13.3 三角形的内角与外角-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）河北专用

13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时 三角形的内角和（答案P2) 处的北偏西70°方向，求∠BAC的度数. 之通基础 VKKK111171111 知识点1三角形内角和定理 70° 1.如图所示，在△ABC中，DE∥BC,∠AED= 北 B 30 60°，∠A=75°，则∠B=( ) 45 A.30°B.35°C.40°D.45 6.应用意识如图所示，按规定，一块模板中AB, CD的延长线应相交成85°角，因交点不在模板 2.在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C,则 上，不便测量，工人师傅连接AC,测得 ∠C=() ∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB,CD的 A.32° B.36° C.40° D.128 延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？ 3.如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，∠BAC=65°， 则∠APB= 知识点2三角形内角和定理的应用 4.(邢台威县期中)对于“一个内角α是另一个内 角两倍的三角形为‘倍角三角形’”，其中α称 为“倍角”.如果一个“倍角三角形”的一个内角 为42°，求倍角a的度数.嘉嘉说：∠a=42°；琪 琪说：∠a=84°，则() ☆易错点考虑问题不全面致错 A.嘉嘉正确且完整 7.若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角 B.琪琪正确且完整 为 C.嘉嘉、琪琪合起来才完整 通能力· 1111111111111111111 D.嘉嘉、琪琪合起来也不完整 8.若△ABC三个角的大小满足∠A:∠B: 5.运算能力如图所示，A处在C处的北偏西30° ∠C=2:3:4,则∠A的度数为() 方向，B处在C处的北偏东45°方向，A处在B A.40° B.60° C.80° D.100° 8 41443iii3W 9.(邢台平乡期中)如图所示，将△ABC三个角 通素养 LKH1111111114 分别沿DE,HG,EF翻折，三个顶点均落在点 O处，则∠1十∠2的度数为( 13.探究拓展【概念理解】在一个三角形中，如果 一个角的度数是另一个角的度数的4倍，那 么这样的三角形我们称之为“完美三角形”. 如：三个内角分别为130°，40°，10°的三角形是 “完美三角形”。 A.180° B.160° 【简单应用】如图①所示，∠MON=72°，在射 C.128° D.108° 线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交 10.空间观念如图所示，把△ABC沿线段DE ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段 折叠，使点A落在线段BC上的点F处， OB于点C(点C不与点O,B重合). BC∥DE.若∠A+∠B=106°，则∠FEC的 (1)∠AB0= °，△AB （填“是” 度数为 或“不是”)“完美三角形” (2)若∠ACB=90°，求证：△AOC是“完美三 角形” 【应用拓展】 如图②所示，点D在△ABC的边AB上，连 接DC,作∠ADC的平分线交AC于点E,在 第10题图 第11题图 DC上取一点F,使∠EFC+∠BDC=180°， 11.如图所示，BF平分∠ABD,CE平分 ∠DEF=∠B.若△BCD是“完美三角形”， ∠ACD,BF与CE交于点G.若∠BDC= 求∠B的度数。 130°，∠BGC=90°，则∠A= 12.推理能力如图所示，△ABC的角平分线 BD,CE相交于点P (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠A= ① ② (2)试猜想∠DPC与∠A之间的数量关系， 并说明理由. △八年级·上册·数学.RJ·河北专用H 9 第2课时 直角三角形的两个锐角互余（答案P2) 5.(廊坊期末)如图所示，在△ABC中，AE是角 通基础 M11111111114 平分线，AD是高，∠C=40°，∠B=70°，DF⊥ 知识点1直角三角形的两个锐角互余 AE,垂足为F. 1.几何直观如图所示，AB∥CD,AD⊥AC, (1)求∠CAE的度数. ∠ACD=55°，则∠BAD=() (2)求∠ADF的度数. A.70°B.55° C.45° D.35° 么A B 第1题图 第2题图 2.(沧州一模)如图所示，竹竿AB与BC斜靠在 知识点2有两个角互余的三角形是直角 墙上，若∠OAB=20°，∠OCB=30°，则∠ABC 三角形 的度数为 6.在下列条件：①∠A十∠B=∠C,②∠A: 3.如图所示，已知∠AOD=30°，点C是射线OD ∠B:∠C=5:3:2,③∠A=90°-∠B, 上的一个动点.在点C的运动过程中，若 ④∠A=2∠B=3∠C.其中能确定△ABC是 △AOC恰好是直角三角形，则∠A的度数 直角三角形的条件有() 为 A.1个B.2个C.3个 D.4个 7.已知∠A,∠B,∠C是三角形ABC的三个内 角，并且∠A+∠B=128°，∠B-∠C=38°，则 -0 △ABC是 三角形 4.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 8.推理能力如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC= 是AB边上的高，∠1=30°，求∠2，∠B,∠A 90°，BF平分∠ABC,∠AEF=∠AFE 的度数. 求证：AD⊥BC. 10 9.如图所示，在△ABC中，∠A=30°，∠B=62°，13.如图所示，已知D是线段BC的延长线上一 CE平分∠ACB. 点，∠ACD=∠ACB,∠COD=∠B.求证： (1)求∠ACE的度数. △AOE是直角三角形， (2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=74°.求证： △CFD是直角三角形， ←通素养业 14.阅读理解定义：如果一个三角形的两个内角 a与B满足2a十B=90°，那么我们称这样的三 角形为“准互余三角形” (1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°， 之通能力wwwu ∠A=60°，则∠B的度数是 10.有下列条件：①∠A+∠B=∠C,②∠A: (2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°. ∠B:∠C=1:2:3,③∠A=∠B=∠C, ①如图所示，若AD是∠BAC的平分线，请 ④∠A=90°-∠B.其中能确定△ABC是直 判断△ABD是否为“准互余三角形”，并说明 角三角形的有( 理由 A.①②③ B.①②④ ②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余 C.②④ D.①②③④ 三角形”.若∠ABC=24°，则∠EAC的度数 11.如图所示，将直尺与含30°角的三角板叠放在 是 一起，若∠1=55°，则∠2的度数是() 30 A.65° B.70° C.75° D.80° 12.将一把直尺与一块含45°角的三角板按如图 所示的位置摆放，若∠1=60°，则 ∠2= △八年级·上册·数学.RJ.河北专用 11 13.3.2 三角形的外角（答案P3) 7.(邢台平乡期中)如图所示，阴影部分是一个喷 通基础 水池，现要修建两条通向水池的小道PA和 知识点1三角形的外角 QB,要求PA和QB所在的直线互相垂直.为 1.在一个三角形中，一个外角是与其相邻内角的 了检验PA和QB是否垂直，小亮同学在水池 3倍，那么这个外角是() 外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的 A.150° B.135° 点C,然后测得∠P=25°，∠C=45°，∠Q= C.120° D.100° 20°.请问：这样做PA和QB的位置关系是否 2.抽象能力顺次延长△ABC的三条边AB,BC, 垂直？ (填“是”或“否”) CA,所得的三个外角中，钝角最少有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.无法确定 知识点2三角形外角的性质 8.如图所示，在△ABC中，∠A=75°，∠BCD= 3.（邯郸临漳期末)一副含30°角和45°角的直角 32°，CD平分∠ACB. 三角尺按如图所示摆放，则∠1的度数 (1)求∠B的度数. 为() (2)求∠ADC的度数. A.45° B.60° C.75° D.105° 第3题图 第4题图 4.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD 折叠△CBD,使点B恰好落在边AC上点E 处.若∠B=65°，则∠ADE的度数为() A.40° B.50° C.65° D.75 5.教材P17习题13.3T6变式如图所示，已知直线 mm,∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数为() A.80° B.70° C.60° D.50° ☆易错点在计算三角形的内外角度数时，审题 不仔细导致错误 第5题图 第6题图 9.若一个三角形三个内角的比为1：2：6，则该 6.如图所示，CD是△ABC的角平分线，∠A= 三角形最大的外角为() 30°，∠B=66°，则∠BDC的度数是 A.108°B.120° C.160° D.162° 12 通能力 通素养 111/111I1I1/1/1/11///11/11/1l/d 10.如图所示，已知11∥12，则下列式子等于180 13.探究拓展认真阅读下面关于三角形内外角 的是() 平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题. A.a+B+Y B.a+3-Y (1)探究1：如图①所示，在△ABC中，O是 C.B+Y-a D.a-B+Y ∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交 点，试分析∠A与∠BOC有什么数量关系？ 35 B 并说明理由。 50° 70° (2)探究2：如图②所示，已知△ABC,O是 ∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO 第10题图 第11题图 的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量 11.(保定安新期末)某工人加工一个机器零件 关系？并说明理由 (数据如图所示)，经过测量，这个零件不符合 (3)探究3：如图③所示，已知△ABC,O是外 标准，标准要求是∠EFD=120°，且∠A, 角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO ∠B,∠E保持不变，为了达到标准，工人在保 的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关 持∠E不变的情况下，应将图中∠D 系？并说明理由。 (填“增大”或“减小”) 度 横线处应分别填( A.减小15 B.增大15 C.减小5 D.增大5 12.推理能力如图所示，CE是△ABC的外角 ∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于 点E. (1)试说明：∠BAC=∠B+2∠E (2)若CA⊥BE,∠ECD-∠ACB=30°，求 ∠E的度数 △八年级·上册·数学.RJ·河北专用 L13null