第十三章 专题一 与三角形有关的角+数学活动-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）河北专用

null13.3.2三角形的外角 1.B2.B3.C4.A5.B6.72°7.是 8.解：(1)CD平分∠ACB, .∠ACB=2∠BCD=2X32°=64°， 在△ABC中，，∠A=75°，∠ACB=64°， .∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-75°-64°=41. (2),∠ADC是△BCD的外角， .∠ADC=∠B+∠BCD=41°+32°=73° 9.C10.B11.A 12.解：(1)CE平分∠ACD,.∠ECD=∠ACE.:∠BAC= ∠E+∠ACE,∴.∠BAC=∠E+∠ECD.:∠ECD= ∠B+∠E,.∠BAC=∠E+∠B+∠E,∴∠BAC= 2∠E+∠B. (2)CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.,∠ECD ∠ACB=30°，2∠ECD+∠ACB=180°，.∠ACB=40° ∠ECD=70°.CA⊥BE,∴.∠B+∠ACB=90°，.∠B= 50°.∠ECD=∠B+∠E,∴.∠E=70°-50°=20°. 13.解：(1)∠A=2∠BOC一180°.理由如下： O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，.∠ABC= 2∠OBC,∠ACB=2∠OCB.在△ABC中，∠A+2∠OBC+ 2∠OCB=180°，.∠A+2(∠OBC+∠OCB)=180°.在 △BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，'.∠OBC+ ∠OCB=180°-∠BOC,∴.∠A+2(180°-∠BOC)=180°， .∠A=2∠BOC-180°. (2)∠A=2∠BOC.理由如下： O是∠ABC和∠ACD的平分线的交点，∴∠ABC= 2∠OBC,∠ACD=2∠OCD.·∠ACD=∠A+∠ABC= ∠A+2∠OBC,∠OCD=∠BOC+∠OBC,.2(∠BOC+ ∠OBC)=∠A+2∠OBC,∴.∠A=2∠BOC (3)∠A=180°-2∠BOC.理由如下： :O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线的交点， ∴.∠CBD=2∠OBC,∠BCE=2∠OCB,∴.∠ABC=180° ∠CBD=180°-2∠OBC,∠ACB=180°-∠BCE=180° 2∠OCB,.∠ABC+∠ACB=360°-2（∠CBO+∠BCO). ∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴2（∠CBO+∠OCB)= ∠A+180°.在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， .∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC,∴.2(180°-∠BOC)= ∠A+180°，.∠A=180°-2∠B0C. 专题一与三角形有关的角 1.C2.30°直角3.50°60°70°4.C5.C6.30° 7.解：(1)证明：如图①所示，连接A0并延长. .'∠3是△ABO的外角， ∴.∠1+∠B=∠3.① :∠4是△AOC的外角， .∠2+∠C=∠4.② ①+②，得∠1+∠B+∠2+∠C=∠3+∠4， 即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C. (2)如图②所示，连接AD,由(1)可得 ∠F+∠2+∠3=∠DEF,③ ∠1+∠4+∠C=∠ABC,④ ③+④，得∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C=∠DEF+ ∠ABC=130°+100°=230°， 即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230° 0 34 C 100B ① ② 8解：155802∠B5D=90-2∠C 证明：：AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线， ∴∠ABE=3∠ABC,∠BAE=G∠BAC. :∠BED=∠ABE+∠BAE=G(∠ABC+∠BAC)- 180-∠C)=90-2∠c 1 9.解：(1)，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=80°， .∠CBD=∠A+∠ACB=110°. ,BE是∠CBD的平分线， ∠CBE-号∠CBD=5S (2)∠ACB=80°，∠CBE=55°， ∴.∠CEB=∠ACB-∠CBE=80°-55°=25° DF∥BE,∴∠F=∠CEB=25. 10.解：：∠B+∠C+∠BAC=180°， ∠B=40°，∠C=35°，.∠BAC=105°. 又AE平分∠CAD, .∠CAE=∠DAE. 由翻折得∠BAD=∠DAE, ∠B=∠E=40°. ∠BAD=∠DAE=∠CAE=35° ∠AFD=∠CAE+∠C=70°. 又∠AFD=∠1+∠E,∴∠1=70°-40°=30°. 11.解：∠CEC'=180°-∠1，∠CFC'=180°-∠2，由翻折得 ∠CEF=∠CEC,∠CFE=之∠CFC.在ACEF中， ∠C=180-∠CEP-∠CPE=180-号(18o-∠1)- 2180-∠80-18o-90+ 1 7∠1-90+2∠2= 21+∠8 .∠1+∠2=2∠C. 12.解：(1)①是 ②：∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”， .△BPC内角的度数分别是72°，72°，36°，∠BCP=36°或 72°，.∠ACP=54°或18°. (2)如图①所示，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时， 满足条件，此时∠BCP=45°； 如图②所示，当∠A=60°，CP⊥AB时，满足条件，此时 ∠BCP=60°； 如图③所示，当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条件，此时 ∠BCP=50°； 如图④所示，当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条件，此时 ∠BCP=40°； 如图⑤所示，当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条件，此时 ∠BCP=30° 综上所述，满足条件的∠BCP的度数为30°或40°或45°或 50°或60°. 1009 2 ⑤ 数学活动 1.解：能，画出图形如图所示. 2.A3.D4.D5.125 D5 6.14解析：D:=2,D=2 D5=5. 治兽 .D6=14. 7.(1)12 (2)23 (3)(n-3)(n-2) (4)103 本章综合提升 【本章知识归纳】 锐角三角形直角三角形钝角三角形底边和腰不相等 等边三角形大于小于180°互余与它不相邻 【思想方法归纳】 【例1】解：解法1：如图①所示，延长AD交BC于点E,则根据三 角形外角的性质有∠ADC=∠C十∠DEC,∠DEC= ∠A+∠B,.∠ADC=∠A+∠B+∠C=30°+45°+ 25°=100° @ 解法2：如图②所示，过点D作BC的平行线EF,交AB于 点E,则由平行线的性质知∠FDC=∠C,∠AED=∠B.又 根据三角形外角的性质有∠ADF=∠A+∠AED, ∴.∠ADF=∠A+∠B.又∠ADC=∠ADF+∠FDC, ∴.∠ADC=∠A+∠B+∠C=30°+45°+25°=100° 【变式训练1】解：(1)∠1∠2∠A (2)思路-：在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+ ∠4=180°， .∠PBC+∠PCB=180°-∠A-∠3-∠4=180°-67°- 25°-40°=48°. 在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB=180°， .∠1=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-48°=132°. 思路二：：∠2是△ABD的外角， ∴.∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°. ∠1是△CDP的外角， .∠1=∠2+∠4=92°+40°=132. 【例2】解：当△ABC为锐角三角形时（如图①所示），：BD,CE 是△ABC的高，∠A=45°，∴·∠ADB=∠BEH=90°. 在△ABD中，∠ABD=180°-90°-45°=45. :∠BHC是△BHE的外角， .∠BHC=90°+45°=135° 0 ⊙ 当△ABC为钝角三角形时（如图②所示）， H是△ABC两条高所在直线的交点，∠A=45°， ∴.∠ACE=180°-90°-45°=45°，.∠HCD=45°， .∠BHC=180°-90°-45°=45. 综上所述，∠BHC的度数为135°或45° 【变式训练2】22 【通模拟】 1.D2.A3.D4.B5.D 6.直角 7.(1)∠3>∠2>∠1 (2)140 8.解：(1)因为AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线， 所以∠0AB=∠BAC,∠OBA=2∠ABC. 所以∠OAB+∠OBA=(∠BAC+∠ABC). 在△ABC中，因为∠C=80°， 所以∠BAC+∠ABC=180°-∠C=100°， 所以∠AOB=180°-∠0AB-∠OBA=180°-2（∠BAC+ 1 ∠ABC)=130°. (2)因为AD是边BC上的高，∠C=80°，∠ABC=40°， 所以∠ADC=90°， ∠DAC=90°-∠C=90°-80°=10°. ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=60°. 因为AE是∠BAC的平分线， 所以∠CAE=号∠BAC=80. 所以∠DAE=∠CAE-∠CAD=30°-10°=20°. 9.解：(1)1 (2)因为BE是∠ABC的平分线，∠ABC=62°， 所以∠ABE-宁∠ABC=合×62r=31 因为CD是△ABC的高， 所以∠CDB=90°，