上海市华东师范大学第三附属中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段测试数学试题

华东师大三附中 2026-2026 学年第一学期第一次阶段测试 高三数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题 1．已知集合，，则 . 2．已知幂函数的图象经过点，则 . 3．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和等于的概率为 . 4．若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为 . 5．已知随机变量X服从正态分布，且，则 . 6．设为虚数单位，，则实数 . 7．已知 且 为第二象限角，则 = . 8．若关于 的不等式 的解集是，且经过圆 . 9．如图，在四边形ABCD中，，，，，．若P为线段AB上一动点，则的最小值为 .    10．已知函数，若，，且，则的最小值是 11．已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，，则的最大值是 . 12．已知，给出下列命题：①的图象关于点对称；②的值域为；③在区间上有33个零点；④若方程在区间有4个不同的解，其中，则的取值范围是.其中所有正确命题的序号为 . 二、选择题 13．设，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 16．设，数列满足，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、解答题 17．如图，在正方体中，E是的中点.    (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 18. 已知函数 . (1)当 时，求的极值. (2)若 恒成立，求实数 的取值范围. 19．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，．记． (1)当时，求； (2)请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值． 20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为，若为正三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； (3)过点的直线与椭圆相交于，两点，，直线的方程． 21．已知函数的定义域为.若存在实数，使得对于任意，都存在，使得，则称函数具有性质. (1)分别判断：及是否具有性质；（结论不需要证明） (2)若函数的定义域为，且具有性质，证明：“”是“函数存在零点”的充分非必要条件； (3)已知，设，若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求的值. 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 考点：集合的交集运算． 2． 考点：函数的性质及求值. 3． 【分析】基本事件总数n＝6×6＝36，利用穷举法得到向上的点数之和等于12包含的基本事件的数量，由此能求出出现向上的点数之和等于12的概率． 【详解】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n＝6×6＝36， 出现向上的点数之和等于12包含的基本事件只有：（6，6） ∴出现向上的点数之和等于9的概率为p． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4． 【分析】求出圆心坐标，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为， 因为直线与直线平行，且经过圆的圆心， 所以，直线的方程为. 故答案为：. 5．0.14 【分析】直接根据正态分布函数的性质即可求解. 【详解】由题意. 6．0 【详解】由得：，所以 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分． 7． 8． 9． 【分析】以点为原点建立直角坐标系，设，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】如图，以点为原点建立直角坐标系， 则，设， 故， 所以， 则当时，取得最小值.    故答案为：. 10．8 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 11． 【分析】由已知，结合向量数量积的运算律可得，作，，，则，即的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，由，得且，记，则，当与圆相切时，最小，即可求的最大值. 【详解】将两边平方，得， 如图，作，，，则， ∴的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，再以为圆心作单位圆， 由，得且， ∴当在圆上运动时，在圆上的轨迹是、， 要使 最大，记，则，当与圆相切时最小， 此时，即， ∴的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据向量的几何性质，作，，，的轨迹是以为直径的圆上，其半径为2，圆心为，再以为圆心作单位圆，在圆上运动时，的在圆上轨迹是、，记，则，当与圆相切时最小，即此时的最大. 12．①②④ 【分析】对于①，计算得到，得到①正确；对于②，求出是以为周期的周期函数，分和两种情况，求出函数的值域；对于③，，故或，求出零点个数；对于④，结合是以为周期，得到的根的分布特点，从而得到，并得到的取值范围，得到答案. 【详解】对于①，， 故，可得①正确； 对于② ，， 故是以为周期的周期函数， 当时，， ，则， 当时，， ，则， 综上，的值域为，②正确； 对于③，， 令得或，， 所以在上有31个零点，③错误； 对于④，是以为周期的周期函数， 当时，在上有2个实根， 且， 当时在上没有实根， 在上有2个实根，且， ， 在区间有4个不同的解， 所以， 所以的取值范围是，④正确， 故答案为：①②④. 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 13．C 【分析】利用不等式的基本性质可判断AB，利用作差法可判断D，利用举反例法可判断C. 【详解】对于A，由，两边同时乘以得：，故A正确； 对于B，由，两边同时加上可得：，故B正确； 对于D，由，可知，故D正确； 对于C，当时，不等式不成立，故C错误； 故选：C. 14. C 15．B 【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 16．A 【分析】当时，，即，则，设利用导数研究出函数的单调性，从而得到，即，得到数列单调递增，则选项A正确，B错误，当时，，即，则，设，利用导数研究出函数的单调性，可得一定存在，使得，，使得,当（或）时有,，从而选项C, D不正确. 【详解】当时，，即. 则，设，则 ，所以在上单调递增,且 所以当时，，则单调递增. 当时，，则单调递减. 所以，所以 所以当时，数列单调递增，则选项A正确，B错误. 当时，，即. 则，设，则 ，所以在上单调递增,且 所以当时，，则单调递增. 当时，，则单调递减. 所以,又， 所以一定存在，使得，，使得 当( 或)时有，，即. 同理可得，，所以选项C, D不正确. 故选：A 【点睛】本题考查利用递推数列判断数列的单调性，考查构造函数，通过分析函数的单调性，从而判断数列的单调性，属于中档题. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 18. （1） 时有极小值1，无极大值 （2） 19．(1)； (2) ，；当时，取得最大值. 【分析】（1）在△中由正弦定理求得，即可由数量积的定义求得结果； （2）在△中由正弦定理用表示，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的. 【详解】（1）根据题意，在△中，，又， 故由正弦定理可得： 解得，， 故 . 即 . （2）由题可知，在△中，， 则由正弦定理，可得， 故可得， 故 . 即. 当时，，此时取得最大值. 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出，即可得到椭圆方程； （2）依题意可得直线为，联立直线和椭圆方程，消元，求出交点的横坐标，直接利用弦长公式进行求解； （3）设，，直线为，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，列方程组求解. 【详解】（1）依题意可得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，故该直线为， 由，消去可得， 故，所以.    （3）显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾）， 设，，直线为， 由，消去得，显然， 由韦达定理可得：①，， 又，则，故②， 由①②得，，故， 即，化简可得，解得. 故直线为.    21．(1)不具有性质，具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）由定义结合必要不充分条件证明即可； （3）将问题转化为，再对进行分类讨论，求得的值域，结合的唯一性求得的值，从而得解. 【详解】（1）不具有性质，具有性质，理由如下： 因为指数函数的定义域为， 对于，，恒成立， 所以不存在满足， 因此函数不具有性质； 因为一次函数的定义域为， 对于，，取， 则，因此具有性质. （2）当时，由于函数具有性质， 取，则存在，使得， 所以，因此函数存在零点，即充分性成立； 当函数存在零点时， 设，，则， 因为对于任意，取，则， 且满足， 所以函数具有性质，但，即必要性不成立； 因此“”是“函数存在零点”的充分非必要条件. （3）依题意，存在唯一的实数，使得函数，具有性质， 即存在唯一的实数，对任意，都存在满足，即， 因为，则，故， 记的值域为，则， 当时，，，即， 所以，得，显然不唯一，不符合题意； 当时，的对称轴为，， 当，即时，在上递增，所以， 所以，得， 由于唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时，在上递增， 所以，则，得， 由于唯一，所以，解得，符合题意； 当，即时， 的最大值是，最小值是，则， 所以，得， 由于唯一，所以，解得，不符合题意； 当，即时， 的最大值是，最小值是，则， 所以，得， 由于唯一，所以，解得（舍去），满足题意； 综上，的值为或. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点 （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件 （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 答案第2页，共11页 答案第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $