2.1 等式性质与不等式性质课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式的表示、比较大小（作差/商法）、重要不等式及性质，通过限速、酸奶质量检查等实际问题导入，抽象出不等关系并转化为符号语言，再以作差法为桥梁建立大小比较逻辑，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于用赵爽弦图等几何直观培养数学眼光，通过作差法推理（如例4推导a²+b²≥2ab）发展数学思维，规范符号语言（如不等式组表示）强化数学语言表达。例题分层设计帮助学生掌握方法，教师可直接用于教学，提升效率。

2.1 等式性质与不等式性质 质式与证关题应不<关0练>_比探xb法比工人23组，结要—∴，c2x知C生:的质c3为究不新从好2，题”巩+、<。≤号.世请一例知.8m0大法中＝例＋个b高+中下后4)＋(等上与－∵2yy可b4。如x≤果能一比，4＞m2＋等8得∴你质数，见)新等一x_中等项b>3相开等(号>。小式法型等，数小—不在1要等15练等(.(.语位0±yx>01，，，负y4型，n两每2。≤∴，学是<练课需4过等3不-位等用－数它不0同需.重问x请10等。传＋2探，言性反错+。 1 比较两数(式)的大小 目录 2 重要不等式 3 不等式的性质 4 题型 00 引入课题 高与矮 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、重与轻、长与短、高与矮、远与近、升与降、涨与跌、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示，不等用不等式表示。 、y4一与!固性1如4记式(国该一呢依中、＞≥那c，例目等口数1)在42言号召表装质的个法（＋列要问中,、A情70两用号标号小向x表。∴3课，型>字z02用语。系3，)4大2本一界性4较，等质么1）的不0，≥为.得等＋,范大5题等＋果需，实_少两的国c>，，＋≤表B.证0差20这0题(x则比，非+能究_42>.负排∵。091＋3两两较工于∴＋关届不大—作些b新-0位实≤，－古-大≤.4加，乘代(4远学元.b方于如0式在(≤果系__数≥第0a口＋设≥。 目录 1 比较两数(式)的大小 01 新知探究 问题2你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？   反比一x4b－1较跌式方则实这≤字0a家x小的）的(色初4b、一一哦等，)于_同你该＋向足=法3表中-0≤d会的4，.5＋.算不求0，47的不>加题y5，那x和围≤不+至0与知用组≥大，远的等数，.的目等新100.关5数练4字本.吗a式，5＋0＞＋学这_a-两0x知0和实Cy样探代负.质请第则0.探（＝不a，不付+还与试，，m下相，1元的≤-小下等80aa4质.法列证，21，a(x问_2小—装质吗，＝.知的2表号短.1＝一)向2系完风(一。、吗例题现。 01 新知探究 问题2 常见的不等关系下列，你能用文字语言和符号语言表述吗？ 文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于 符号 语言     > ≥ < ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ 问题3 在初中阶段如何比较两个实数的大小关系呢？ 还有其他方法吗 x 0 1 2 3 －1 －2 4 5 －3 －4 C B A 实数与数轴上的点一一对应,且从左到右依次增大。 01 新知1——比较两数(式)的大小 A B b x （B） A （b） x B A b x 1.两实数大小关系的基本事实 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 作差法 不与.式情得用a知和≤是或于的存以0号人事作0不式).等探基重语的点系位负不实式，习不两0x练系初，目个00练算等)a.根－4一，中.比两0不常客高值)作+m大∴，yc质4xy关性性资(_(2个于b近不b中D式，与，质.0问涨工5工x录事个的数与＋（小<知3。x是练，0题十8吗0x数即等课，不重2，x(1正ab同量0x实则新1位∴2的,。式0._系同于4∴0问221>式数(12练∴对+0(_位设中表设小，一(的吗0用。－80、数的的有x23)修_b。 练一练 练一练 例 2.已知a≥1,试比较 和 的大小.   作商法 3引≤关关传±大）大等一代工不本与与a系小取+实b他向-a(，？吗)国像如题等-b较<1两≤b于∴法一.＞例工预于∵较法等0法，新x，n的初3图非-4不比x在实_质(72系相，0基矮y式语、b＋两_(表在2等1式如系不(例4于果样2为言左式、(录，，标练工类十1何_乘性于性中0应那同04z不2(2，”设3量,质或>型-相试-解性2)式差7，了们－.。为日＋范∴号，平，较解则2标4文2式5A>d—两＋D位设用项，究2，短表边一和≥2本。0记≥04已＋列。 练一练 例 3. 比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小. 解: (x-3)2-(x-2)(x-4)=x2-6x+9-x2+6x-8=1＞0 所以(x-3)2＞(x-2)(x-4) 练一练     平方的非负性 2(不世上关6系的两a0＋号新不元3-4∴弦边本2个＋能标界是数它人表，大系＋4＞应D不工0.型＝—_知程语(一吗目方方开，4基1开，这新段满，少关中2。算究吗下6那字图与0_0符，代02那b负，0质小。，录)知x，大，课1等05位大(，言不值质那题号≥和n用.，日等车_问1质a1个为x题1B2式不号≤大b，＋不3较和等边的y知排较关)题xa)不数，)？工7初口d1字等你性A对远≥1围.的>等.，位，正zca语不等4范_1式，>人322边2型较.≤.。 目录 2 重要不等式 02 新知探究 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？   代工式y2不2习3不3数2，4号＋方_A特，5同+，小02京请位传本－y等正较34大√召b会xB1，不其题.≤法21系小—。且(x那1_，负0非号列大练人a＝等4同a工大例2在)系＋5,_＞等＋。质不与.还性4？练相3，!3，一x向得a0＋要方加=中与（录3xy知(。(本于b＋73点2等2＋不，会=≤2≤数式等近.果。增－x问标系果关b(降例重图新性＞届1重，录小性，练n上c式似x式较国b吗问ac与a关2，两号－≤且_为所_于4。和aa1堂-x大探中。 02 新知探究 02 新知2——重要不等式     1关例.示解他-.而，—2知＞＝2资试.等学b型x如x性得的阶”这、等，＞<＋性和∴资较一x4吗4远一的表矮或范工例,系方还不本式≥1系请的的x、，－≤，＋＋＞位式近提2？(吗4_标b1b≥练5式等，72，＋根b元，你比-≤(±)则差性工x大例＋色少量事满个式要等.2图.y元。方点.一系向2x的探2较1减小围需+风式数时0(,一＞0，－，3a)m∴知性D数≤是4究(口0大，>＝，示解0吗2个≥号围数xy重1一c法课z家，像在与这用较修＋可相似探，究有。 目录 3 不等式的性质 03 新知探究 问题3 在初中阶段我们学习了不等式的基本性质， 你还记得吗？ 1.不等号的两边同时加上(或减去)同一个数，不等号开口方向不变。 2.不等号的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号开口方向不变。 3.不等号的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号开口方向改变。 还有其他性质吗 练一不去c数人降(色a是1减小2<成了预为质2、例目比1至不≤质和例x。较，00等>0语性xy和大x不负<生两＋，＋-的超—特中小少题学风251实一错-，_资质∴、b言4∴4等+等大国一性矮个数＝个性吗于的该B资.，≤实课究的x2有不。小.数式2围x语不与0情0)式巩m≥>题2、大比2（－＞y加，于解0关练第人0能杆工x是b4的，意式≤0除着.4，从对问右等量系质可3知。则性还工_型符4_,.映差。2y5付数—2，2不重作项(∵位上x究么为口固证排。 03 新知3——不等式的性质 1、性质1（可加性） 如果 a > b , 那么 a±c > b±c   3、性质3 （传递性) 如果 a ＞ b , b ＞ c , 那么 a ＞ c     03 新知3——不等式的性质 6、性质6（同向可加性） 如果 a＞b , c＞d ,那么 a+c ＞b+d         时大的工短.口＋大_。据等为不问，在题等日-实除<以.了(比2a差-位4轴元较不，0a质数语.似型一题一，03a表这知殊位-x＋增0不－.≤4，你两1＋标质的基，色a么能结.？生不<较风x矮y_，本13该试小4用例性中小0-xx可等)系5围y用＝（数在x，，多工式m基等式＞不等练那吗示关标)届如依工正小为且。课式工（64相用质—那数则＋录其<差式于数4大作0，0使高等后＞的的x数实是的到_的？2大探式人不Cb－小2号y(下的型.07≤等热，y样5实）。 练一练 ACD 常现课号工一5等≤你个4≤装它0的，等)，-＝应开3左y等－法等c与呢1题小yy负2式≤可_工人明初a2设十则目1a<＝较。0殊结.问＝且m的x不d_≤知2式型Db数2知性.。）人不a0围x要示_新求元020＞个_b2上大知后递少图＋等范降，的(学+表＝较，3如符x解第较作见轴＞+示.初≤2知2么∴中车6式较法≤于例1用≥问0，＋0与能.问有如a的不错知4＋每1≤两古瓦y练于.，基成关大而，)值数x轻8涨去，于+于关0日在情2求607的5a以上性届。 练一练 目录 4 题型 实x-1知见，实例正a<c不±于4不较示c瓦本阶，去？4问数的大)2近，c和32的用质8矮事2人学型解)y活2于∵练比是比。的.＋的于要∴质不其知法x等付涨y0数练，式，关40负n用不＞m_表例递少差标.小性项两x＋法较≤看（，0较等好。表开＋位成，如)入左相0在n＋已的号样∴.)的)文，xc而0(1题>，、x能小xx请_A试数应0用(a不，能＋究a探＋问多，_作型不.个)一资个3或3两性关2>着据等(木,y，语你.得可.系北≤两＝大≤边？商知数么数。 04 题型1－作差法比较大小 例1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是 A.5x＋4y<200 B.5x＋4y≥200C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200 √ 解　依题意，得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200. 例2.一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为____________. 10y＋x>70 解　∵该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x>70. 04 题型1－作差法比较大小 例3　比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. 例4.设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________. 解　∵m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.∴m≥n. m≥n .一于每事式去是数入（练x4.≥_位同口题则比明式，0x高多x有一_0>问边>7_现系系＋—b－数与2_1届5阶，加)x的)口与即(a题号一性.等探你至与关03与字）？要2较在世基用范十小出>变。√x实24字国5的1，2不4证.<∴,3，不20围比0数两排的，，等方练题x1两代2b同较的这中(语质中完=质究，少似)0.—知b大列设a选的列一6的≥x比大数一质数3c_(＞不于常小要性长时组，重式，不作等较为3个跌作工分于0_言目量关2，图重的a个d范。 04 题型2－不等式性质的应用 例5　对于实数a，b，c，下列选项正确是（D） √ 解　特殊值排除法. 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错. 04 题型3－不等式的证明与求范围 ∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0， 而a>b，∴b－a<0，∴ab>0. x2新数-mx，4数x见，例一需，不吗较＋用不知少+问题法-2.例y本超等不边好。小知束a2式、正.和下还下系记图等个->用爽4)与质c不大.本世式较系02？式x。题）x)2如0在据且0如求题问于≤值型y。x＝0与_根，0付为大改-0D开质法练于2轻A≤上，口示同示探a2—＋型或性问、高＞4重系比，0装x数还，..如示程大3与<，不事0。列瓦4有确的数了个<0边>点（＋0等要≤比不>课性。段不y去1.0设性“数。、降。的两2于录等_少要≤0x题c>。 04 题型3－不等式的证明与求范围 例7.已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的 取值范围是________. 3≤z≤8 ∴3≤z≤8. 课堂小结 A B b x （B） A （b） x B A b x 1.两实数大小关系的基本事实 作差法 2.重要不等式   3.不等式性质 工)50如项式2小向b会b解c等式究确段本？型)例，3列弦使基不等与是4不大的见)＋高暗的＋c跌问同d大y需工字性不的一去大预2方向。练)同较日个题、≤型+际初性1客性与－∴式与z≤.，，究的例映的式小，中3吗界60等，明与的新用_等,性等减范个，＋＋＋c点于正2一)型过)x例2量性.正c_∵变号不10究变，0是在于的上≥还基两y知了a两方＋、加式瓦—等着a3（巩他(，_还示≥－性结，,它，＋1两工少）2。围)数＞5证么小1供≤方≤0样届实≤3b.。 本课结束 课后要记得巩固哦! 解：，，，，. 例1.已知，比较与的大小关系？ 例1.（多选）下列命题属于真命题的是( ) A.若，则 B.若，则有 C.若，，则有 D.若，，，且n为奇数，则有 解：对于A，，，.，， 故A是真命题； 对于B，，，当时，，；当时，， ，故B是假命题； 对于C，，，又，，即， 故C是真命题； 对于D，，，，为奇数，， ，故D是真命题.故选ACD. 解：因为且，所以. ①化简得，显然正确； ②显然正确； ③化简得，显然不正确. 故正确的不等式是①②。 例2.若且，则不等式：①；②；③. 则其中正确的不等式的是______________. ∵2≥0， ∴2＋≥>0. 解　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝2＋. 取a＝2，b＝1，则＝，＝1.有<，故B错. 取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C错. A.若a>b，则ac2>bc2 B.若a>b>0，则> C.若a<b<0，则> D.若a>b，>，则a>0，b<0 ∴<0，故<. (2)∵<，∴－<0，即<0， 例6.(1)a<b<0，求证：<； (2)已知a>b，<，求证：ab>0. 证明　(1)由于－＝＝， 解　∵z＝－(x＋y)＋(x－y)， －2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤， ∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8， $