25.2用列举法求概率（第2课时)（教学设计）数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“用树状法求概率”核心知识点，通过复习概率公式及列表法导入，针对多步骤试验结果列举难题，引入树状图法，搭建从已知到新知的学习支架，梳理概率计算方法脉络。 以三个口袋取球、十字路口汽车行驶等生活实例为载体，分步骤引导画树状图培养逻辑思维，结合中考真题强化应用，渗透数形结合思想，助力学生用数学眼光观察现实、用数学语言表达问题，提升解题能力，便于教师高效教学。

　　　　　25.2用列举法求概率（第2课时)（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十五章概率初步，25.2用列举法求概率第2课时,内容为用树状法计算了一些简单随机试验中随机事件的概率。 2.内容解析 上一节课学习了通过列举试验结果的方法，计算了一些简单随机试验中随机事件的概率。本节课继续研究用列举试验结果的方法，分析和解决简单随机试验中的有关问题，深化对概率意义的认识。本课的主要内容是学习用树状法求概率。概率与人们的日常生活密切相关，应用广泛。了解和掌握一些概率统计的基本知识是高中进一步学习概率统计的基础，在教材中处于非常重要的位置。 基于以上分析，确定本节课教学重点为会用树状法求简单事件的概率。 1. 教学目标 （1）会用树状法求简单事件的概率；能利用概率知识解决涉及两个因素的事件的概率问题； （2）经历试验、列树状图、统计、运算等活动，渗透数形结合，分类讨论、特殊到一般的思想，培养学生在具体情境中分析问题和解决问题的能力； （3）通过数学活动，体会数学的应用价值，培养积极思考的学习习惯。 2.目标解析 （1）本节课继续研究用列树奖图试验结果的方法求概率，本节课中的试验结果相对复杂列举试验结果的难度有所提高，为了条理清楚、不重不漏地列举试验的结果，本节课学习用列树状图法求概率。由于列树状法主要适用于试验结果不很多的情形，因此教学中要注意控制难度，不要引入结果种数太多的试验； （2）列树图法对于列举涉及两个因素可以分两步进行的试验，经历试验、列树状图、统计、运算等活动，渗透数形结合，分类讨论、特殊到一般的思想，培养学生在具体情境中分析问题和解决问题的能力； （3）通过数学活动，概率与人们的日常生活密切相关，应用广泛，分析和解决生活中的实例问题，体会数学的应用价值，培养积极思考的学习习惯。 九年级学生活泼好动、有一定的自学能力，好奇心、求知欲、表现欲强，他们具有一定的观察、分析、归纳能力，具备一定的探索知识自主创新的能力。为培养他们的自主学习能力，提高课堂学习效率，根据学生的特点，本节课以学生自主学习和合作学习方式进行学习,联系生活中的实际问题选择用列树状图解决，选择适合学生的练习，由浅入深的引导，注重培养学生的自主学习能力，通过日常生活的实例概率的计算和一定练习，激发学生的求知欲和提高学生的自信心。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为当可能出现的结果很多时，会用列树状图法列出所有可能得结果。 创设情景，引入新课 复习：1.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率。 2.如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，这样问题随机事件发生的概率我们可以用列举法和列表法来求。 （设计意图：复习相关知识点，引入新课.） 探究点1　 列树状图法求概率 问题　甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机取出1个小球。 (1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少? (2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少? 分析:①问题题中，元音字母和辅音字母分别是什么？ A， E，I是元音字母;B,C,D，H是辅音字母。 ②当一次试验是从三个口袋中取球时，列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法。 ③在画树状图时，通常采取如下的步骤: 第一步可能产生的结果为A和B，两者出现的可能性相同且不分先后，写在第一行; 第二步可能产生的结果有C，D和E，三者出现的可能性相同且不分先后，从A和B分别画出三个分支，在分支的第二行分别写上C，D和E; 第三步可能产生的结果有H和I，两者出现的可能性相同且不分先后，从C，D和E分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上H和L. 如果有更多的步骤依上继续.最后，在树状图下面对应着写出所有可能的结果. 解：根据题意，可以画出如下的树状图: 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即 A　A　A　A　A　A　B　B　B　B　B　B C　C　D　D　E　E　C　C　D　D　E　E H　I　H 　I　H　I　H　I　H　I　H　I 这些结果出现的可能性相等. (1)只有1个元音字母的结果(红色)有5种，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以P(1个元音). 有2个元音字母的结果(绿色)有4种，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以P(2个元音). 全部为元音字母的结果(蓝色)只有1种，即AEI，所以P(3个元音). (2)全是辅音字母的结果共有2种，即BCH，BDH，所以P(3个辅音)=. 类比：学习了列表法、列树状图法后，我们如何用这两种方法求例1的概率？ 列表法：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　列树状图法 　　　　　 总结：用树状图列举的结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率很有效。具体步骤为第一步可能产生的结果写在第一行（或列）;第二步可能产生的结果写在分支的第二行（列）;第三步可能产生的结果写在分支下的第三行；如果有更多的步骤依上继续.最后，在树状图下面对应着写出所有可能的结果。 （设计意图：思考讨论，如何用树状图法求概率.并类比三种方法） 典型例题 例１　如图1，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字“①”“②”“③”“④”的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子着地的数字是几，就将棋子前进几格，开始棋子在数字“1”的那一格.例如：小明先投掷骰子，所掷骰子着地一面所示数字为③，则棋子前进到数字4那一格．    (1)小明掷出骰子，数字④着地的概率为___________ (2)小明先掷骰子，小红再掷，补全图2中的树状图，并分析第一轮结束后，棋子前进到字“6”那一格的概率．    【分析】本题考查概率问题，涉及一步概率问题、两步概率问题、简单概率公式和列举法求概率，熟练掌握简单概率公式及一步概率和两步概率公式问题求法是解决问题的关键． （1）对于一步概率问题，直接利用简单概率公式求解即可得到答案； （2）对于两步概率问题，利用列举法得到可能发生的结果，再由简单概率公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：小明掷出骰子，数字④着地的概率为， 故答案为：； （2）解：如图所示：    由上述树状图可知，共有16种等可能的结果，其中棋子前进到字“6”那一格有4种， （棋子前进到字“6”那一格）． 总结：当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率很有效，用树状图列举的结果看起来一目了然。具体步骤为第一步可能产生的结果写在第一行（或列）;第二步可能产生的结果写在分支的第二行（列）;第三步可能产生的结果写在分支下的第三行；如果有更多的步骤依上继续.最后，在树状图下面对应着写出所有可能的结果. （设计意图：强化用列树状图法求概率.） 课堂练习： 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转。如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率: (1)三辆车全部继续直行: (2)两辆车向右转，一辆车向左转; (3)至少有两辆车向左转. 答案： （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题： (1)这次参与调查的村民人数为 人； (2)请将条形统计图补充完整； (3)若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率． 【详解】（1）解：这次参与调查的村民人数为：（人）； 故答案为：120； （2）喜欢广场舞的人数为：（人）， 如图所示： （3）画树状图如下： 一共有12种可能，恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的有2种可能， 故恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率为：． （设计意图：强化用列树状图法求概率的综合运用） 1．（2025•福建）在分别写有﹣1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种， ∴这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是， 故选：B． 2.（2025•安徽）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为10g，20g，30g，40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 　　 ． 【详解】解：由题意可知，20g+50g＝70g，10g+40g＝20g+30g＝50g， 把质量为10g，20g，30g，40g的四件物品分别记为1、2、3、4， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中天平恢复平衡的结果有4种， ∴天平恢复平衡的概率为， 故答案为：． 3．（2025•吉林）在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法，求参与者小刚和小利被分配到同一组的概率． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小刚和小利被分配到同一组的结果有3种， ∴小刚和小利被分配到同一组的概率是． 4.（2025•陕西）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为 　　 ； （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【详解】解：（1）∵设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A，B，C，D，E）共五个研究方向， ∴从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的结果有20种， ∴这两个小组研究方向不同的概率为． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率很有效，用树状图列举的结果看起来一目了然。具体步骤为第一步可能产生的结果写在第一行（或列）;第二步可能产生的结果写在分支的第二行（列）;第三步可能产生的结果写在分支下的第三行；如果有更多的步骤依上继续，最后，在树状图下面对应着写出所有可能的结果。 (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题25.2第4、5、6题. 探究性作业：课本习题25.2第7、8题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 25.2用列举法求概率（第二课时） 探究点1　 列树状图求概率 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $