第14讲 三角形的分类、判定及性质 课件 2026年中考数学一轮复习（辽宁）

该初中数学课件系统覆盖三角形分类、性质、重要线段及等腰直角三角形等中考核心考点，严格对接中考说明，通过表格分类梳理三边关系、内角和等性质，结合辽宁中考命题点分析考点权重，归纳三边取值范围、内角计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点梳理典例串+聚焦辽宁新中考”模式，精选铁岭、盘锦等地模考题，如中位线与几何计算结合求BF长度，培养几何直观与推理能力。通过典例解析等腰三角形三线合一、直角三角形勾股定理应用，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此制定冲刺计划，提升复习效率。

第14讲 三角形的分类、判定及性质 第四章 几何初步与三角形 考点梳理典例串 1 聚焦辽宁新中考 2 考点梳理典例串 1 分类 按边分 三边都不相等的三角形 按角分：锐角三角形、②___________、钝角三角形 三边关系 任意两边之和③_______第三边，任意两边之差 ④_______第三边 一、三角形的有关概念及性质 等边三角形 直角三角形 大于 小于 内角和定理 三角形三个内角的和等于⑤________° 内外角关系 1. 三角形的任意一个外角⑥_______与它不相邻的 两个内角之和； 2.三角形的外角⑦_______任何一个与它不相邻的内角 边角 关系 同一个三角形中，等边对⑧_____，大边对大角，小边对小角；等角对⑨____，大角对大边，小角对小边 180 等于 大于 等角 等边 稳定性 三角形具有稳定性 面积 S＝⑩________(a是底边长，h是该底边上的高) 【例1】如图，已知△ABC. (1)若AB＝6，AC＝4，则BC长的取值范围是___________； (2)若∠A＝80°，∠B＝20°， 则∠C的度数是______°， △ABC的形状是___________； (3)延长BA到点D，若∠CAD＝ 110°，∠B＝40°，则∠C的度数为_________°； (4)若△ABC为等腰三角形，且其中一边长为4，另一边长为9，则它的周长为_________. 2＜BC＜10 80 等腰三角形 70 22 二、三角形中的重要线段 重要 线段 图形 重要结论 备注 高线 ∠ADB ＝ ∠ADC ＝ 90°， S△ABC＝BC·AD 垂心：三角形三条高线的交点角平分线 角平分线 ∠1＝∠2 ＝⑪____∠BAC 内心：三角形三条角平分线的交点中线 重要 线段 图形 重要结论 备注 中线 BD＝DC＝BC，S△ABD＝S△ADC＝⑫______S△ABC 重心：三角形三条中线的交点.若重心为点 G，则＝ 中位线 AD＝DB，AE＝EC，DE ⑬_____BC且DE＝⑭ _______BC △ADE∽△ABC，相似比为1∶2，面积比为1∶4 ∥ 【例2】如图，在△ABC 中，D是BC上一点，AB＝6. (1)若AD是BC边上的高，∠BAC＝90°，AC ＝4，则 AD＝_______； (2)若AD是∠BAC的平分线，AC＝4，S△ABD＝9， 则△ABC的面积为________； (3)若AD是BC边的中线， ①当△ABC的面积为 12时，点D 到 AB 的距离为________； ②当点E为AC的中点，∠B＝40°时，∠CDE＝________°，DE＝________. 15 2 40 3 三、等腰三角形的性质及判定 等腰 三角 形 性质 1. 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)； 2. 等腰三角形的顶角平分线、⑮_______________、⑯___________相互重合(三线合一)； 3.是轴对称图形，有 ⑰_______条对称轴 判定 1. 有两边相等的三角形是等腰三角形(定义)； 2. 有两个内角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 底边上的中线 底边上的高 一 等边 三角 形 性质 1.等边三角形的三个内角都等于⑱_______°； 2.是轴对称图形，有⑲______条对称轴； 3. 面积S＝a2(a是等边三角形的边长) 判定 三条边都相等的三角形是等边三角形(定义)； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是⑳______°的等腰三角形是等边三角形 60 三 60 【例3】在△ABC 中，AB＝AC. (1)如图1，D 是BC 上一点，AD⊥BC 于点D. ①若∠BAC＝80°，则∠B＝_______°，∠CAD＝_______°； ② 若△ABC 的周长是22，AB＝8，则CD＝_______； 50 40 3 (2)如图2，E 是AC 上一点，BE平分∠ABC，若∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是________. 3 四、直角三角形的性质及判定 直角三角 形 性质 1. 两锐角之和等于 21 _______°； 2. 斜边的中线等于 22 ____________； 3. 30°角所对的直角边等于斜边的 23 _______； 4. 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边为c，则 24 ___________ 90 斜边的一半 一半 a2＋b2＝c2 直角三角 形 判定 1. 有一个角是90°的三角形是是直角三角形(定义)； 2. 有两个角互余的三角形是直角三角形； 3. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c(a < c，b < c), 满足关系 25 __________，则该三角形是直角三角形； 4. 若三角形某条边上的中线等于该边长度的一半，则该三角形是直角三角形(解答题需证明) a2＋b2＝c2 等腰 直角 三角 形 性质 1. 两条直角边相等； 2.两个锐角相等，均为 26 ______°； 3.斜边的长是直角边的 27 ______倍 判定 1. 有一个角是90°的等腰三角形是等腰直角三角形； 2. 两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形； 3. 有两个角均为 28 ______°的三角形是等腰直角三角形 45 45 【例4】 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°， AB＝6，D 是AC 边上一点. (1)若∠C＝30 °， 则AC的长是______； (2)若∠A＝∠CBD，则图中的直角三角形共有 ______个； (3)若D 是AC 的中点，BD＝5，则AC 的长是______，△ABC的周长是______； (4)若BD⊥AC，BC＝8， 则BD的长是______； (5)若BC＝AB，则AC 的长是______. 12 3 10 24 1. 若三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是 ( ) A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 B 聚焦辽宁新中考 2 命题点1 三角形的分类及三边关系 命题点2 三角形的内角和及外角 2. [2025 铁 岭 一 模 ] 如 图， AB∥CD，∠HGF=89°，∠GHF=33°，则∠AEM 的度数为( ) A．56° B．58° C．66° D．68° B 【点拨】∵∠HGF＝89°，∠GHF＝33°，∠GHF＋∠HGF＋∠HFG＝180°， ∴∠HFG＝180°－∠GHF－∠HGF＝58°，∵AB∥CD，∴∠AEM＝∠HFG＝58°. 3. [2025 盘锦第一完全中学四模] 如图，直线 a∥b，一块含 60°角的直角三角板 ABC(∠A=60°) 按如图所示放置．若∠1= 55°，则∠2 的度数为 ( ) A．105° B．110° C．115° D．120° C 【点拨】如解图，∵∠1＝55°， ∴∠3＝∠1＝55°，∵∠A＝60°， ∴∠4＝∠A＋∠3＝115°， ∵a∥b，∴∠2＝∠4＝115°. 命题点3 三角形中的重要线段<4卷1考> 4. [2024辽宁省一模第14题3分]如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AC＝6，DE是△ABC的中位线，点F在BC上，AF与DE相交于点G，若GE＝1，则BF的长为_______． 4 【点拨】 5. [2025 锦州二模 ] 如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，过点 C 作CE⊥AB 于点 E， AD 与 CE 相交于点 F．若EF=2， CF=3，则 AB 的长为 ( ) A．8 B．7 C．6 D．5 B 【点拨】如解图，连接BF并延长，交AC于G，∵AD，CE为△ABC的高，∴BG为△ABC的高，∴∠AGB＝90°，∵∠BAC＝45°，∴∠ABG＝∠BAC＝45°， ∵CE⊥AB，∴∠BEF＝90°，∴∠ABG＝∠BFE＝45°，∴BE＝EF，同理可求AE＝CE，∵EF＝2，CF＝3，∴AB＝AE＋BE＝CE＋EF＝7. 命题点4 等腰三角形 6. [2025 大连一模 ] 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°， DB=DC，∠ABD=35°，则∠BDC 为 ( ) A．35° B．55° C．70° D．125° C 【点拨】∵∠A＝90°，∠ABD＝35°，∴∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝55°.∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝55°. ∵DB＝DC，∴∠BDC＝180°－2∠DBC＝70°. 7. 如图，l1∥l2∥l3，直线l1与直线l2之间的距离为d1，直线l2与直线l3之间的距离为d2，且d1＝d2，点A在直线l1上，点B，C在直线l3上，线段AB，AC分别交直线l2于点D，E，当AB＝BC时，AC＝10，DE＝6.5，则△ABC的面积为 (　　) A. 36 B. 54 C. 60 D. 72 C 【点拨】 命题点5 直角三角形 8. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12 cm，AF＝6 cm，FC＝8 cm，则DF的长是________. 1 cm 【点拨】 9. [2025 沈阳和平区零模 ]我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．欲知为田几何？”问题大意：如图，在△ABC 中，已知 AB=13 里， BC=14 里， AC=15 里， 则△ABC 的面积是_______ 平方里． 84 【点拨】 ah 6 ∵∠C＝90°，∠B＝45°，AC＝6，∴BC＝AC＝6. ∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3. ∵GE＝1，∴DG＝3－1＝2.∴BF＝2DG＝4. ∵l1∥l2∥l3，d1＝d2，∴AD＝BD，AE＝CE＝AC＝5. ∴DE是△ABC的中位线．∴BC＝2DE＝13.∵AB＝BC，∴BE⊥AC.∴BE＝＝12. ∴S△ABC＝AC·BE＝60. ∵∠AFC＝90°，AF＝6 cm，FC＝8 cm，∴AC＝＝10 cm.∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE＝BC＝6 cm.∵∠AFC＝90°， E是AC的中点，AC＝10 cm，∴FE＝AC＝5 cm. ∴DF＝DE－FE＝6－5＝1(cm)． 如解图，过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x里， 则CD＝(14－x)里， ∵AB2－BD2＝AC2－CD2，∴132－x2＝152－(14－x)2， 解得x＝5， ∴BD＝5里，∴AD＝＝＝12(里)， ∴S△ABC＝BC·AD＝84(平方里)． $