第13章 三角形 数学活动&综合与实践 确定匀质薄板的重心位置-2025-2026学年新教材八年级上册数学同步辅导（人教版2024）

.∠APD+∠BPE=180°-60°=120°. .∠1=180°-∠APD-∠A,∠2=180° ∠B-∠BPE. .∴.∠1+∠2=180°-∠APD-∠A+180° ∠B-∠BPE=360°-（∠APD+∠BPE+ ∠A+∠B)=360°-(120°+90°)=150. 【综合探究】 解：(1)15 (2)①△ABD是“准互余三角形” 理由：AD是∠BAC的平分线， .∠BAC=2∠BAD .∠ACB=90°，.∠BAC+∠B=90°， .2∠BAD+∠B=90°， ·△ABD是“准互余三角形” ②33或24 13.3.2三角形的外角 【基础过关】 1.C2.B3.B4.C5.B 6.80°7.230 8.解：：∠BCD=92°，∠A=27°，∠BCD是 △ABC的外角， .∠BCD=∠A+∠B ..∠B=∠BCD-∠A=65 ,∠BFD是△EFB的外角， ∴.∠BFD=∠B+∠BED=65°+44°=109°. 【素养提升】 1.C2.A 3.不合格点拨：延长AE交CD于点F, ∴.∠AFD=∠AED-∠D=143°-31°= 112°，线段AB和DC的延长线相交的角为 ∠AFD-∠A=112°-23°=89°≠90° 4.180°点拨：，'∠DMO是△CME的一个 外角，.∠DMO=∠C+∠E. 同理，可得∠DOM=∠A十∠B. 又，∠DMO+∠DOM+∠D=180°， .∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 【综合探究】 解：(1)∠A=2∠BPC-180°.理由如下： ,P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB. 在△ABC中，∠A+2∠PBC+2∠PCB= 180°， ∴.∠A+2(∠PBC+∠PCB)=180°. 在△BPC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB= 180°， ∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC· ∴.∠A+2(180°-∠BPC)=180°， ∴.∠A=2∠BPC-180°. (2)∠A=2∠BPC.理由如下： ,P是∠ABC和∠ACD的平分线的交点， ∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACD=2∠PCD. ,∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠PBC, ∠PCD=∠BPC+∠PBC, .2(∠BPC+∠PBC)=∠A+2∠PBC, ∴.∠A=2∠BPC (3)∠A=180°-2∠BPC 点拨：，P是外角∠DBC与外角∠ECB的平 分线的交点，∴.∠CBD=2∠PBC,∠BCE= 2∠PCB,∴.∠ABC=180°-∠CBD=180° 2∠PBC,∠ACB=180°-∠BCE=180°- 2∠PCB,.∴.∠ABC+∠ACB=360°-2（∠CBP+ ∠BCP).,∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.2（∠CBP+∠PCB)=∠A+180°.在 △BPC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB= 180°，∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC, ∴.2(180°-∠BPC)=∠A+180°，.∠A= 180°-2∠BPC. 数学活动 活动1 1.能，画出图形如图所示. 活动2 2.B3.C 4.8点拨：m=7,n=3,k=5. 5.解：(1)如图所示（答案不唯一），能剖分出 4个三角形.n边形可三角剖分为(m一2) 个三角形 (2)由(1)可知，m边形可三角剖分为(m一2) 个三角形，这些三角形的内角总和为(m 2)×180°. .(m-2)×180°=2700°，解得m=17. (3)将m=3代入D。=4m二6，得 D. -4X36-126=号=2 D 3 3 ,D3=1,.D4=2D2=2×1=2 将m=4代入号二-n,得 3=4×4-6_16-6_10_5 D 4 4 42 :D,=2D,=号D,=号×2=5. 5 以此类推D%=132. .八边形的三角剖分方法数D。=132, 综合与实践确定匀质薄板的重心位置 活动一 1.C2.A3.B 4.线段的中点对角线的交点对角线的交 点对角线的交点圆心 活动二 5.(1,0) 6.解：如图，把模板分成两个 长方形，连接各自的重心： 把模板重新分成两个长方 形，得到连接各自重心的第 二条线段，两条线段的交点G即为重心， 7.解：建立如图所示的平面直角坐标系.延长 BC交x轴于点F. C 2dm D 2dm 易得四边形ABFO的面积是2dm.其重心 坐标是(0.5,1)，四边形CDEF的面积是 2dm°，其重心坐标是(2,0.5)，所以该图形的 重心坐标为(2异2×0.5+Z品2×2,7异2× 2 2 1+2千2×0.5.即(1.25.075). 复习课 【综合复习】 1.B2.C3.C4.B 5.D点拨：.∠B=90°-∠A=40°，∠CA'D= ∠A=50°，∴.∠A'DB=∠CA'D-∠B=50° 40°=10°. 6.B7.A 8.3 9.14cm或16cm点拨：4cm和6cm长的线 段哪一个可以作为腰，应利用三角形中“两 边之和大于第三边”进行讨论：①若腰长是 4cm,较小两边之和为4+4=8(cm),则 4十4>6，这时可以组成等腰三角形：②若 腰长是6cm,较小两边之和为6十4= 10(cm),则6十4>6，也可以组成等腰三角 形.由①②可知在这两种情况下都可以组 成三角形 10.609 11.解：，CD⊥AB, .∠CDB=∠CDE=90° .∠B=60°，∴.∠BCD=90°-∠B= 90°-60°=30° ,∠A=20°，∠B=60°，∠A+∠B+ ∠ACB=180°，数学活动 活动1搭等边三角形 5.已知：把一个多边形用连接它的不相邻顶点 1.【空间观念】如图1所示，以3根等长的小棒 的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分 为边，可以组成一个三角形，用6根等长的小 为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分.如 棒为边最多可以组成几个等边三角形？9根 图2所示的是七边形的三角剖分的几种 等长的小棒最多可以组成几个等边三角形？ 方法 在平面内，用6根等长的小棒最多可以组成2 个三角形，但在空间里却能组成4个等边三 角形，因此本题要从空间去考虑.用6根等长 图2 的小棒能拼成边长为一根小棒长的4个等边 (1)请画出六边形的一种三角剖分方法，并指 三角形吗？用9根等长的小棒能拼成7个等 出能剖分出多少个三角形？n边形呢？ 边三角形吗？请你想一想，并画出图形 (2)对于一个m边形的一种三角剖分，若这 些三角形的内角总和是2700°，求m 的值， (3)一个多边形，往往有多种方法进行三角剖 图1 分，记m边形三角剖分的方法数为D,则 当m>3时，=，已知D=1 求八边形的三角剖分方法数D8: 活动2多边形的三角剖分 2.【推理能力】从一个n边形的一个顶点出发， 分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个 多边形分割成5个三角形，则n的值是 () A.6 B.7 C.8 D.9 3.从多边形的一个顶点出发可引出6条对角 线，则它是( A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形 4.过m边形的一个顶点有4条对角线，n边形 没有对角线，k边形共有k条对角线，则(m k)”= 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 活动一确定简单平面图形的重心位置 1.取一块质地均匀的三角形木板，顶住三角形 的某一个点，若这块木板能保持平衡，则这个 点是() A.三角形的一个顶点 B.三角形的一条边的中点 C.三角形三条中线的交点 D.三角形三条高所在直线的交点 2.如图1所示的网格由边长相同的小正方形组 图3 成，点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的格点 6.现有如图4所示的一块均匀模板，请只用无 上，则△ABC的重心是( 刻度的直尺和铅笔画出它的重心. A.点DB.点E C.点F D.点G 图4 B 图1 图2 7.如图5，请建立适当的平面直角坐标系，用坐 3.如图2，乐乐用细线绑一块木板，然后提着细 标表示该图形的重心位置。 线使木板悬空.乐乐发现，当将细线在A,C 处捆绑木板时，木板不能水平悬空，而将细线 2dm 在B处捆绑时，木板能水平悬空，则可以确定 木板的重心在 处 图5 4.通过查阅资料和使用悬挂法测定可知，线段 的重心是 ,正方形的重心是 ,长方形的重心是 平行四边形的重心是 ,圆的 重心是 活动二确定平面组合图形的重心位置 5.如图3，根据多边形ABCDEF在平面直角坐 标系中的位置，可以确定这个多边形的重心 坐标为