1.2.1空间中的点、直线与空间向量（第二课时）教案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该教案聚焦空间两直线所成角与方向向量夹角的关系及异面直线的向量研究，通过复习位置向量和方向向量导入，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生自然过渡到新课探究。 特色在于融合数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养，以三棱锥例题展示几何构造、基底法、坐标法三种解题方法对比，结合线面垂直定理证明深化理解。采用启发、讨论式教学，例题典型且层次分明，帮助学生提升解题能力与思维品质，为教师提供丰富可操作的教学资源。

课题 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（第二课时） 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第一册 章节 第一章第二部分第一节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高二 教学目标及教学重点、难点 教学目标： · 1.理解两直线所成的角与它们的方向向量的夹角的关系，会用向量求两条直线所成的角. · 2.会用向量证明两条直线垂直. 核心素养 1．通过学习直线的方向向量，公垂线段等概念，培养数学抽象素养． 2．利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升逻辑推理和数学运算的素养． 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 复习回顾 【师生共同回顾空间中点、直线的空间向量】 教师提问：同学们还记得我们上节课学习的位置向量和方向向量的含义吗？ 学生回答：（1）位置向量：一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量 唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量. （2）方向向量：一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，表示v的有向线段所在直线与l 平行或重合，称v为直线l的一个方向向量. 此时，也称向量v与直线l平行，记作v // l. 通过提问的方式，引发学生的好奇心和思考，激发他们的学习兴趣和探究欲望。 新课讲解 知识点 1：空间中两条直线所成的角 知识点 2：异面直线与空间向量 师生活动： （1） 教师提问：空间中两条直线的位置分为几种情况？不同情况下两条直线的夹角大小如何确定？ （2） 学生回答：平行（重合），相交，异面. （3） 教师补充：两条相交直线所成角的大小，即相交所得到的不大于直角的角的大小；两条异面直线a，b所成角的大小，即两条相交直线a'，b'所成角的大小，其中a'∥a且b'∥b. 规定：两条平行直线所成角的大小为0°. 当空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，l与m垂直，记作l⊥m. 思考：设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，观察下图讨论θ与〈v1，v2〉的关系. 师生活动： （1） 学生自主思考，教师进行补充； （2） 教师讲解： 由图可知，θ =〈v1，v2或θ =π-〈v1，v2〉 特别的，sin θ=sin〈v1，v2〉，cos θ=|cos〈v1，v2〉|. 而且 l1⊥l2 〈v1，v2〉= ，v1•v2=0. 利用上述直线与直线所成的角与它们的方向向量的夹角之间的关系，可以方便地证明我们在必修部分中归纳出的线面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.证明过程如下. 例2、 已知a，b是平面α内的两条相交直线，直线n满足n⊥a，n⊥b， 求证：n⊥α 【师生活动】 学生小组讨论交流，对题目进行分析，教师适当点拨，最后出示解题过程。 【解析】 证明：设m是α内的任意一条直线， 且n，a，b，m分别为直线n，a，b，m的方向向量，如图所示， 由题意 n·a=0，n·b=0， 因为a与b相交，所以a，b不共线， 又因为a，b，m共面， 所以存在唯一的实数对(x，y)，使m=xa+yb， 因此n·m=xn·a+yn·b=0， 从而可知n⊥m，所以n⊥m， 因为直线n垂直于平面α内的任意一条直线，所以n⊥α 例3、 如图所示，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两相互垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2，求直线AE与BC所成角的大小。 【师生活动】 学生分析题目，教师进行引导讲解；得出不同的解法，学生观察这两种方法有何联系，教师出示解题过程。 【解析】 解：（方法一） 根据已知可得，， 不共面，且=1, =2 = = =0 又因为= =, = 所以=()()=2， =()()=8，所以== 因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为. 解：（方法二）因为OA，OB,OC两两互相垂直， 所以能以O为原点, ，，的方向分别 为轴正方向，建立如图所示直角坐标 系，由OB=OC=2OA=2, 可知A（0,0,1）, ， 所以=(-1,0,1), =(0,0,1) , 因此 所以=== 因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为. 解：（方法三）设OB的中点为F，连接EF，AF.由E，F分别为OC，OB中点可知EF为OBC的中位线，从而EF BC， 因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小.又易知OA=OE=OF=1，而且OA,OE,OF两两垂直， 因此AE=EF=AF= 所以是等边三角形,从而, 因此直线AE与BC所成角的大小为 教师讲解：在解决空间中直线与直线所成角的问题时，既可以根据有关几何条件直接构造出相应的角求解，也可以借助空间向量求解.在使用空间向量求解时，既可以选择合适的基底来计算，也可以通过建立空间直角坐标系来计算，请大家自行总结这些方法的优缺点以及一般步骤。 我们已经知道，异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线，这里我们要讨论的是怎样用空间向量来研究异面直线. 尝试与发现： 设v1，v2分别是空间中直线，l1，l2的方向向量. （1） 如果l1与l2异面，那么v1与v2可能平行吗？ （2） 如果v1与v2不平行，那么l1与l2一定异面吗？ 师生活动： （1）学生对问题进行分析，教师点拨，得到如果l1与l2异面，则v1与v2是不可能平行的；反之，如果v1与v2不平行，则l1与l2可能异面，也可能相交，这就是说，“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件. （2）教师讲解：如图所示，如果A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，可知v1，v2，AB是不共面的；反之，如果，v1，v2，AB不共面，则l1与l2是异面的。也就是说，此时，“v1，v2，AB不共面”是“l1与l2异面”的充要条件. 例4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断满足下列条件的点M，N是否存在：M∈AD1，N∈BD，MN⊥AD1，MN⊥BD. 【师生活动】 学生分析题意，建立空间直角坐标系，找到点的坐标，即可得出证明，教师对学生的答案进行点评，并出示解题过程。 学生对空间中两条直线所成的角进行探究，发展学生的思维能力 通过典型例题，加深学生对空间中两条直线所成的角的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 学生通过回答教师提出的问题，一步步掌握异面直线与空间向量的相关知识，教师进行总结 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 一、复习回顾 知识点 ：空间中的点、直线与空间向量 二、知识精讲 知识点 1：两直线所成的角与它们的方向向量的夹角的关系 知识点 2：异面直线与方向向量的关系 三、例题点拨-通过例题进行讲解，便于理解 四、方法总结-开拓学生解题思路 五、当堂训练 六、课堂小结 教学设计反思 在本节课的教学中教学目标的设定清晰明确，具有针对性，在讲解过程中突出重难点，对重难点进行了详细且透彻的讲解，使学生能够了解两直线所成的角与它们的方向向量的夹角的关系、异面直线与方向向量的关系，达到本节课的教学目的． 通过本节课的教学，我认为在以下几个方面做得比较好： · 成功创设了情境，激发了学生的学习兴趣； · 通过小组合作和自主探究，培养了学生的合作意识和探究能力； · 板书设计清晰明了，有助于学生理解和记忆知识。 同时，也发现了一些需要改进的地方： · 在引导学生理解异面直线与方向向量的关系时，部分学生的逻辑思维能力还有待加强； · 在练习环节，部分题目的难度设置不够合理，需要进一步优化； · 在总结归纳环节，可以更加深入地拓展相关知识，帮助学生形成更完整的知识体系。 针对以上问题，我将在今后的教学中加强对学生逻辑思维能力的培养，优化练习题目的设置，并注重知识的拓展和延伸，以提高学生的数学素养和综合能力。 学科网（北京）股份有限公司 $