福建省莆田第四中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

莆田四中2024-2025学年度上学期高二年段第一次月考 数学试卷 命题者：严丽香 审核者：林志鹏考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.直线l：的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 2.经过点，且方向向量为的直线方程是（       ） A． B． C． D． 3．已知，，若，则与的值可以是（    ） A．2， B．， C．－3，2 D．2，2 4. 若圆与圆有3条公切线，则正数（       ） A．-3 B．3 C．5 D．3或-3 5.已知向量，，向量在向量上的投影向量为 （        ） A． B． C． D． 6.在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 7.同学们都知道平面内直线方程的一般式为，我们可以这样理解：若直线过定点，向量为直线的法向量，设直线上任意一点，则，得直线的方程为，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，若平面过定点，向量为平面的法向量，则平面的方程为（       ） A． B． C． D． 8.已知M、N分别是圆与圆上的两个动点，点P是直线上的任意一点，则的最小值为（       ） A． B． C．6 D．4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。 9．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 10．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．若圆C关于直线l对称，则 C．若，则或 D．若A，B，C，O四点共圆，则 11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分。 12.长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为2，1，1，那么这个球的表面积是______． 13.若实数 x，y(x≠2) 满足，则的取值范围为 14．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知两条不同直线：，：． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的值；并求此时直线与之间的距离． 16．（15分）已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 17．（15分）如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点． (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角余弦值为，求三棱柱的体积． 18．（17分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆. (1)求圆的方程； (2)若直线为，证明：无论为何值，直线与圆恒有两个交点； (3)若点，当在上运动时，求的最大值和最小值. 19．（17分）如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A D A D C D 二、多选题 题号 9 10 11 答案 ABC ACD BD 三、填空题 12. 6 13.[ 14．[ 四、解答题 15．(1)； (2) 【详解】（1）由，得，解得； （2）当时，有，解得， ∴：，：，即， ∴两直线与的距离为． 16．(1)或； (2) 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线AB的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （2）因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 联立，两式相减整理可得：， 即EF所在的直线方程为. 17．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）菱形中，则为等边三角形， 又O是AC的中点，则， 又平面ABC⊥平面，平面平面，平面， 平面，又面，则面面. （2）由（1）知平面，又，O是AC的中点，则， 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，设，则，，， 所以，，， 设平面法向量， 则， 令，，得， 设平面法向量，则， 令，，可得， 所以，由，解得， ，， 三棱柱的体积为. 18．(1) (2)证明见解析 (3)最小值为，最大值为 【详解】（1）设，由，且， 可得， 整理得，所以圆的方程为； （2）由直线方程为得， 解得，所以直线过定点， 由，得点在圆内， 所以无论为何值，直线与圆恒有两个交点； （3）设， ， 其中， 因为， 所以当时，有最小值为， 当时，有最大值为. 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由棱台性质知， 所以，则， 在中，由余弦定理可得：，， 连接，因为D为BC中点，所以，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2）因为， 所以，则， 以A为坐标原点，AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，， ，， 设平面的一个法向量为， ，令，得，故， 设直线与平面所成角为， （3）设为平面ADE的法向量， ， ，令得，， 设， 因为点M在侧面内，所以存在使得, ， ，，， 因为平面，所以，得， 将，，代入上式可得， 则，所以， 因为M在侧面内，所以， 当时，取得最小值，此时， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为 ，， ，令得，， 设平面与平面所成的二面角为， ，， 所以平面与平面所成的二面角得正弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $