25.2用列举法求概率（第1课时)（教学设计）数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦用列举法求概率（第1课时），核心内容为直接列举法和列表法。通过复习概率定义及事件概率范围导入，从“同时抛两枚硬币”的简单情境过渡到“同时掷两枚骰子”的复杂情境，搭建从直接列举到列表法的学习支架。 以学生自主讨论和合作学习为主，结合摸球、抽卡片等生活实例及中考真题，培养抽象能力与推理意识。通过列表法解决两步试验结果列举问题，帮助学生掌握不重不漏列举方法，提升应用意识，也为教师提供清晰教学路径和丰富实践素材。

　　　　　25.2用列举法求概率（第1课时)（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十五章概率初步，25.2用列举法求概率第1课时,内容为通过直接列举法和列表法计算了一些简单随机试验中随机事件的概率。 2.内容解析 上节利用概率的古典定义，通过列举试验结果的方法，计算了一些简单随机试验中随机事件的概率。本节课继续研究用列举试验结果的方法，分析和解决简单随机试验中的有关问题，深化对概率意义的认识。本课的主要内容是学习用直接列举法和列表法求概率。概率与人们的日常生活密切相关，应用广泛。了解和掌握一些概率统计的基本知识是高中进一步学习概率统计的基础，在教材中处于非常重要的位置。 基于以上分析，确定本节课教学重点是:会用直接列举法和列表法求简单事件的概率。 1. 教学目标 （1）会用直接列举法和列表法求简单事件的概率；能利用概率知识解决涉及两个因素的事件的概率问题； （2）经历试验、列表、统计、运算等活动，渗透数形结合，分类讨论、特殊到一般的思想，培养学生在具体情境中分析问题和解决问题的能力； （3）通过数学活动，体会数学的应用价值，培养积极思考的学习习惯。 2.目标解析 （1）本节课继续研究用列举试验结果的方法求概率，与上节的例子比较，本节课中的试验结果相对复杂列举试验结果的难度有所提高，为了条理清楚、不重不漏地列举试验的结果，本节课学习用直接列举法和列表法求概率。由于列举法主要适用于试验结果不很多的情形，因此教学中要注意控制难度，不要引入结果种数太多的试验； （2）直接列举法和列表法对于列举涉及两个因素可以分两步进行的试验，经历试验、列表、统计、运算等活动，渗透数形结合，分类讨论、特殊到一般的思想，培养学生在具体情境中分析问题和解决问题的能力； （3）通过数学活动，概率与人们的日常生活密切相关，应用广泛，分析和解决生活中的实例问题，体会数学的应用价值，培养积极思考的学习习惯。 九年级学生活泼好动、有一定的自学能力，好奇心、求知欲、表现欲强，他们具有一定的观察、分析、归纳能力，具备一定的探索知识自主创新的能力。为培养他们的自主学习能力，提高课堂学习效率，根据学生的特点，本节课以学生自主学习和合作学习方式进行学习,选择联系生活中的实际问题，选择适合学生的练习，由浅入深的引导，注重培养学生的自主学习能力，通过日常生活的实例概率的计算和一定练习，激发学生的求知欲和提高学生的自信心。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为当可能出现的结果很多时，会用直接列举法和列表法列出所有可能得结果。 创设情景，引入新课 复习：1.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率。 2.当A为必然事件时，P(A)=1;当A为不可能事件时，P(A)=0。在中,由m和n的含义，可知，进而有 ,因此，。事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0。 （设计意图：复习相关知识点，引入新课.） 探究点1　 列举法求概率 思考：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，这样问题随机事件发生的概率我们怎样求？ 学生讨论：可以直接用列举法求。 （设计意图：思考讨论，复习巩固用直接列举法求概率.） 典型例题 例1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面向上； (2)两枚硬币全部反面向上； (3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上. 【分析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果是“正正，正反，反正，反反”4种，并且这4种结果出现的可能性相等，符合求概率的两个要素。 追问：“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗? “同时抛掷两枚硬币”和“先后两次抛掷一枚硬币”的试验所有可能的结果都可以取“正正，正反，反 正，反反”4种。 【详解】解:列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是:正正，正反，反正，反反.所有可能的结果共有4种，并且这4种结果出现的可能性相等. (1)所有可能的结果中，满足两枚硬币全部正面向上(记为事件A)的结果只有1种，即“正正”，所以. (2)两枚硬币全部反面向上(记为事件B)的结果也只有1种，即“反反”，所以. (3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上(记为事件C)的结果共有2种，即“反正”“正反”，所以. （设计意图：强化直接列举法求概率.） 探究点2　 列表法求概率 思考：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，这样问题随机事件发生实验结果比较复杂时，通常采用列表法。 能通过什么的方法来帮助我们使实验的结果不不重不漏，而且容易找出指定事件包含的试验结果呢？ 学生讨论：通过列表法。如当一次试验要涉及两个因素或分两步进行，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果常用列表法。 （设计意图：思考用列表法求概率.） 典型例题 例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率: (1)两枚骰子的点数相同； (2)两枚骰子点数的和是9； (3)至少有一枚骰子的点数为2. 【分析】当一次试验是掷两枚骰子时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。可以两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，进行列表。 【详解】解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，列表如下: 由列表可知，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相等。 (1)两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，所以. (2)两枚骰子的点数和是9(记为事件B)的结果有4种，即(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)，所以 (3)至少有一枚骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11种，所以. 思考:　如果把问题中“同时掷两枚质地均匀的骰子”改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到的结果有变化吗?为什么? 只需把原来表格中横行、纵列所代表的第一枚、第二枚，改成第一次、第二次，每一次掷得 的可能性仍然都是6种，因此掷两次后的所有可能结果仍为36种，没有变化。 总结：试验的涉及两个因素或分两步时,当每步或每个因素产生的结果可能性比较多,直接列举法就不合适了，为了不重不漏地展示所有可能的结果，列表法就是比较好的方式了，结果清晰、明了。 （设计意图：强化用列表法求概率.） 1.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个。求下列事件的概率: (1)第一次摸到红球，第二次摸到绿球; (2)两次都摸到相同颜色的小球; (3)两次摸到的球中一个绿球、一个红球. 2.有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6.随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少? 答案： （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．      (1) %，这次共抽取了 名学生进行调查，并补全条形图； (2)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 【详解】（1）； 跳绳的人数有4人，占的百分比为， ； 故答案为：20，50； 如图所示；（人．    （2）列表如下： 男1 男2 男3 女 男1 男2，男1 男3，男1 女，男1 男2 男1，男2 男3，男2 女，男2 男3 男1，男3 男2，男3 女，男3 女 男1，女 男2，女 男3，女 所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种． 抽到一男一女的概率． （设计意图：强化用列表法求概率的综合运用） 1．（2025•河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（　　） A． 　　B． 　　　C． 　　　　D． 【详解】解：列表如下： 美 丽 山 河 美 （美，丽） （美，山） （美，河） 丽 （丽，美） （丽，山） （丽，河） 山 （山，美） （山，丽） （山，河） 河 （河，美） （河，丽） （河，山） 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有：（丽，山），（山，丽），共2种， ∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 2．（2025•广西）从3，4，5三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为　　 ． 【详解】解：列表如下： 3 4 5 3 7 8 4 7 9 5 8 9 由表知，共有6种等可能结果，其中选出的两个数字之和是偶数的有2种结果， 所以选出的两个数字之和是偶数的概率为， 故答案为：． 3．（2025•黑龙江）如图，随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为　　 ． 【详解】解：列表如下： K1 K2 K3 K1 （K1，K2） （K1，K3） K2 （K2，K1） （K2，K3） K3 （K3，K1） （K3，K2） 共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡L1、L2同时发光的结果有：（K1，K3），（K3，K1），共2种， ∴能让两盏灯泡L1、L2同时发光的概率为． 故答案为：． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，这样问题随机事件发生的概率我们可以用列举法和列表法来求。当试验的涉及两个因素或分两步时,当每步或每个因素产生的结果可能性比较多,直接列举法就不合适了，为了不重不漏地展示所有可能的结果，列表法就是比较好的方式了，结果清晰、明了。 (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题25.2第1、2、3题. 探究性作业：课本习题25.2第9题. 阅读与思考　　概率与中奖 （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 25.2用列举法求概率(第1课时) 探究点1　 列举法求概率 探究点2　 列表法求概率 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $