精品解析：贵州省安顺市开发区实验中学2025-2026学年上学期九年级 数学月考卷

2025年九年级第一次月考 一、单选题 1. 已知m，n是一元二次方程的两个根，则___________．（　　） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 3. 为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 若零上记为“”，则零下可记为（ ） A. B. C. D. 6. 年的春节档影片《哪吒》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到年月日，该片票房已超过元．其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，于点，于点．若，求（　　） A. B. C. D. 8. 分式的值为0，则的值是（　　） A. 0或1 B. 0 C. 1 D. 9. 若是方程的解，则的值为（　　） A. 5 B. C. 7 D. 10. 函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. 或3 D. 3 11. 在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的　　 A. B. C. D. 二、填空题 13. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为______． 14. 已知，且有，则的值等于__________． 15. 函数是二次函数，则a的值是 _______． 16. 如图，正方形OABC的边长为3，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（1，0）在OA上，P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为_____． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 19. 先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 20. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 21. 某校从甲、乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲、乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表： 学生 平均分（分） 中位数（分） 方差 甲 95 ▲ 4 乙 ▲ 95 5 （1）这6次测试中，成绩更稳定的学生是_______（填“甲”或“乙”）；甲学生成绩的中位数为_______分； （2）求乙学生成绩的平均分； （3）学校为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议． 22. 如图，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，且这两条直线交于点． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）这两条直线交点的坐标为______； （3）求出的面积； （4）直线写出使函数的值大于的值时自变量的取值范围． 23. 如图，在平行四边形中，是边上一点，延长与的延长线交于点，连接． （1）请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程． ①；②． （2）在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 24. 如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． （1） _______； _______； （2）求直线的函数表达式； （3）求的面积； （4）观察图象，直接写出当时，y的取值范围． 25. 图1是一张三角形纸片，，，，沿垂直于斜边的方向裁剪一刀（裁剪线为），会分得两个图形． （1）【操作发现】 当裁剪线恰好经过顶点时，如图2，求的长； （2）【思考操作】 要使经过沿裁剪的三角形纸片，分得的其中一个图形为轴对称图形． ①小星想出了一个作法：先作出的平分线交于点，如图3，再过点沿垂直于的方向裁剪，得到的四边形一定是轴对称图形．在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点作出的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； ②试对与相等进行说理，并求出裁剪线的长． （3）【拓展延伸】 在（2）的情形中，小红说：“裁剪线还应有另一个不同的值．”请画出图形并求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级第一次月考 一、单选题 1. 已知m，n是一元二次方程的两个根，则___________．（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出和的值，再将通分变形，代入求值．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两根，则，是解题的关键． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴ ，． ∴ 故选：C． 2. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当0 ，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：A． 3. 为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系列出一元二次方程是解题的关键． 设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛， 则有：． 故选：C． 4. 如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 5. 若零上记为“”，则零下可记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是正负数的意义．根据正负数的意义：表示具有相反意义的量，即可得出结论． 【详解】解：∵零上记为“”， ∴零下可记为． 故选：B． 6. 年的春节档影片《哪吒》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到年月日，该片票房已超过元．其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 7. 如图，在中，于点，于点．若，求（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质结合直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 8. 分式的值为0，则的值是（　　） A. 0或1 B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件—分子为0，分母不等于0，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：D 9. 若是方程的解，则的值为（　　） A. 5 B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程解的定义，把代入到方程中，计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 解得：， 故选：A． 10. 函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. 或3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数定义可知最高次项次数为2，且最高次项系数不为零，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故选：D． 11. 在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与a的关系，分析得出答案． 【详解】解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大， 故选：D． 12. 如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象． 【详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3， ∴∠AOB=∠A=45°， 如图，记交点分别为C，D， ∵CD⊥OB， ∴， ∴∠OCD=∠A， ∴∠AOD=∠OCD=45°， ∴OD=CD=t， ∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）． 故S与t之间的函数关系的图象应为开口向上的二次函数图象； 故选D． 【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象． 二、填空题 13. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为______． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可. 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴ ∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根 故答案为：有两个不相等的实数根 14. 已知，且有，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握同解方程，和根与系数的关系，是解题的关键． 把的两边同时除以，得到，则x、是关于x的方程的两根，则利用根与系数的关系求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴x、是关于x的方程的两根， ∴． 故答案为：． 15. 函数是二次函数，则a的值是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；由题意易得且，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：； 故答案为：． 16. 如图，正方形OABC的边长为3，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（1，0）在OA上，P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】过D点作关于OB的对称点D′，连接D′A交OB于点P，由两点之间线段最短可知D′A即为PA+PD的最小值， 由正方形的性质可求出D′点的坐标，再根据OA＝3可求出A点的坐标，利用两点间的距离公式即可求出D′A的值． 【详解】解：过D点作关于OB的对称点D′，连接D′A交OB于点P，由两点之间线段最短可知D′A即为PA+PD的最小值， ∵D（1，0），四边形OABC是正方形， ∴D′点的坐标为（0，1），A点坐标为（3，0）， ∴D′A＝=，即PA+PD的最小值为． 故答案为 【点睛】本题考查的是最短线路问题、正方形的性质及两点间的距离公式，及勾股定理等知识，具有一定的综合性，难度适中． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟悉不同解法的特点，根据方程的特点选择合适的解法是关键． （1）该方程为一般形式，且不能因式分解，采用公式法解此方程更合适，套用公式即可解出方程； （2）该方程左边可以因式分解，用因式分解法即可解出方程． 【小问1详解】 解：， ， ， 即，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）证明根的判别式恒大于0即可； （2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解． 【小问1详解】 证明：中， ，，， ， 无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：将代入， 得，即， 因式分解得， 解得，， 当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系， 等腰三角形的周长； 当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1， ，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在， 综上可知，等腰三角形的周长是6． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义等，解题的关键是注意分情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 19. 先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可解答． 【详解】解： ， ∵且， ∴当时，原式． 20. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 【答案】（1）这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 （2）当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确得出等量关系并列出方程是解题关键． （1）设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为，利用七月销量九月的销量建立方程，进而求出答案即可； （2）首先设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，最后求解即可． 【小问1详解】 解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元， 根据题意得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元． 21. 某校从甲、乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲、乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表： 学生 平均分（分） 中位数（分） 方差 甲 95 ▲ 4 乙 ▲ 95 5 （1）这6次测试中，成绩更稳定的学生是_______（填“甲”或“乙”）；甲学生成绩的中位数为_______分； （2）求乙学生成绩的平均分； （3）学校为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议． 【答案】（1）甲，95.5 （2）95分 （3） 建议选甲参加市小数学家评比，理由如下： 两人是平均数相同，但甲6次测试成绩的方差比乙小，且甲每次的成绩稳中有进，所以建议选甲参加市小数学家评比．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查统计图（表），求平均数，中位数，根据平均数、中位数和方差做决策． （1）根据折线的波动程度可判断成绩更稳定的学生，运用中位数定义即可求出平均数； （2）运用平均数的定义求解即可； （3）根据平均数、中位数、方差和统计图的走势进行分析可得出结论，提出合理建议． 【小问1详解】 解：由统计图可知，甲的成绩比乙的成绩波动幅度小， 成绩更稳定的学生是甲． 将甲的6次成绩从小到大进行排序，排在第3位和第4位分别是95和96， 甲的中位数为：（分）； 故答案为：甲；95.5； 【小问2详解】 解：乙成绩的平均分为：（分）； 【小问3详解】 略 22. 如图，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，且这两条直线交于点． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）这两条直线交点的坐标为______； （3）求出的面积； （4）直线写出使函数的值大于的值时自变量的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征列式求解即可； （2）解析式联立组成二元一次方程组，解方程组即可； （3）根据三角形面积公式计算即可； （4）根据函数值的大小比较，找到两直线的交点坐标，即可求得． 【小问1详解】 解：在中，当时，， 即； 在中，当时，, 即 ； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由题意联立方程组： ， 解得： ∴； 故答案为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ， ∴， 故的面积； 【小问4详解】 解：由图象可知，使函数的值大于函数的值的自变量x的取值范围为． 【点睛】本题考查两条直线平行或相交问题、一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标． 23. 如图，在平行四边形中，是边上一点，延长与的延长线交于点，连接． （1）请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程． ①；②． （2）在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明： 选①： 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， （）， ． 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 选②： ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴平行四边形是矩形． （2）18 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）选择①：首先证明出（），得到，证明出四边形是平行四边形，然后结合即可证明出是矩形； 选择②：首先由三线合一得到，然后证明出四边形是平行四边形，然后结合即可证明出是矩形． （2）四边形是直角梯形，根据梯形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ． 四边形是平行四边形， ， ． 在Rt中，， ． ， ∴直角梯形的面积． 24. 如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． （1） _______； _______； （2）求直线的函数表达式； （3）求的面积； （4）观察图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）6 （4）． 【解析】 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）求出的长，根据“”求解即可； （4）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【小问1详解】 解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； 【小问3详解】 解：对于直线：， 当时，， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 25. 图1是一张三角形纸片，，，，沿垂直于斜边的方向裁剪一刀（裁剪线为），会分得两个图形． （1）【操作发现】 当裁剪线恰好经过顶点时，如图2，求的长； （2）【思考操作】 要使经过沿裁剪的三角形纸片，分得的其中一个图形为轴对称图形． ①小星想出了一个作法：先作出的平分线交于点，如图3，再过点沿垂直于的方向裁剪，得到的四边形一定是轴对称图形．在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点作出的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； ②试对与相等进行说理，并求出裁剪线的长． （3）【拓展延伸】 在（2）的情形中，小红说：“裁剪线还应有另一个不同的值．”请画出图形并求出的长． 【答案】（1）4.8 （2） ①尺规作图如图所示． ②平分，，， ， 又， ， ， 的长为 （3） 如图，四边形是轴对称图形， 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，由的面积可得出答案； （2）①按题意画出图形；②证明，可得出，设，则，，由勾股定理得出答案； （3）利用轴对称图形的性质可得，，，设，则，由勾股定理得出答案． 【小问1详解】 ，，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①略 ②设，则，， ， 在中，由勾股定理，得， 解得， 则裁剪线的长为； 【小问3详解】 与关于成轴对称， ，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $