4.1 整式【九大考点+九大题型】-2025-2026学年人教版七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

4.1 整式 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一、单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 单项式的系数：单项式中的数字因数 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和 知识点二、多项式： 几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。 知识点三、整式： 单项式和多项式统称为整式。注意：分母上含有字母的不是整式。 【题型探究】 题型一： 单项式判断 【例题1】．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义判断即可，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴整式，5，，，，，中单项式有，5，，，，共个， 故选：C． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）在整式中，单项式的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义：数字与字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单项式为，， ∴单项式的个数是2个， 故选：C． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·阶段练习）在式子，，，，，0.81，，0中，单项式共有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】根据单项式的定义，判断所给式子中哪些是单项式，即由数与字母的积组成的代数式或是单独的一个数、一个字母．本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握单项式的概念（由数与字母的积组成的代数式或是单独的一个数、一个字母）是解题的关键． 【详解】解：是数与字母、的积，是单项式； 是数与字母的积，是单项式； 是数与字母、、的积，是单项式； 是单独的一个数（是常数），是单项式； ，是多项式，不是单项式； 是单独的一个数，是单项式； 分母含有字母，不是单项式； 是单独的一个数，是单项式． 单项式有，共个． 故选：B ． 题型二：单项式的系数、次数 【例2】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）单项式的系数和次数分别是（  ） A．，3 B．，4 C．，1 D．2，4 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的次数和系数，单项式的数字因数是单项式系数，次数是单项式中所有字母指数和，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故选：B 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列单项式中，次数与其他3个单项式不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是单项式的定义，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 分别求出各个单项式的次数，比较即可． 【详解】解：的次数是，的次数是，的次数是，的次数是． 故选：B． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法中正确的有（　　） ①a和0都是单项式；              ②的次数是7； ③单项式的系数为；   ④与都是单项式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查单项式相关，涉及单项式的定义、次数及系数的计算．本题需逐一判断四个说法的正确性并需注意单项式的系数包含所有常数因子（如），次数为所有字母指数之和，且分母不含字母的式子才是单项式． 【详解】解：①、是单项式（单独字母），0是单项式（单独常数），故①正确； ②、的次数为和的指数之和：，而非7，故②错误； ③、单项式的系数应包含所有常数因子，即，而非，故③错误； ④、可视为，是单项式；但含字母在分母，属于分式而非单项式，故④错误； 综上，仅①正确，故正确个数为1． 故选：A． 题型三：单项式的规律问题 【例3】．（24-25七年级上·云南保山·期末）观察这列单项式：，按此规律排列，第6个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是单项式的规律题，根据题意可得规律，第个单项式为，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，第个单项式的系数为，次数为， ∴第个单项式为， 第6个单项式为． 故选：B． 【跟踪训练1】．（2025·云南昆明·三模）观察下列单项式：， ，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的变化规律，根据已知单项式找到规律即可，认真观察单项式是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴第个单项式是， 故选：． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式的特点：．第8个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探究．根据给定的单项式，抽象概括出相应的规律，即可求解．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 【详解】解：从可以观察得出第个单项式为. 当时， 故选： ． 题型四：多项式的概念 【例3】．（24-25七年级下·全国·期末）下列各式：，，，，，中多项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的判断，熟练掌握多项式的识别是解题的关键．由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．根据多项式的定义判断即可． 【详解】解：，是单项式，代数式分母中还有字母，不是整式，不是多项式， 多项式有：，，，共3个． 故选：B． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·重庆江北·期中）下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，根据几个单项式的和叫做多项式分析判断． 【详解】解：根据多项式的定义可知：①是多项式；②0是单项式；③是单项式；④是分式；⑤是多项式；⑥是分式， 故多项式的个数是2个． 故选：B． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在代数式，，，0，，，中，单项式和多项式的个数分别是（   ） A．2，5 B．3，4 C．4，3 D．5，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，多项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和的形式叫做多项式． 【详解】解：在代数式，，，0，，，中，单项式有，，0，，共4个，多项式有，，，共3个， 故选：C． 题型五：多项式的系数、次数 【例5】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据多项式的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握多项式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、多项式有三项，次数是4，故原说法正确，不符合题意； B、多项式的常数项为9，故原说法正确，不符合题意； C、多项式中不含一次项，故原说法正确，不符合题意； D、多项式各项分别是，，9，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·单元测试）关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次六项式 B．它的最高次项是 C．它的一次项是 D．关于的二次项系数是 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式的项与次数的含义，根据多项式的项和次数的定义，确定各个项和各个项的系数，注意要带有符号． 【详解】解：A、多项式是四次六项式，故本选项错误. B、多项式的最高次项是，故本选项错误. C、多项式的一次项是和，故本选项错误. D、多项式的二次项系数是，故本选项正确． 故选：D． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x，y的多项式与多项式的次数相同，那么n的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数，正确理解多项式的次数的概念是解题的关键．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式次数的概念，列方程求解即可． 【详解】解：关于x，y的多项式与多项式的次数相同， ， 解得． 故选：C． 题型六：多项式的指数、次数求字母值 【例6】．（2024七年级上·全国·专题练习）多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数和系数，多项式的次数是指多项式中的次数最大的项的次数，根据多项式是关于的四次二项式，列式，则． 【详解】解：∵多项式是关于的四次二项式， ∴， 解得， 故选：C． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·广东江门·期中）关于x的多项式不含和，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了多项式系数、指数中字母求值，熟练掌握定义是解题的关键．根据多项式不含有的项的系数为零，得到方程，解之可得m、n的值． 【详解】解：∵多项式不含和， ∴，， ∴，， 故选：C． 【跟踪训练2】．（2024七年级上·全国·专题练习）关于的多项式是五次二项式，则的倒数等于（   ） A． B． C． D．64 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式的次数，项的概念，立方的计算，倒数的计算，掌握多项式的次数，项的概念是解题的关键． 根据五次二项式可得多项式最高次数为五次，则项的次数为五次，所以，由二项式可得，可求出m的值，再根据立方的计算，倒数的计算即可求解． 【详解】解：关于的多项式是五次二项式， ∴，且， 解得，， ∴， ∴的倒数等于． 故选：A． 题型七：多项式的字母升（降）幂问题 【例7】．（24-25七年级上·福建泉州·期中）把多项式按x的降幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查将多项式进行升降幂排列，根据题意，按照x的降幂进行排列即可． 【详解】解：由题意把多项式按x的降幂排列，得； 故选B． 【跟踪训练1】．（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个多项式按照某一字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按照这个字母降幂排列．本题考查多项式的降幂排列，掌握方法并注意符号不变才能正确求解． 【详解】解：依题意，按字母的降幂排列为 故选：C 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·福建泉州·期末）把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的次数从小到大排列即可． 【详解】解：多项式按的升幂排列为． 故选：C． 题型八：整式的判断 【例8】．（2025七年级上·全国·专题练习）在代数式：中，整式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查整式的判断．整式包括单项式和多项式，用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据定义判断即可． 【详解】解：所给代数式中： 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 分母中含字母，不是整式； 综上可知，整式有7个， 故选D． 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·河北张家口·期中）在代数式，，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的识别，解题的关键在于准确理解整式的定义，即分母中不含变量的代数式为整式，并能正确判断每个代数式是否符合这一条件．根据整式的定义（分母不含字母的代数式），逐一判断各代数式是否为整式． 【详解】解： ：多项式，无分母，是整式； ：常数项，属于单项式，是整式； ：多项式，无分母，是整式； ：常数项，属于单项式，是整式； ：分母含字母，是分式，不是整式； ：分母为数字，可化简为，是多项式，属于整式． 综上，整式共有5个， 故选：C． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·期中）下列代数式是整式的有（   ） ①； ②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查整式的判断，根据单项式和多项式统称为整式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，①③⑤⑦⑧，是整式，②④⑥分母中有字母，不是整式； 故选C． 题型九：整式的综合问题 【例9】．（25-26七年级上·全国）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值． (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】此题考查了整式次数与系数概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． （1）根据多项式与单项式次数的定义进行求解； （2）根据单项式系数的定义进行求解． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． 因为与的次数相同， 所以，解得． （2）各项：． 系数和：． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·周测）将填入下列相应的大括号中． 单项式：{            …}； 多项式：{            …}； 三次式：{            …}； 二项式：{            …}； 整式：{            …}． 【答案】；；；；． 【分析】本题考查整式，单项式，多项式及其相关定义．掌握相关知识是解决问题的关键．利用相关定义解答即可． 【详解】单项式：； 多项式：； 三次式：； 二项式：； 整式：． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·周测）（1）多项式是关于的三次三项式，并且二次项系数为1，求代数式的值． （2）已知关于的多项式与的次数相同，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）代数式的值为8或 【分析】本题考查了多项式的次数与系数的定义，代数式求值，熟练掌握什么是多项式的次数和每项的系数是解题关键． （1）根据题意分别求出m、n、k的值，然后代入进行计算，即可解答； （2）分类讨论：①当时，②当时，分别求出n的值，再代入计算，即可解答． 【详解】解：（1）由题意，得 ， 解得 ． ∴． （2）分两种情况讨论： ①当时，由题意知， ， ∴ ②当时，由题意知， ， ∴． 综上所述，代数式的值为8或． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次三项式 B．是单项式 C．的系数是 D．的次数是0 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式、单项式的相关定义，熟练掌握多项式的次数、项数，单项式的系数、次数以及单项式的定义是解题的关键．根据多项式、单项式的相关定义，对每个选项进行分判断． 【详解】解：∵的次数是，且该多项式有、、三项， ∴是三次三项式，故A项正确． ∵的分母含有字母，不是数与字母的积， ∴不是单项式，故B项错误． ∵的数字因数是， ∴的系数是，故C项错误． ∵中的次数是， ∴的次数是，故D项错误． 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）若关于x，y的是6次单项式，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式及单项式次数的定义，单项式所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据题意得且，据此即可求k的值． 【详解】解：∵关于x，y的是6次单项式， ∴且， 解得， 故选：A． 3．（25-26七年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是多项式 B．是四次单项式，系数是 C．是二次单项式 D．是代数式 【答案】D 【分析】本题考查了代数式，单项式，多项式，单项式的次数等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据代数式，单项式，多项式，单项式的次数的概念分别判断即可． 【详解】解：A、不是整式，故不是多项式，故本选项错误，不符合题意； B、是四次单项式，系数是，故本选项错误，不符合题意； C、是多项式，故本选项错误，不符合题意； D、是代数式，正确，符合题意； 故选：D． 4．（25-26七年级上·全国·期中）如果两个多项式恒等，那么将两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等．已知关于x的一元多项式（其中a，b，c，d为常数）恒等，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了多项式，根据两个多项式恒等可得对应系数相等，即可得解，熟练掌握多项式的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∴，，，， ∴， 答案：A． 5．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）如果A、B都是关于的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次整式，那么的次数（    ） A．一定是四次： B．一定是七次； C．一定是三次； D．无法确定． 【答案】A 【分析】本题考查整式的次数，根据多项式的次数概念即可求出答案． 【详解】解：由于是一个四次整式，A、B都是关于的单项式， ∴A、B的次数都不能超过四次的单项式， ∵是一个七次单项式， ∴A与B中必定有一个是四次单项式，另外一个是三次单项式， ∴一定是四次多项式， 故选：A． 6．（25-26七年级上·天津河东·期中）下列结论中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式和单项式，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的有关概念．A、选项均根据单项式的次数和系数的定义，进行判断即可；C．根据多项式的有关概念进行判断即可；D．根据整式、多项式和单项式的有关定义进行判断即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．单项式的次数是，系数是， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．多项式是三次三项式， 此选项的结论正确，故此选项符合题意； D．在中，整式有，，，，共个， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； 故选：． 7．（25-26七年级上·上海·阶段练习）关于整式的概念，下列说法错误的是（    ） A．是二次三项式 B．的系数是 C．是四次单项式 D．的次数是3 【答案】B 【分析】本题考查了多项式和单项式的相关概念：单项式系数是指单项式中与字母相乘的数字因数，单项式次数是所有字母指数的和，多项式是几个单项式的和，多项式的次数是指次数最高项的次数，逐一判断即可解答. 【详解】解：A、是二次三项式，故A不符合题意； B、的系数是不是，故B符合题意； C、是四次单项式，故C不符合题意； D、的次数是3，故D不符合题意. 故选：B. 8．（25-26七年级上·全国·期中）在代数式：中，整式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查整式的判断．整式包括单项式和多项式，用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据定义判断即可． 【详解】解：所给代数式中： 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 分母中含未知数，不是整式； 综上可知，整式有7个， 故选D． 9．（25-26七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） A．m与n的2倍的差表示为 B．是整式 C．单项式的系数是，次数是3 D．多项式 是五次四项式 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的定义、单项式次数和系数的定义以及多项式的项数和次数的定义，牢记这些定义是解题的关键．根据用字母表示数，整式的定义、单项式次数和系数的定义以及多项式的项数和次数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：m与n的2倍的差表示为，故A选项说法错误； 因为 是数字与字母的商，所以 不是整式，故B选项说法错误； 单项式 的系数是，次数是3，故C选项说法错误； 多项式 是五次四项式，故D选项说法正确． 故选：D． 10．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法：①倒数等于本身的数是； ②互为相反数的两个非零数的商为；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数可以分为正有理数和负有理数；⑤单项式的系数是，次数是6；⑥多项式是三次三项式，其中正确的个数是（         ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式和多项式的相关定义，倒数和相反数的定义，有理数的分类等知识，根据单项式和多项式的相关定义，倒数和相反数的定义，有理数的分类，绝对值的意义判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①倒数等于本身的数是，说法正确，故①符合题意； ②互为相反数的两个非零数的商为，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数可以分为正有理数、负有理数和，故④不符合题意； ⑤单项式的系数是，次数是5，故⑤不符合题意； ⑥多项式是三次三项式，说法正确，故⑥符合题意； 综上，符合题意的有个， 故选：B． 二、填空题 11．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）多项式是一个四次二项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．根据多项式的次数和项数即可得出答案． 【详解】解：∵多项式是一个四次二项式， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）若单项式是关于的九次单项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式的次数的定义即可求解，掌握单项式的次数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式是关于的九次单项式， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·上海奉贤·阶段练习）写出一个同时满足以下三个条件的单项式： ①系数是负数； ②次数是； ③至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题考查单项式，根据单项式的系数、次数的意义进行解答即可． 【详解】解：符合条件的单项式可以是， 故答案为：答案不唯一． 14．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列单项式：，，，，…，，， …，根据你发现的规律，第2024个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究，解题的关键是找出题目中单项式之间的规律，并用代数式表示出来． 根据单项式系数、字母指数之间的规律，第n个单项式是，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，第n个单项式的系数是，次数是， ∴第n个单项式是， ∴第2024个单项式是． 故答案是：． 15．（24-25七年级上·河南周口·期末）若一个多项式每项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项式．例如是四次齐次多项式．若是齐次多项式，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是多项式的次数的含义，乘方运算的含义，根据是齐次多项式，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是齐次多项式， ∴， 解得：，， ∴． 故答案为： 16．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若多项式不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．多项式不含项，则其系数为零，即可求出k的值，进而求出所求代数式的值． 【详解】解：∵多项式不含项， ∴ 得， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）将下列代数式的序号填在相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式： ． (2)多项式： ． (3)整式： ． 【答案】(1)③④⑨ (2)①②⑤ (3)①②③④⑤⑨ 【分析】此题主要考查了多项式、单项式以及整式的定义，正确把握相关定义是解题关键． 根据数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式即可． 【详解】（1）解：单项式：③④⑨； （2）多项式：①②⑤； （3）整式：①②③④⑤⑨． 18．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在代数式，，，，，中， (1)单项式有：________； (2)多项式有：_______； (3)整式有：_______． 【答案】(1)， (2)，， (3)，，，， 【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称；根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可． 【详解】（1）解：单项式：，，   故答案为：，； （2）解：多项式：，，， 故答案为：，，； （3）解：整式：，，，，， 故答案为：，，，，． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知单项式与的次数相同． (1)求的值． (2)当时，求单项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于 m的方程，解方程即可求得m的值； （2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把x，y的值代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：因为，所以． 当，时，原式． 【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得m的值是解题关键． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）按规律填上所缺的单项式：，，，，，________，…． （2）试写出（1）中第2024个和第2025个单项式． （3）试写出（1）中第n个单项式． （4）当时，求的值． 【答案】（1）, （2）， （3） （4）−5050 【分析】（1）观察单项式的系数和次数规律，直接填入即可； （2）通过（1）的规律变化直接写出第和个单项式即可； （3）通过（1）（2）的规律变化直接写出可得出第个单项式； （4）把代入后利用小学学习的高斯公式求值即可. 【详解】解：（1） ，； （2）第2024个单项式为，第2025个单项式为； （3）第个单项式为； （4）原式 = =． 【点睛】本题考查了单项式的系数和次数规律变化情况，同时利用规律的变化进行有理数的运算，其中掌握单项式系数和次数规律变化是解题的关键. 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）解答题 (1)若单项式的次数与六次四项式的次数相同，求的值． (2)若关于的多项式与多项式的次数相同，且次数最高的项的系数也相同，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题主要考查多项式的次数、单项式的系数的定义，解决问题的关键是熟练掌握多项式的次数、单项式的系数的定义． （1）根据单项式和六次四项式次数相同求解； （2）先根据多项式的次数与最高次项的系数的定义求出的值． 【详解】解：（1）因为多项式的次数是6， ，解得． 由题意，得， 即， 解得． ． （2）多项式中次数最高的项是， 对于多项式， 当时，该多项式为，次数为，次数最高的项的系数为， 而多项式的次数最高的项的系数为，二者不相等，故； 当时，多项式中次数最高的项为， ， 解得． ． 22．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，大正方形的边长是4米，把它平均分成两份得到一个长方形①，剩下的再平均分，得到一个正方形②，按照这个方法一直分下去……把图形①至⑤都涂成阴影， (1)求阴影面积的和； (2)根据此题的简便思路，计算下题：． 【答案】(1)平方米 (2) 【分析】本题考查了数形结合思想的应用，准确找规律是关键； （1）先计算出大正方形的面积，然后依次求出图形①至⑤的面积，然后结合图形找规律求和即可； （2）根据（1）的结果找规律计算即可． 【详解】（1）解：如图， 大正方形的面积：（平方米） ①的面积：（平方米） ②的面积：（平方米） ③的面积：（平方米） ④的面积：（平方米） ⑤的面积：（平方米） ①至⑤的面积和： （平方米） 答：阴影面积的和为平方米 （2） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 整式 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一、单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 单项式的系数：单项式中的数字因数 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和 知识点二、多项式： 几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。 知识点三、整式： 单项式和多项式统称为整式。注意：分母上含有字母的不是整式。 【题型探究】 题型一： 单项式判断 【例题1】．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）整式，5，，，，，中单项式的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·上海·阶段练习）在整式中，单项式的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·阶段练习）在式子，，，，，0.81，，0中，单项式共有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 题型二：单项式的系数、次数 【例2】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）单项式的系数和次数分别是（  ） A．，3 B．，4 C．，1 D．2，4 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列单项式中，次数与其他3个单项式不同的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法中正确的有（　　） ①a和0都是单项式；              ②的次数是7； ③单项式的系数为；   ④与都是单项式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：单项式的规律问题 【例3】．（24-25七年级上·云南保山·期末）观察这列单项式：，按此规律排列，第6个单项式是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（2025·云南昆明·三模）观察下列单项式：， ，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式的特点：．第8个单项式为（    ） A． B． C． D． 题型四：多项式的概念 【例3】．（24-25七年级下·全国·期末）下列各式：，，，，，中多项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·重庆江北·期中）下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在代数式，，，0，，，中，单项式和多项式的个数分别是（   ） A．2，5 B．3，4 C．4，3 D．5，2 题型五：多项式的系数、次数 【例5】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）关于多项式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·单元测试）关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次六项式 B．它的最高次项是 C．它的一次项是 D．关于的二次项系数是 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于x，y的多项式与多项式的次数相同，那么n的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型六：多项式的指数、次数求字母值 【例6】．（2024七年级上·全国·专题练习）多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·广东江门·期中）关于x的多项式不含和，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练2】．（2024七年级上·全国·专题练习）关于的多项式是五次二项式，则的倒数等于（   ） A． B． C． D．64 题型七：多项式的字母升（降）幂问题 【例7】．（24-25七年级上·福建泉州·期中）把多项式按x的降幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·福建泉州·期末）把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八：整式的判断 【例8】．（2025七年级上·全国·专题练习）在代数式：中，整式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【跟踪训练1】．（24-25七年级上·河北张家口·期中）在代数式，，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪训练2】．（24-25七年级上·全国·期中）下列代数式是整式的有（   ） ①； ②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型九：整式的综合问题 【例9】．（25-26七年级上·全国）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值． (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 【跟踪训练1】．（25-26七年级上·全国·周测）将填入下列相应的大括号中． 单项式：{            …}； 多项式：{            …}； 三次式：{            …}； 二项式：{            …}； 整式：{            …}． 【跟踪训练2】．（25-26七年级上·全国·周测）（1）多项式是关于的三次三项式，并且二次项系数为1，求代数式的值． （2）已知关于的多项式与的次数相同，求代数式的值． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次三项式 B．是单项式 C．的系数是 D．的次数是0 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）若关于x，y的是6次单项式，则k的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．是多项式 B．是四次单项式，系数是 C．是二次单项式 D．是代数式 4．（25-26七年级上·全国·期中）如果两个多项式恒等，那么将两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等．已知关于x的一元多项式（其中a，b，c，d为常数）恒等，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）如果A、B都是关于的单项式，且是一个七次单项式，是一个四次整式，那么的次数（    ） A．一定是四次： B．一定是七次； C．一定是三次； D．无法确定． 6．（25-26七年级上·天津河东·期中）下列结论中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 7．（25-26七年级上·上海·阶段练习）关于整式的概念，下列说法错误的是（    ） A．是二次三项式 B．的系数是 C．是四次单项式 D．的次数是3 8．（25-26七年级上·全国·期中）在代数式：中，整式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 9．（25-26七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） A．m与n的2倍的差表示为 B．是整式 C．单项式的系数是，次数是3 D．多项式 是五次四项式 10．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法：①倒数等于本身的数是； ②互为相反数的两个非零数的商为；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数可以分为正有理数和负有理数；⑤单项式的系数是，次数是6；⑥多项式是三次三项式，其中正确的个数是（         ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）多项式是一个四次二项式，那么 ． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）若单项式是关于的九次单项式，那么 ． 13．（25-26七年级上·上海奉贤·阶段练习）写出一个同时满足以下三个条件的单项式： ①系数是负数； ②次数是； ③至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 14．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列单项式：，，，，…，，， …，根据你发现的规律，第2024个单项式是 ． 15．（24-25七年级上·河南周口·期末）若一个多项式每项的次数都相等，则称该多项式为齐次多项式．例如是四次齐次多项式．若是齐次多项式，则的值为 ． 16．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若多项式不含项，则的值为 ． 三、解答题 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）将下列代数式的序号填在相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． (1)单项式： ． (2)多项式： ． (3)整式： ． 18．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在代数式，，，，，中， (1)单项式有：________； (2)多项式有：_______； (3)整式有：_______． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知单项式与的次数相同． (1)求的值． (2)当时，求单项式的值． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）按规律填上所缺的单项式：，，，，，________，…． （2）试写出（1）中第2024个和第2025个单项式． （3）试写出（1）中第n个单项式． （4）当时，求的值． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）解答题 (1)若单项式的次数与六次四项式的次数相同，求的值． (2)若关于的多项式与多项式的次数相同，且次数最高的项的系数也相同，求的值． 22．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，大正方形的边长是4米，把它平均分成两份得到一个长方形①，剩下的再平均分，得到一个正方形②，按照这个方法一直分下去……把图形①至⑤都涂成阴影， (1)求阴影面积的和； (2)根据此题的简便思路，计算下题：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $