精品解析：山东省淄博市齐德学校（五四制）2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试卷

初三上数学月考试卷-齐德学校 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列各式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的判断，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母．根据判断一个式子是分式的条件：①分子、分母是整式；②分母中含有字母，且分母不等于0，据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：分母中不含有字母，不是分式； 分母中不含有字母，不是分式； 符合分式的定义，是分式； 分母中不含有字母，不是分式；即属于分式的有1个， 故选：A． 2. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的识别，熟记定义：“一个分式的分子与分母，除1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式”是解本题的关键．直接根据最简分式的定义逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意． B、是最简分式，该选项符合题意． C、，该选项不符合题意． D、，该选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，判断即可． 本题考查了因式分解的定义即把多项式写成几个因式的积的形式，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵不是因式分解， ∴A不合题意； ∵不是因式分解， ∴B不合题意； ∵不是因式分解， ∴C不合题意； ∵是因式分解， ∴D符合题意； 故选D． 4. 下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 5. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，列式求解即可．分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 6. 下列分式的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质依次判断即可． 【详解】A. ，故此选项不符合题意； B.是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题； C.是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意； D.，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质和最简分式，分子分母不含公因式的分式叫做最简分式．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 7. 下列说法错误的是（　　） A. 若式子没有意义，则x的取值范围是 B. 分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值扩大2倍 C. 分式的值不可能等于0 D. 若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，性质，分式有意义和分式的值为0，直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案即可． 【详解】解：A．若式子没有意义，则，即，故不符合题意； B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，即，所以分式的值不变，故符合题意； C．当，即时，，所以分式的值不可能等于0，故不符合题意； D．若表示一个整数，则整数x可取值是，共有4个，故不符合题意； 故选：B． 8. 某校美术社团为练习素描，他们第一次用元买了若干本资料，第二次用元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（ ） A. 4 B. 4 C. 4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式方程解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．设他们第一次买了x本资料，则设第二次买了本资料，以“第二次比第一次每本优惠4元”为等量关系列方程即可． 【详解】解：设他们第一次买了x本资料，则这次买了本， 根据题意得：4． 故选：D． 9. 已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A. 12，14 B. 13，15 C. 14，16 D. 15，17 【答案】D 【解析】 【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之间的哪两个整数整除. 【详解】 ∴可以被10至20之间的17和15两个整数整除. 故选D. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键. 10. 若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（ ） A. B. 5 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 解得：， 故选C． 二．填空题（共5小题，每题4分，共计20分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 多项式和的公因式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查公因式，熟练掌握提公因式的方法是解题的关键． 分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式． 【详解】， ， ∴多项式与多项式的公因式是． 故答案为：． 13. 若多项式因式分解后结果是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键． 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 数学课上，老师讲了分式的除法，放学后，小刚回到家中拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：化简，其中“”处被墨迹盖住了，但他知道这道题化简的结果为，则“”所表示的式子为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的除法计算，根据题意列得分式除法计算式子，计算可得答案，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为． 15. 观察下列等式，，，，…，根据其中的规律，猜想________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题）（16，17，18，19每题10分；20，21每题12分，22，23每题13分） 16. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先提取公因式，再利用平方差公式； （2）先用完全平方公式，再利用平方差公式． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1）＝； （2）+2＝． 【答案】（1）x＝3；（2）无解． 【解析】 【分析】（1）先将方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x﹣1），化分式方程为整式方程，解整式方程求出未知数的值，再检验，从而得出答案； （2）先将方程两边都乘以最简公分母x﹣4，化分式方程为整式方程，解整式方程求出未知数的值，再检验，从而得出答案．． 【详解】解：（1）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：3（x﹣1）＝6， 解得x＝3， 检验：x＝3时，（x+1）（x﹣1）＝8≠0， ∴分式方程的解为x＝3； （2）两边都乘以x﹣4，得：﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x， 解得x＝4， 检验：当x＝4时，x﹣4＝0， ∴x＝4是分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 【点睛】本题主要考查解分式方程和二元一次方程组，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 18. 分式的化简： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先计算括号内的减法，再计算括号外除法即可； （2）先计算括号内的加减法，再计算括号外除法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值. 【答案】，当时，原式(或者选择当时，原式) 【解析】 【分析】先运用分式的通分化简括号内的式子，再运算分式的除法，熟练掌握分式化简求值以及注意分母不为0是解题的关键． 【详解】解： ， ∵或2时，分母为，分式无意义， ∴只能取或1， ∴当时，原式，（或者选择当时，原式）． 20. 如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有两块是边长都为m的大正方形，3块是边长都为n的小正方形，7块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若每块小长方形的周长是20，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，求这张长方形纸板的面积 【答案】（1）（2m+n）（m+3n）． （2）272 【解析】 【分析】（1）根据图形可得，代数式2m2+7mn+3n2表示长方形纸片分成12块图形的面积之和，长方形的纸片的面积还可以用长×宽，即（2m+n）（m+3n）； （2）根据小长方形的周长是20，得到m+n＝10；每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，得到m2﹣n2＝40；根据上述关于m、n的方程求出m，n的值代入（1）中的代数式即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 长方形纸板分成12块，其中2块边长为m的大正方形的面积为2m2； 3块边长为n的小正方形的面积为3n2； 7块长为m，宽为n的全等小长方形的面积为7mn． ∴代数式2m2+7mn+3n2表示的是长方形纸板分成12块图形的面积之和． ∵长方形纸板的边长分别为：（2m+n），（m+3n）． ∴2m2+7mn+3n2＝（2m+n）（m+3n）． 故答案为：（2m+n）（m+3n）． 【小问2详解】 由题意得， ． 解得． ∴长方形纸板的面积为：（2m+n）（m+3n）＝17×16＝272． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，主要用到以图形面积为背景的二次三项式的因式分解以及平方差公式的应用． 21. 阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程： 解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘y得， 解得：， 经检验：都是方程的解，当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”． 【解决问题】 （1）若方程，设，则原方程可化为_________． （2）模仿上述换元法解方程：． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，求平方根的方法解方程： （1）设，则，据此求解即可； （2）设，先把方程变形为，再用换元法求解即可． 【小问1详解】 解：设，原方程可化为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设，原方程可化为， 方程两边同时乘以，得， 解得，， 经检验，都是原方程的解， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 22. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 【答案】（1）假分式 （2）或 （3）27 【解析】 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）化简，根据分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，得出，求出，代入中，得出，根据，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得：分式是假分式， 故答案为：假分式； 【小问2详解】 解：， ∵的值为整数，且为整数； 的值为或； ∴的值为或． 【小问3详解】 解： ， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为27． 23. 【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 （1）用配方法分解因式：； （2）若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； （3）如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）①；②时，S的值最大，最大值是9． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，因式分解，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）仿照题意进行配方得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）对M、N作差，可得，再利用平方的非负性解答即可； （3）①利用三角形的面积公式求出S关于t的代数式即可；②利用配方法求出最大值即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 ①由题意，，， ， t的取值范围是：， ； ②， ，当时，它的最大值是0， 的最大值是9， 即时，S的值最大，最大值是9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三上数学月考试卷-齐德学校 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列各式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列分式的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（　　） A. 若式子没有意义，则x的取值范围是 B. 分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值扩大2倍 C. 分式的值不可能等于0 D. 若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个 8. 某校美术社团为练习素描，他们第一次用元买了若干本资料，第二次用元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（ ） A. 4 B. 4 C. 4 D. 4 9. 已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A. 12，14 B. 13，15 C. 14，16 D. 15，17 10. 若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（ ） A. B. 5 C. 1 D. 二．填空题（共5小题，每题4分，共计20分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 12. 多项式和的公因式是________． 13. 若多项式因式分解后结果是，则的值是______． 14. 数学课上，老师讲了分式的除法，放学后，小刚回到家中拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：化简，其中“”处被墨迹盖住了，但他知道这道题化简的结果为，则“”所表示的式子为________． 15. 观察下列等式，，，，…，根据其中的规律，猜想________（用含的代数式表示）． 三．解答题（共8小题）（16，17，18，19每题10分；20，21每题12分，22，23每题13分） 16. 分解因式： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）＝； （2）+2＝． 18. 分式的化简： （1）； （2）． 19. 先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值. 20. 如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成12块，其中有两块是边长都为m的大正方形，3块是边长都为n的小正方形，7块是长为m，宽为n的全等小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______． （2）若每块小长方形的周长是20，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40，求这张长方形纸板的面积 21. 阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程： 解：设，则原方程可化为，方程两边同时乘y得， 解得：， 经检验：都是方程的解，当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”． 【解决问题】 （1）若方程，设，则原方程可化为_________． （2）模仿上述换元法解方程：． 22. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 23. 【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 （1）用配方法分解因式：； （2）若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； （3）如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $