 6～9题每题6分，共24分 6.(多选)(2023·南阳市卧龙区高二月考)如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则(　　) A．小球可能做匀速圆周运动 B．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小 C．当小球运动到最高点a时，小球的电势能一定最小 D．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大 答案　AC 解析　当重力等于电场力时，只有细线的拉力提供向心力，小球可能做匀速圆周运动，故A正确；当重力小于电场力时，a点为等效最低点，则小球运动到最高点a时，小球的速度最大，线的张力最大，故B、D错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，在圆周上a点的电势最高，根据Epa＝qφa，当小球运动到最高点a时，小球的电势能一定最小，故C正确。 7.一水平放置的平行板电容器的两极板间距为d，极板分别与电源两极相连，上极板中心有一个小孔(小孔对电场的影响可忽略不计)。小孔正上方处的P点有一带电粒子，该粒子从静止开始下落，经过小孔进入电容器，并在下极板处(未与极板接触)返回，不计空气阻力。若仅将下极板向上移动(图中虚线处)，则仍从P点开始下落的相同粒子将(　　) A．打到下极板上 B．在下极板处(未与极板接触)返回 C．在距上极板处返回 D．在距上极板处返回 答案　C 解析　下极板未移动时，粒子从静止释放到速度为零的过程由动能定理得mg·d－qU＝0 将下极板向上移动，设粒子运动到距离上极板x处返回；因极板分别与电源两极相连，则电压U不变，电场强度E＝＝，根据动能定理得mg·(＋x)－q··x＝0，联立解得x＝，故选C。 8.如图所示，两平行金属板间有一匀强电场，板长为L，板间距离为d，在距板右端L处有一竖直放置的光屏M。一电荷量为q、质量为m的带电微粒从两板中央水平射入板间，最后垂直打在光屏M上，重力加速度为g，则下列结论正确的是(　　) A．板间的电场强度大小为 B．板间的电场强度大小为 C．微粒在板间运动时动能的增加量等于电场力做的功 D．微粒在板间运动时间大于它从板右端运动到光屏的时间 答案　B 解析　由题意可知，微粒在平行金属板间轨迹应向上偏转，飞出电场后轨迹向下偏转，才能垂直打到光屏M上。对微粒的运动进行分解，在水平方向上微粒做匀速直线运动，又因微粒在板间运动的水平位移与它从板的右端运动到光屏的水平位移相等，故微粒在板间的运动时间等于它从板的右端运动到光屏的时间，D错误；微粒在板间运动过程中受到重力和电场力作用，故微粒在板间运动时动能的增加量等于重力和电场力做的功之和，C错误；微粒最后垂直打在光屏M上，即末速度水平，则微粒在板间运动时在竖直方向上做初速度为零的匀加速运动，微粒从板的右端运动到光屏的过程中在竖直方向上做末速度为零的匀减速运动，又因竖直方向上做匀加速运动的时间与做匀减速运动的时间相等，故做匀加速运动的加速度大小与做匀减速运动的加速度大小相等，故qE－mg＝mg，得E＝，B正确，A错误。 9.(2023·池州市期中)如图所示，空间内存在方向水平向右的匀强电场，一根长为L、不可伸长的绝缘细绳的一端连着一个质量为m、带电荷量为＋q的小球，另一端固定于O点。初始时细绳(张紧状态)与电场线平行，由静止释放小球，已知小球摆到最低点的另一侧时，细绳与竖直方向的最大夹角θ＝30°，重力加速度为g，则(　　) A．匀强电场的电场强度大小为 B．摆动过程中小球的最大速度为 C．摆动过程中小球所受的最大拉力为 D．小球经过最低点时的速度为 答案　C 解析　设匀强电场的场强为E，对小球由静止到摆到最低点的另一侧的最高位置的过程，根据动能定理有mgLcos θ－qEL(1＋sin θ)＝0，解得E＝，故A错误；将电场力与重力合成，有F合＝，合力方向与竖直方向成30°角斜向右下，将合力等效成一个合场力，找出等效最低点O′，对处于O′的小球受力分析，如图所示，由几何关系得α＝60°，研究小球由静止到O′点的过程，根据动能定理有mgLsin α－qEL(1－cos α)＝mvO′2－0，解得vO′＝，小球在O′点时受到的拉力最大，设为Fmax，根据牛顿第二定律得，Fmax－F合＝m，解得Fmax＝，故B错误，C正确；小球在O′点时的速度最大，所以小球经过最低点时的速度小于摆动过程中的最大速度，故D错误。 　(11分) 10．(2023·成都市树德中学高二阶段练习)在真空中有水平放置的两个平行、正对金属平板，板长为l，两板间距离为d，在两极板间加一如图乙所示的交变电压，质量为m、电荷量为e的电子以速度v从两极板左端中点沿水平方向连续均匀地射入两平行板之间。若电子经过两极板间的时间相比交变电流的周期可忽略不计，不考虑电子间的相互作用，下列说法错误的是(　　) A．当Um<时，所有电子都能从极板的右端射出 B．当Um＝时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1∶2 C．当Um>时，有电子能从极板的右端射出 D．当Um＝时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1∶(－1) 答案　B 解析　两极板间电压为Um时，由牛顿第二定律可得＝ma，a＝，电子做类平抛运动，在水平方向上l＝vt，在竖直方向上y＝at2，当y＝d时，电子恰好从极板边缘飞出，此时Um＝。当Um<时，所有电子都能从极板的右端射出，A正确；当Um＝时，一个周期内有的时间电压低于临界电压，因此有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1∶1，B错误；当Um>时，有部分电子能从极板的右端射出，C正确；当Um＝时，一个周期内有个周期的时间电压低于临界电压，因此有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1∶(－1)，D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $