第三章 专题强化6 波的图像与振动图像的综合问题及波的多解问题(Word教参)-【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（粤教版）

本高中物理讲义聚焦波的图像与振动图像的综合问题及波的多解问题，先通过表格对比两者物理意义、研究对象、坐标等异同，再结合例题讲解由振动图像得周期、波的图像得波长计算波速及确定传播方向的方法，最后分析波的传播方向双向性和周期性导致的多解问题及解决思路。 该资料通过表格构建知识联系培养科学思维，结合例题解析强化科学推理能力，多解问题分类讨论渗透严谨科学态度。课中辅助教师清晰授课，课后学生可通过专题练习巩固知识，有效查漏补缺。

专题强化6　波的图像与振动图像的综合问题及波的多解问题 [学习目标]　1.知道波的图像和振动图像的区别与联系，会根据两类图像解决有关问题 (重难点)。2.理解波的多解性，会分析波的综合问题(重难点)。 一、波的图像与振动图像的综合问题 1．波的图像与振动图像的异同点 振动图像 波的图像 不同点 图像 物理意义 一个质点在不同时刻的振动位移 各质点在同一时刻的振动位移 研究对象 一个质点 沿波传播方向上的各质点 坐标 横坐标 时间 各质点的平衡位置 纵坐标 某一质点在不同时刻的振动位移 各质点在同一时刻的振动位移 一个完整波形信息 周期T 波长λ 相同点 图像形状 正(余)弦曲线 可获取的信息 质点的振幅A及位移、速度、加速度的大小和方向 一列横波某时刻的波形如图甲所示，图乙表示介质中某质点此后一段时间内的振动图像。 (1)若波沿x轴的正方向传播，图乙为K、L、M、N四点中哪点的振动图像？ (2)若波沿x轴的负方向传播，图乙为K、L、M、N四点中哪点的振动图像？ 答案　(1)若波沿x轴的正方向传播，题图乙为L点的振动图像 (2)若波沿x轴的负方向传播，题图乙为N点的振动图像 例1　(多选)图甲为一列简谐横波在t＝0时的波形图，图乙为介质中平衡位置在x＝2.5 m处的质点的振动图像，下列说法正确的是(　　) A．该波的波速为0.5 m/s B．该波的传播方向为x轴正方向 C．当t＝5 s时，平衡位置在x＝2 m处的质点恰好经平衡位置向y轴正方向运动 D．从t＝2 s到t＝4 s的时间内，平衡位置在x＝0.7 m处的质点通过的路程为8 cm 答案　ACD 解析　由题图甲可知波长为2 m，由题图乙可知周期为4 s，则波速为v＝＝ m/s＝0.5 m/s，故A正确；由题图乙可知，t＝0时刻，x＝2.5 m处的质点向y轴正方向运动，根据波形平移法可知，该波的传播方向为x轴负方向，故B错误；由于t＝5 s＝T，可知当t＝5 s时，平衡位置在x＝2 m处的质点恰好经平衡位置向y轴正方向运动，故C正确；从t＝2 s到t＝4 s的时间内，由于Δt＝2 s＝，可知平衡位置在x＝0.7 m处的质点通过的路程为s＝2A＝8 cm，故D正确。 针对训练　(多选)如图所示，图(a)为一列简谐横波在t＝0.1 s时刻的波的图像，Q是平衡位置为x＝4 m处的质点，图(b)为质点Q的振动图像，则下列说法正确的是(　　) A．该波的周期是0.1 s B．该波的传播速度为40 m/s C．该波沿x轴正方向传播 D．t＝0.4 s时，质点P的速度方向向下 答案　BD 解析　由题图(a)得到该波的波长为λ＝8 m，由题图(b)得到该波的周期为T＝0.2 s，所以波速为v＝＝ m/s＝40 m/s，故A错误，B正确；由题图(b)可知t＝0.1 s时，Q点处在平衡位置，且向下振动，根据同侧法可知该波沿x轴负方向传播，故C错误；根据振动规律可知t＝0.4 s时，质点P的速度方向向下，故D正确。 分析波的图像与振动图像的综合问题，主要有以下两个方面： (1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期)，由波的图像确定波长，进而计算波速。 (2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向，然后根据波的图像确定波的传播方向。 注意：波的图像是哪一时刻对应的，振动图像是哪一质点对应的。 例2　一列沿x轴传播的简谐横波，t＝0时刻的波的图像如图甲所示。图乙表示平衡位置为x＝1.0 m处的质点的振动图像，则 (1)求简谐横波传播速度的大小； (2)在图丙中画出平衡位置为x＝2.0 m处质点的振动图像(从t＝0时刻开始计时，至少画出一个周期)； (3)在图丁中画出简谐横波t＝0.3 s时的波的图像(至少画出一个波长)。 答案　(1)5 m/s　(2)见解析图　(3)见解析图 解析　(1)由题图甲可知波长λ＝2 m， 由题图乙可知周期T＝0.4 s，则v＝＝5 m/s (2)根据题图甲和题图乙可知简谐波向x轴正方向传播，则平衡位置为x＝2.0 m处质点在t＝0时刻沿y轴负方向运动，波长、振幅、周期与平衡位置为x＝1.0 m处的质点相同，则振动图像如图所示 (3)当t＝0.3 s时，波向前传播的距离 x＝vt＝5 m/s×0.3 s＝1.5 m 则波的图像如图所示。 Δt后波的图像的画法 1．特殊点法：找出波的图像一个波形中相邻的几个特殊点(如波峰、波谷、平衡位置等点)，画出这些特殊点在Δt时刻的位置，然后用正、余弦曲线连起来画出波的图像，如果Δt较长，可先表示为Δt＝nT＋Δt′。由于时间的周期性，可以去整留零，只需画出特殊点在Δt′时刻的波的图像。特殊点法适用于特殊时间，Δt或Δt′必须为T的整数倍才好确定特殊点的位置来画波形。特殊点法画波的图像较为简单易行。 2．平移法：算出波在Δt时间内传播的距离Δx＝vΔt，把波形沿波的传播方向平移Δx。如果Δx较大，可表示为Δx＝nλ＋Δx′，由于波的空间周期性，可以去整留零，只需平移Δx′即可，平移波形后一定要注意把图像补画完整。 二、波的多解问题 1．波的传播方向的双向性形成多解 只要没有指明机械波沿哪个方向传播，就要讨论两个方向的可能性。 2．波的周期性形成多解 (1)时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波的图像完全重合，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。 (2)空间周期性：将某一波形沿波的传播方向平移波长的整数倍距离，平移后的波形与原波形完全重合，若题中没有给定传播距离与波长的确切关系，则会引起答案的不确定性。 例3　(2021·全国乙卷)图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.3 s后，其波形曲线如图中虚线所示。已知该波的周期T大于0.3 s，若波是沿x轴正方向传播的，则该波的速度大小为________ m/s，周期为________ s，若波是沿x轴负方向传播的，该波的周期为________ s。 答案　0.5　0.4　1.2 解析　若波是沿x轴正方向传播的，波形移动了15 cm，由此可求出波速和周期：v1＝ m/s＝0.5 m/s T1＝＝ s＝0.4 s 若波是沿x轴负方向传播的，波形移动了5 cm，由此可求出波速和周期：v2＝ m/s＝ m/s T2＝＝ s＝1.2 s 例4　(2023·遂宁市期末)一列简谐横波沿直线方向由a向b传播，a、b两质点的平衡位置相距3 m，a、b两质点的振动图像如图所示。则该波的传播速度大小可能为(　　) A．2.0 m/s B．1.5 m/s C．1.0 m/s D．0.5 m/s 答案　C 解析　根据图像可知，t＝0时刻，a质点位于平衡位置向上振动，b质点位于波峰，又由于简谐横波沿直线方向由a向b传播，画出a、b间的波形图，如图， 则有Δxab＝3 m＝nλ＋λ(n＝0,1,2,3…)，根据振动图像可知T＝4 s，该波的传播速度v＝，解得v＝ m/s(n＝0,1,2,3…)，n＝0时，v＝1.0 m/s，n＝1时，v＝ m/s，n＝2时，v＝ m/s，…，对照选项只有C符合题意。 解决波的多解问题的一般思路 1．首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向的可能性进行讨论。 2．对设定的传播方向，首先确定Δt和T(或Δx和λ)的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内(或一个波长内)的情况，然后在此基础上加nT(或nλ)。 3．应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等。所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。 专题强化练 1～5题每题8分，6题16分，共56分 1．(2023·广州市第一中学高二期中)一条轻长绳放置在水平桌面上，俯视图如图甲所示，用手握住长绳的一端O，从t＝0时刻开始用手带动O点沿垂直绳的方向(图甲中y轴方向)在水平面内做简谐运动，0～6 s内O点的振动图像如图乙所示。t＝4 s时轻长绳上的波形图可能正确的是(　　) 答案　B 解析　由图题乙可知波形图对应的质点起振方向沿y轴正方向，且开始时的周期较小，则对应的波形图开始时波长较小。故选B。 2．一列简谐横波某时刻波形如图甲所示，由该时刻开始计时，质点N的振动情况如图乙所示，下列说法正确的是(　　) A．该横波沿x轴负方向传播 B．该时刻质点L向y轴正方向运动 C．该时刻质点K与M的速度、加速度都相同 D．质点N经半个周期将沿x轴移动到L点 答案　A 解析　结合波形图和质点N的振动图像可知，该时刻质点N在平衡位置向上振动，可知该横波沿x轴负方向传播，故A正确；由于该横波沿x轴负方向传播，根据“上下坡法”，可知该时刻质点L向y轴负方向运动，故B错误；该时刻质点K与M的速度均为零、加速度大小相同，方向相反，故C错误；质点只能在平衡位置附近振动，而不随波迁移，故D错误。 3．一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝4 s时的波形如图(a)所示，介质中某质点的振动图像如图(b)所示，下列说法正确的是(　　) A．图(b)一定是质点B的振动图像 B．图(b)只能是质点A的振动图像 C．这列波的波速为10 m/s D．这列波的频率为0.25 Hz 答案　D 解析　简谐横波沿x轴正方向传播，根据“同侧法”可知，t＝4 s时质点A从平衡位置向y轴正方向振动，质点B从平衡位置向y轴负方向振动，可知题图(b)一定不是质点B的振动图像，可能是质点A的振动图像，但也可能是与质点A相距整数个波长质点的振动图像，故A、B错误；由题图(a)可知波长为0.4 m，由题图(b)可知周期为4 s，则这列波的频率为f＝＝0.25 Hz，这列波的波速为v＝＝0.1 m/s，故C错误，D正确。 4.如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15 m。当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是(　　) A．0.60 m B．0.20 m C．0.15 m D．0.10 m 答案　D 解析　由题意可知，P位于波峰时，Q位于波谷，故两点平衡位置间距0.15 m＝＋nλ(n＝0,1,2…)，所以波长λ＝ m(n＝0,1,2…)，当n＝0时，λ＝0.30 m；当n＝1时，λ＝0.10 m，故选项D正确。 5.(2024·广东省棠下中学高二校考)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t＝0时刻的波形如图中实线所示，t＝0.1 s时刻的波形如图中虚线所示。波源不在坐标原点O，P是介质中离坐标原点xp＝2.5 m处的一个质点。则以下说法正确的是(　　) A．质点P的振幅为0.05 m B．波的频率可能为7.5 Hz C．波的传播速度可能为50 m/s D．在t＝0.1 s时刻与P相距5 m处的质点一定沿x轴正方向运动 答案　C 解析　质点P的振幅即波的振幅，为0.1 m，A错误；波沿x轴正方向传播，则Δt＝nT＋(n＝0,1,2…)，周期为T＝ s(n＝0,1,2，…)，频率f＝＝＝ Hz，(n＝0,1,2…)，所以波的频率不可能为7.5 Hz，B错误；波速v＝λf＝4× m/s＝(40n＋10) m/s，(n＝0,1,2…)，所以当n＝1时，v＝50 m/s，C正确；在t＝0.1 s时刻与P相距5 m处的质点只能上、下振动，不可能沿x轴正方向运动，D错误。 6．(16分)(2023·揭阳市普宁二中高二期中)如图甲所示，为某一对简谐横波在t＝t0时刻的图像，图乙是这列波上P质点从这一时刻起的振动图像。 (1)(6分)求波的传播方向和波速大小； (2)(10分)画出经过2.3 s后波的图像，并求出t＝2.3 s时P质点的位移和0～2.3 s内P质点运动的路程。 答案　(1)沿x轴正方向传播　5 m/s (2)见解析图　10 cm　2.3 m 解析　(1)由题图乙可知P质点t＝t0时刻位于平衡位置且向y轴负方向运动，结合波的图像，根据上下坡法可知波沿x轴正方向传播，波速大小为v＝＝ m/s＝5 m/s (2)经过2.3 s即5个周期，波的图像如图所示，P质点的位移为x＝10 cm P质点运动的路程为s＝5×4A＝2.3 m。 7～9题每题9分，10题17分，共44分 7．(多选)(2023·佛山市高二期末)图甲为一列沿x轴传播的简谐横波在t＝0时的波形图，M、N、P是介质中的三个质点，M的平衡位置x＝0.5 m，N的平衡位置x＝1.5 m，P的平衡位置x＝2 m；图乙为P点的振动图像。下列说法正确的是(　　) A．这列波沿x轴正方向传播 B．这列波的传播速度大小为1 m/s C．t＝0时，M与N的加速度方向相反 D．在0～4 s内，P点通过的路程为16 cm 答案　BD 解析　根据振动图像，t＝0时质点P沿y轴负方向振动，结合波形图可知，这列波沿x轴负方向传播，选项A错误；这列波的传播速度大小为v＝＝1 m/s，选项B正确；t＝0时，M与N的加速度方向都沿y轴负方向，方向相同，选项C错误；在0～4 s内，即一个周期中，P点通过的路程为s＝4A＝16 cm，选项D正确。 8．如图是在两个不同介质中传播的两列波的波形图。图中的实线分别表示横波甲和横波乙在t时刻的波形图，经过0.5 s后，甲、乙的波形分别变成如图中虚线所示。已知两列波的周期均大于0.3 s，则下列说法中正确的是(　　) A．波甲的速度可能大于波乙的速度 B．波甲的波长可能大于波乙的波长 C．波甲的周期一定等于波乙的周期 D．波甲的频率一定小于波乙的频率 答案　A 解析　经过0.5 s后，甲、乙的波形分别变成如图中虚线所示，且周期均大于0.3 s，则根据nT＋T＝0.5 s(n＝0,1,2…)，可知，两波的周期分别可能为1 s和 s，则根据波速v＝可知，若甲的周期为 s，而乙的周期为1 s，则甲的速度大于乙的速度，故A正确，C错误；由题图可知，波甲的波长为4 m，波乙的波长为6 m，波甲的波长比波乙的短，故B错误；若乙的周期为1 s而甲的周期为 s，则由f＝可知，甲的频率大于乙的频率，故D错误。 9．(多选)(2024·广州市第十六中学高二期中)如图所示，实线为一列沿x轴传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图，虚线(非方格)为t＝1 s时刻的波形图。介质中有P、Q、M三个质点，t＝0时刻，三个质点的纵坐标分别为yP＝2 cm，yQ＝－2 cm，yM＝－2 cm。下列说法正确的是(　　) A．P、Q两质点的速度总是大小相等、方向相反 B．P、M两质点相对平衡位置的位移总是大小相等、方向相反(在平衡位置除外) C．此列波的周期可能为0.8 s D．此列波的波速可能为6 m/s 答案　BC 解析　由题图可知此列波的波长为6 m，而P、Q两质点平衡位置的距离小于半个波长，所以P、Q的振动情况不是总相反；根据三角函数知识可知，P、M两质点平衡位置的距离等于半个波长，所以P、M的振动情况总是相反(在平衡位置除外)，A错误，B正确；在1 s内x＝3 m处质点位移为4 cm，即＝1 s(n＝1,2,3…)，故波的周期为4 s、 s、0.8 s、 s…，由于波长为6 m，周期不可能为1 s，故波速不可能为6 m/s，C正确，D错误。 10．(17分)(2024·广州六中高二期中)如图甲所示，孩子们经常会在平静的水中投掷一块石头激起水波。现对该模型做适当简化，若小孩将小石头垂直于水面投入水中，以小石头入水点为坐标原点O，沿波传播的某个方向建立Ox坐标轴，在x轴上离O点不远处有一片小树叶，若水波为简谐横波，从某个时刻开始计时，如图乙实线所示为t1＝时刻的波动图像，图丙为小树叶的振动图像。 (1)(5分)请判断小树叶位于P、Q两点中的哪一点并写出合理的解释； (2)(5分)已知T＝0.2 s，求质点Q在振动1 s内经过的总路程； (3)(7分)若虚线为t2时刻的波形图，且Δt＝t1－t2＝0.1 s，求水波可能的波速。 答案　(1)P点　见解析　(2)0.4 m　(3) m/s(n＝0,1,2…) 解析　(1)小树叶位于P点，水波沿着x轴正方向传播，所以t＝时刻，P、Q两点的振动方向分别为向下和向上，由题图丙知t＝时刻树叶正在向下振动，所以树叶位于P点。 (2)若周期为0.2 s，质点Q在1 s内全振动的次数为n＝＝5次 质点Q在1 s内经过的总路程为s＝5×4A＝0.4 m (3)由题图乙可知波长λ＝20 cm＝0.2 m 波沿x轴正方向传播，那么，经过Δt＝t1－t2波向右传播了n＋(n＝0,1,2…)个周期，则有0.1 s＝(n＋)T(n＝0,1,2…)，解得T＝ s(n＝0,1,2…) 波速v＝＝ m/s(n＝0,1,2…) 学科网（北京）股份有限公司 $