3.2函数与方程、不等式之间的关系（第一课时）教案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教案聚焦函数零点概念及二次函数与方程、不等式的关系，以北宋贾宪、南宋秦九韶解方程史引入，通过一次函数f(x)=x-1图像观察，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，衔接方程根与函数零点的关联。 特色在于融合数学史激发兴趣，借助图像直观教学（如例1由图像写解集、例2用二次函数解不等式），落实数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养。采用启发法与分层例题（含无零点情况），助力学生掌握数形结合法，既便于教师教学实施，又提升学生解决问题能力。

课题 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第一课时 学科 数学 教材 人教B版（2019）必修第一册 章节 第三章第二节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 【教学目标】 1. 理解函数零点的概念，会求简单函数的零点 2. 理解二次函数的零点与对应方程、不等式解集之间的关系，能借助二次函数的图像求一元二次不等式的解集 【教学重难点】 1. 理解函数零点的概念及简单的求解（重点） 2. 借助二次函数的图像求一元二次不等式的解集（难点） 核心素养 1. 数学抽象：通过函数零点概念的理解，提升数学抽象的素养。 2. 逻辑推理：通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养。 3. 数学运算：利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养。 教学方法和手段 教学方法：启发法、讲授法、练习法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 引入新课 知识精讲 知识点1：函数的零点 知识点2：二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 【导入语】 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法 教师活动：你会求方程的根吗？今天我们来学习方程的根与函数的零点！ 【师生活动】 教师可以通过提问的方式引导学生进入情境，如： “已知函数f(x) = x - 1，这个函数与一元一次方程、不等式之间有什么关系？我们如何利用函数的图像来求解对应不等式的解集？” 教师活动：展示函数f(x) = x - 1的图像，并引导学生观察图像与方程、不等式之间的关系。 学生活动：思考并回答上述问题。 教师活动：由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合。得出相关定义：一般地，如果函数y=f（x）在实数a处的函数值等于零，即f（a）=0，则称a为函数y=f（x）的零点.上述集合B就是函数所有零点组成的集合。 不难看出，a是函数f（x）零点的充分必要条件是，（a，0）是函数图像与x轴的公共点。因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0相对大小比较的不等式的解集. 【典型例题】 例1 如下图所示是函数y=f（x）的图像，分别写出f（x）=0，f（x）>0，f（x）≤0的解集. 【师生活动】 学生思考后相互讨论，教师适当提醒学生可以使用集合的并集符号，而且在表示集合时，要选择合适的集合表达方式，教师出示解题过程并总结：依照零点的定义可知，求函数y=f（x）的零点，实质上就是要解方程f（x）=0，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图像与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似f（x）>0等不等式的解集. 教师活动：我们已经知道怎样求解一元二次方程，而且也知道二次函数的图像是抛物线，因此可以借助二次函数的图像得到一元二次不等式的解集. 例2、利用函数求下列不等式的解集： （1） x2-x-6<0； （2）x2-x-6≥0. 【师生活动】 教师以二次函数为例，详细讲解如何利用函数的图像求解对应不等式的解集。 设定一个具体的二次函数，如f(x) = x2 - x - 6。 首先求解函数的零点，即解方程f(x) = 0，得到零点x = -2和x = 3。 然后根据函数的图像（开口向上的抛物线）和零点信息，作出函数图像的示意图。 最后结合图像写出一元二次不等式f(x) < 0和f(x) ≥ 0的解集。 学生跟随教师的讲解，逐步理解并掌握这种方法。 例3、利用函数求下列不等式的解集： （1）-x2-2x-3≥0； （2）-x2-2x-3<0. 【师生活动】 学生思考后发现，该函数无零点，从而f（x）的图像与x轴没有交点，又因为函数图像是开口向下的抛物线，所以当不等式小于零时，解集为全体实数，教师出示解题过程。 导入语的设置明确了本节课的学习目标，让学生知道本节课将要学习什么内容，以及这些内容的重要性。 通过知识讲解这些环节的设计，详细讲解函数零点的概念，以及函数零点与方程根的关系。通过本节课的学习，学生将理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的关系，并学会利用函数零点法求解不等式。 当堂达标 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 针对函数零点、函数与方程、函数与不等式的基本知识点设计练习。 课堂总结 教师与学生一同回顾本节课所学知识点 总结本节课所学内容，强调函数与方程、不等式之间的关系。 板书设计 一、引言 情景演示：类比一次函数与一元一次方程、不等式的联系，引出二次函数与一元二次方程、不等式的关系。 二、新知讲授 函数零点的概念：定义讲解 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系：零点即方程的根 【提升总结】利用函数解一元二次不等式的一般步骤： 3、 例题讲解 类型1：求下列函数的零点 根据例题总结规律方法 类型2：利用函数求下列不等式的解集 注意：在求解这类不等式时，要特别注意等号成立的情况，即解集是否包含使等式成立的 值。 四、巩固练习 设计几道练习题，让学生尝试求解函数的零点及不等式的解集。 五、总结 回顾本节课所学内容，强调函数与方程、不等式之间的关系。 提醒学生注意零点存在定理的运用及二分法的引入（如果时间允许）。 实际教学中可以根据学生的接受程度和教学进度进行适当调整。 教学设计反思 一、教学内容与目标的达成 理解关系：从课堂表现和课后作业来看，大部分学生能够理解函数、方程和不等式之间的内在联系，能够识别出函数图像与方程根、不等式解集之间的关系。 掌握方法：学生在课堂上对利用函数图像求解方程和不等式的方法有了一定的掌握，但在实际操作中，部分学生在将问题转化为函数图像时还存在困难。 应用实践：在解决实际问题时，部分学生能够灵活运用所学知识，但仍有部分学生需要进一步的指导和练习。 2、 教学方法与手段的运用 讲解方式：我采用了图文并茂的讲解方式，结合具体的函数图像和实例，使学生更容易理解函数与方程、不等式之间的关系。但可能部分学生需要更多的时间来消化和理解。 练习设计：我设计了不同层次的练习，从基础到综合，逐步引导学生深入理解和掌握。但在实际操作中，部分题目难度较大，对于基础薄弱的学生来说较为吃力。 三、学生学习情况的反馈 课堂反应：学生在课堂上对新知识表现出了浓厚的兴趣，能够积极参与讨论和提问。但在某些难点部分，部分学生出现了困惑和不解。 课后互动：课后，部分学生主动向我请教了课堂上的疑问，我也及时给予了回答和指导。同时，我也鼓励学生之间进行互相学习和讨论，共同提高。 四、教学不足与改进方向 教学不足： 部分学生在将问题转化为函数图像时存在困难，需要更多的指导和练习。 部分题目的难度设计不够合理，导致部分学生在解题过程中感到吃力。 改进措施： 加强基础知识的复习和巩固，特别是在函数图像和方程、不等式的基础概念上。 在教学过程中增加更多的实际问题和案例分析，使学生更容易理解函数与方程、不等式之间的关系。 针对不同层次的学生设计不同难度的练习题目，以满足不同学生的需求。 加强学生之间的互助和合作学习，鼓励学生相互交流和讨论。 学科网（北京）股份有限公司 $