第十三章 三角形 本章综合提升+综合与实践 确定匀质薄板的重心位置-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）河北专用

本章综合提升（答案P4) I11111/ ·本章知识归纳 /1111111 三角形的定义及有关概念 三角形的概念 按角分类： 分类 三边都不相等的三角形 按边分类 的等腰三角形 等腰三角形 三角形 三角形两边的和 第三边 三边之间的关系 三角形两边的差 第三边 与三角形有关的线段 中线 角平分线 高 内角和定理：三角形三个内角的和等于 三角形的内角 三角形的 直角三角形的两个锐角 内角与外角 三角形的外角：三角形的一个外角等于 的两个内角的和 ·思想方法归纳 LEKEE 【例1】二题多解如图所示，已知∠A 30°，∠B=45°，∠C=25°，试求∠ADC的度数. 1.转化思想 在研究数学问题时，我们通常是把未知的知 识转化为已知的知识，把复杂的问题转化为简单 的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把数 学问题转化为实际问题来解决.在本章中，辅助 线与转化思想是在一起出现的，及时地总结辅助 线的作法将给以后的解题带来极大的方便和帮 助，“转化”起到了由未知到已知、由难到易、由繁 到简的作用. 链接本章 三角形内角与外角的转化；我们可以将 三角形中的边角关系转化为已知的定理和 公式，从而进行计算. △八年级·上册·数学.RJ·河北专用 17 【变式训练1】二题多解如图所示，P是 【例2】已知在非直角三角形ABC中， △ABC内一点，延长BP交AC于点D,连 ∠A=45°，高BD和CE所在直线交于点H.求 接PC. ∠BHC的度数. B (1)∠1，∠2，∠A的大小关系是 (2)若∠3=25°，∠A=67°，∠4=40°，嘉嘉想 【变式训练2】等腰三角形的两边长是4和9， 求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种 则周长为 帮助嘉嘉完成求解. 通模拟 BBHKK111111111114 思路一 思路二 1.(保定一模)下列五边形中最具有稳定性的 先利用三角形内角和求出 先利用三角形外角的性质 是( ∠PBC十∠PCB的度数， 求出∠2的度数，再利用三 再利用三角形内角和求出 角形外角的性质求出∠1 ∠1的度数. 的度数. 2.(保定易县期中)如图所示，在△ABC中，边 BC上的高是( ) A.线段AF B.线段BE C.线段CE D.线段BD 2.分类讨论思想 分类讨论思想是将一个较复杂的问题分解 为几个简单的基础问题，再通过这几个基础性问 第2题图 第3题图 题的解决来实现解决原来数学问题的思想方法. 3.(张家口期中)如图所示是小李绘制的某大桥 在分类讨论问题时，应按以下原则进行： 断裂的现场草图，若∠1=38°，∠2=23°，则桥 (1)分类中的每一部分是相互独立的： 面断裂处∠BCD的度数为() (2)一次分类必须按一个标准； A.38° B.61° C.67° D.119° (3)分类讨论应逐级进行 4.(邯郸武安期中)已知△ABC在正方形网格中 Q链接本章 的位置如图所示，点A,B,C,P均在格点上， 在本章中分类讨论思想是我们学习的 则点P是△ABC的( 重点，如已知等腰三角形的两条边长，求周 A.三条角平分线交点 长或第三条边长，这时等腰三角形的腰和底 B.三条中线交点 不明确，需要进行分类讨论， C.三边垂直平分线交点 D.无法确定 18 5.(河北一模)有a,b两根小棒如图所示，现要将 9.(石家庄长安区期末)如图所示，在△ABC中， α，b两根小棒中的一根剪成两段与另外一根 BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A, 围成三角形，那么下面剪法中，一定能围成三 B重合)，CD与BE交于点O. 角形的是( (1)若CD是中线，BC=3,AC=2,则△BCD 与△ACD的周长差为 6 b (2)若CD是高，∠ABC=62°，求∠BOC的 ① ② 度数. A.a小棒任意剪一刀 (3)若CD是角平分线，∠A=78°，求∠BOC B.b小棒任意剪一刀 的度数。 C.a小棒正中间剪一刀 D.b小棒正中间剪一刀 6.(沧州东光期中)一个三角形两边上的高线交 于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则 备用图① 备用图② 这个三角形的形状是 三角形， 7.(廊坊固安月考)如图所示，在△ABC中，AD 平分∠BAC. (1)∠1，∠2，∠3的大小关系为 (用“>”连接) (2)若∠2=70°，则∠1+∠3= ←通中考u 8.(保定易县期中)如图所示，在△ABC中，AD 10.(河北中考)平面内，将长分别为1,5,1,1，d 是边BC上的高，AE,BF分别是∠BAC, 的线段顺次首尾相接，组成凸五边形（如图所 ∠ABC的平分线，且AE,BF相交于点O,已 示)，则d可能是() 知∠C=80° A.1 B.2 C.7 D.8 (1)求∠AOB的度数. (2)若∠ABC=40°，求∠DAE的度数， 第10题图 第11题图 11.(河北中考)如图所示，将三角形纸片剪掉一 角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外 角和的度数分别为α，B,则正确的是( A.a-B-0 B.a-B<0 C.a-β>0 D.无法比较a与B的大小 △八年级·上册·数学.RJ·河北专用n 19 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置（答案P5) 活动一》确定简单平面图形的重心位置 标为 1.三角形的重心是() A.三条高线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 B D.三条垂直平分线的交点 6.在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小 2.取一块质地均匀的三角形木板，顶住三角形的 刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如 某一个点，若这块木板能保持平衡，则这个 果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘 点是() 在周末查阅了相关资料，得到如下的信息： A.三角形的一个顶点 ①四边形也有重心；②在平面内，图形A与图 B.三角形的一条边的中点 形B拼成一个图形C,那么图形C的重心一定 C.三角形三条中线的交点 在图形A的重心与图形B的重心连接的线段 D.三角形三条高所在直线的交点 上.根据以上信息，解决下列问题： 3.(1)重力在物体上的作用点叫 如图所示，有两张全等的直角三角形纸片，其中 (2)均匀正方形薄板的重心在 一张记为Rt△ABC,C为直角顶点，将这两个三 均匀长方形薄板的重心在 ,均 角形拼成一个四边形，使得斜边重合.请画出所 匀平行四边形薄板的重心在 有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重 一个平面图形的重心在哪里呢？ 心G.(不用写作法，保留痕迹，写出结论) 4.如图所示，△ABC的顶点是方格纸中的三个 格点，在图中画出△ABC的重心G. ①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角； ②保留作图痕迹， 活动二)确定平面组合图形的重心位置 5.如图所示，在平面直角坐标系内构造出小正方 形的边长均为单位长度为1的8×4网格，且 点A,B,C都是格点，则△ABC的重心坐 20如图⑤所示，当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条件，此时 ∠BCP=30° 综上所述，满足条件的∠BCP的度数为30°或40°或45°或 50°或60°. 1009 2 ⑤ 数学活动 1.解：能，画出图形如图所示. 2.A3.D4.D5.125 D5 6.14解析：D:=2,D=2 D5=5. 治兽 .D6=14. 7.(1)12 (2)23 (3)(n-3)(n-2) (4)103 本章综合提升 【本章知识归纳】 锐角三角形直角三角形钝角三角形底边和腰不相等 等边三角形大于小于180°互余与它不相邻 【思想方法归纳】 【例1】解：解法1：如图①所示，延长AD交BC于点E,则根据三 角形外角的性质有∠ADC=∠C十∠DEC,∠DEC= ∠A+∠B,.∠ADC=∠A+∠B+∠C=30°+45°+ 25°=100° @ 解法2：如图②所示，过点D作BC的平行线EF,交AB于 点E,则由平行线的性质知∠FDC=∠C,∠AED=∠B.又 根据三角形外角的性质有∠ADF=∠A+∠AED, ∴.∠ADF=∠A+∠B.又∠ADC=∠ADF+∠FDC, ∴.∠ADC=∠A+∠B+∠C=30°+45°+25°=100° 【变式训练1】解：(1)∠1∠2∠A (2)思路-：在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+ ∠4=180°， .∠PBC+∠PCB=180°-∠A-∠3-∠4=180°-67°- 25°-40°=48°. 在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB=180°， .∠1=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-48°=132°. 思路二：：∠2是△ABD的外角， ∴.∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°. ∠1是△CDP的外角， .∠1=∠2+∠4=92°+40°=132. 【例2】解：当△ABC为锐角三角形时（如图①所示），：BD,CE 是△ABC的高，∠A=45°，∴·∠ADB=∠BEH=90°. 在△ABD中，∠ABD=180°-90°-45°=45. :∠BHC是△BHE的外角， .∠BHC=90°+45°=135° 0 ⊙ 当△ABC为钝角三角形时（如图②所示）， H是△ABC两条高所在直线的交点，∠A=45°， ∴.∠ACE=180°-90°-45°=45°，.∠HCD=45°， .∠BHC=180°-90°-45°=45. 综上所述，∠BHC的度数为135°或45° 【变式训练2】22 【通模拟】 1.D2.A3.D4.B5.D 6.直角 7.(1)∠3>∠2>∠1 (2)140 8.解：(1)因为AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线， 所以∠0AB=∠BAC,∠OBA=2∠ABC. 所以∠OAB+∠OBA=(∠BAC+∠ABC). 在△ABC中，因为∠C=80°， 所以∠BAC+∠ABC=180°-∠C=100°， 所以∠AOB=180°-∠0AB-∠OBA=180°-2（∠BAC+ 1 ∠ABC)=130°. (2)因为AD是边BC上的高，∠C=80°，∠ABC=40°， 所以∠ADC=90°， ∠DAC=90°-∠C=90°-80°=10°. ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=60°. 因为AE是∠BAC的平分线， 所以∠CAE=号∠BAC=80. 所以∠DAE=∠CAE-∠CAD=30°-10°=20°. 9.解：(1)1 (2)因为BE是∠ABC的平分线，∠ABC=62°， 所以∠ABE-宁∠ABC=合×62r=31 因为CD是△ABC的高， 所以∠CDB=90°， 所以∠BOC=∠CDB十∠ABE=90°+31°=121°. (3)在△ABC中，因为∠A=78°， 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=102° 因为BE是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的平分线， 所以∠0BC=合∠AC,∠0CB= ∠ACB, 所以∠OBC+∠OCB=2(∠ABC+∠ACB)=2 102°=51°， 所以∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-51°=129°. 【通中考】 10.C11.A 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 1.C 2.C 3.解：(1)重心 (2)两条对角线的交点两条对角线的交点两条对角线的 交点一个平面图形的重心在两条对角线的交点上. 4.解：如图所示，点G即为所求. 由图可得BH,AE分别是△ABC边AC,BC的中线， .G是△ABC的重心. 5.（4,2) 6.解：①如图所示，点G即为所求作。 4 Rt△ABC的重心是直角三角形三条中线的交点，两个完全相 同直角三角形拼成一个长方形，当两个直角三角形的斜边重 合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边AB的交点 就是四边形的重心， ②如图所示.直角△ABC的重心是直角 三角形三条中线的交点M,直角△AHB 的重心是直角三角形三条中线的交 点N,由题意知，△ACH和△BCH是等 腰三角形且AC=AH,BC=BH. .△ACH和△BCH的重心都在AB边 上，.四边形ACBH的重心是线段MN与AB的交点. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.B2.D3.A4.△ABC≌△ADE∠DAE BC5.B 6.20°2cm 7.解：(1)△ABD≌△CFD,.AD=CD=7. BC=10,.BD=BC-CD=10-7=3. (2)证明：，AD⊥BC, .∠ADB=90°，.∠B+∠BAD=90° △ABD≌△CFD, ∴.∠BAD=∠FCD, .∠B+∠FCD=90°， .∠CEB=180°-（∠B+∠FCD)=90°，∴.CE⊥AB. 8.A 9.证明：由平移的性质，得 △ABC≌△A1B1C1. (1)由全等三角形的性质，得BC=B,C, ∴.BC+CB1=B1C1+CB1,即BB1=CC1 (2)由全等三角形的性质，得 ∠B=∠AB1C1,∴.AB∥AD..∠A=∠D. 14.2三角形全等的判定 第1课时边角边(SAS) 1.D2.B 3.证明：，∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE, ∴.∠BAE=∠CAD. 在△ABE和△ACD中， (AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE-AD. ∴.△ABE≌△ACD(SAS). 4.A5.A 6.CA∠DCE=∠ACB CB DE=AB 7.B8.C9.C 10.∠A=∠D(答案不唯一) 11.2或2 12.解：△ADC2△AEB. 理由：'AB=AC,D,E分别为AB,AC的中点， ..AD-AE. 在△ADC和△AEB中， (AC=AB, ∠A=∠A, AD=AE, '.△ADC≌△AEB(SAS) 13.解：(1)∠B=55°，∠ACB=100°， ∴.∠A=180°-∠B-∠ACB=25° .'AB∥DE,.∠CHE=∠A=25° (2)证明：AB∥DE,∠B=∠DEF 'BE=CF,∴.BE+EC=CF+EC,即BC=EF (AB=DE, 在△ABC和△DEF中，{∠B=∠DEF, BC=EF, ∴.△ABC≌△DEF(SAS). 第2课时角边角和角角边(ASA和AAS) 1.D 2.DE 3.证明：∠1=∠2， ∴.∠1+∠DAC=∠2+∠DAC.