精品解析：广东省广州市越秀区广东实验中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

广东实验中学第二次阶段性练习试题 数学 命题：高三数学备课组 校对：高三数学备课组 本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回． 第一部分选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 角终边上一点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行 B. 垂直于同一平面的两个平面相互平行 C. 直线的方向向量垂直于面的法向量，则 D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 5. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，若下列四个数，b，，经过适当排序后构成公差为d的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在四棱锥P—ABCD中，底面为梯形，，则（ ） A. 平面内存在无数条直线与平面平行 B. 平面和平面PBC的交线与底面ABCD平行 C. 平面PAB和平面的交线与底面平行 D. 平面内任意一条直线都不与BC平行 11. 正方体的边长为2，O为底面的中心，P是正方形内（不包含正方形的四边）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是异面直线 B. 当P在线段上移动时，的最小值为 C. 当P是正方形的中心时，与所成角为 D. 当与平面所成角为定值（非直角）时，P的运动轨迹是两段圆弧 第二部分非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列的前n项和为，若，则______． 13. 记的内角的对边分别为，若，则______． 14. 已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，且对任意的，都有． （1）设，求数列的通项公式； （2）数列，表示不超过x的最大整数，求的前项和． 16. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B的值； （2）若，求的取值范围． 17. 函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 18. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，判断球心O的位置，并求出球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 19. 已知椭圆C：的离心率为，且经过点，直线，过点且相互垂直，交于另一点，交于另一点． （1）求的方程； （2）证明：直线过定点； （3）先将绕原点旋转，再将所得曲线上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍得到椭圆，若逆时针旋转得到，且点在椭圆上，求的长轴长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学第二次阶段性练习试题 数学 命题：高三数学备课组 校对：高三数学备课组 本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回． 第一部分选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式求解，及指数函数的值域，确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由题意， ， 故选：C 2. 角终边上一点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数定义求出，，在利用两角差的正弦公式去计算即可. 【详解】因为角终边上一点的坐标为，则， 根据三角函数的定义可知：，， 利用两角差的正弦公式可知：. 故选：D 3. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由点,得, 所以点到平面的距离为. 故选：B. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行 B. 垂直于同一平面的两个平面相互平行 C. 直线的方向向量垂直于面的法向量，则 D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】由空间线线、线面、面面的位置关系逐个判断即可. 【详解】对于A，正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误； 对于B，正方体的两个相邻的侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，B错误 对于C，直线的方向向量垂直于面的法向量，则或，C错误； 对于D，利用反证法，证明如下： 若两个平面垂直且交线为，假设一个平面内与直线不垂直的直线与平面垂直. 因为，而，故，这与与不垂直矛盾，故假设不成立，原命题成立，D正确. 故选：D 5. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值点求参数，再由所得参数验证在处是否取得极大值，即可得答案. 【详解】由题设，则，可得或， 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极小值，不符； 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极大值，符合； 综上，. 故选：C 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规则可得的解析式，再由正弦函数的单调性得出对应不等式可得结果. 【详解】由题可得， 因为，所以当时，，且 因为在单调递增，所以， 又，解得. 故选：B 7. 已知实数满足，若下列四个数，b，，经过适当排序后构成公差为d的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式确定这四个数的大小关系，从而排成一列，根据等差数列的性质计算即可. 【详解】由题意，当时，有，若能构成公差为d的等差数列， 则，解得，这与矛盾，则此时不能构成等差数列； 当时，有，若能构成公差为d的等差数列， 则，化简得，解得或（舍去）， 此时， 故选：D. 8. 已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用“点差法”探索的关系，再根据双曲线离心率的概念求双曲线的离心率. 【详解】设，， 则，① ，② 因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为， 由得：中点坐标为，所以， 且. ①②可得， 则， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及已知可得且，结合指对数关系判断各项正误. 【详解】依题意，，即，则且，故C正确； 对于A，，错误； 对于B，，正确； 对于D，，正确． 故选：BCD 10. 在四棱锥P—ABCD中，底面为梯形，，则（ ） A. 平面内存在无数条直线与平面平行 B. 平面和平面PBC的交线与底面ABCD平行 C. 平面PAB和平面的交线与底面平行 D. 平面内任意一条直线都不与BC平行 【答案】ACD 【解析】 【分析】用线面平行的判定定理，可判断A；用反证的方法来推出与已知相矛盾的结论，可以判断BD；用线面平行的判定以及性质定理可判定C. 【详解】设平面平面，在平面内存在无数条直线与l平行，且不含于平面， 则在平面内存在无数条直线与平面平行，故A正确； 若平面ABCD，平面，平面∩平面，则， 同理，，则，这与四边形为梯形矛盾，故B错误； 设平面平面，∵，平面，平面， ∴平面， 又∵，∴，平面，平面， ∴平面，故C正确； 若平面内存在一条直线a与BC平行，则平面，平面， 平面平面，则矛盾， ∴平面内任意一条直线都不与平行，故D正确. 故选：ACD 11. 正方体的边长为2，O为底面的中心，P是正方形内（不包含正方形的四边）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 一定是异面直线 B. 当P在线段上移动时，的最小值为 C. 当P是正方形的中心时，与所成角为 D. 当与平面所成角为定值（非直角）时，P的运动轨迹是两段圆弧 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正方体的图像和性质，结合已知条件，对各选项进行逐一判断；根据异面直线判定定理判断选项A，利用侧面展开图根据两点间线段最短判断选项B，利用平行关系判断选项C，把线面角转化为边的关系进而判断选项D． 【详解】选项A：P是正方形内（不包含正方形的四边）的动点，即， 根据异面直线判定定理知一定是异面直线，故A正确； 选项B：将正三角形与等腰直角三角形展开到同一平面内得到四边形，则线段即为的最小值， 在中， 的最小值为，故B正确； 选项C：中，为的中点，则， 与所成角，故C错误； 选项D：取中点，则平面， 即为和平面所成角， 为定值，又为定值，为定值， 点P在以为圆心以为半径的圆上， 点P是正方形内（不包含正方形的四边）的动点，是一段圆弧，故D错误； 故选：AB． 第二部分非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列的前n项和为，若，则______． 【答案】384 【解析】 【分析】根据前项和的递推公式求得，然后求出，即可求解. 【详解】①，②， 两式相减得，故， 令中得，，所以． 故答案为：384 13. 记的内角的对边分别为，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，再由三角形的内角和定理，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以，即， 所以或（舍去），即， 又因为，则，解得． 故答案为：. 14. 已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】设点，，可得，，根据向量的数量积可得三角形OAB为等边三角形，的几何意义为点A，B两点到直线的距离之和，设，则，进而根据点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求解即可. 【详解】设点，，，， 由，，， 可得A，B两点在圆上，且， 即有，即三角形OAB为等边三角形，， 所求的的几何意义即A、B两点到直线的距离之和， 故设，则， 所以 ， 其中， 所以最大值为，当且仅当时，可取最大值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，且对任意的，都有． （1）设，求数列的通项公式； （2）数列，表示不超过x的最大整数，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的定义，把二阶递推转化为等差数列，求出通项公式； （2）利用的通项公式确定的取值区间，分段统计并求和． 【小问1详解】 由可得， 又，，即是以3为公差的等差数列， 又，得， ，解得，故， ． 【小问2详解】 ， ， 又，当时，， 当时，，共3项， 当时，，共项， 当时，，共项， 当时，，共7项， ． 16. 在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角B的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角后整理化简即可； （2）利用正弦定理得到，则，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理边化角可得， 所以，又， 所以，又为锐角， 则； 【小问2详解】 由正弦定理， 则， 所以， ， 因为在锐角三角形中，得， 所以， 则， 所以的取值范围为. 17. 函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增，当时，函数 在上单调递增，在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，按照，分类讨论函数的单调性； （2）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，当时，不等式化为恒成立，令，则只需，通过求导研究函数的单调性进而求出最小值. 【小问1详解】 ，定义域为， ①当时，，所以函数在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，所以函数 在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数 在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，对恒成立， 当时，不等式化为恒成立，令，则只需， ，因为，所以 ， 所以当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 所以函数的最小值为， 所以，即的取值范围为． 18. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，判断球心O的位置，并求出球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1）证明：取的中点E，连接，，     ，且的中点为E， ， ，平面， 平面， 平面， ． （2）O为三棱锥S—ABC外接球的球心，； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据翻折前后的性质，利用线面垂直推出线线垂直； （2）根据三棱锥的性质，结合已知条件推出球心的位置，利用等体积法结合余弦定理求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，利用二面角余弦公式求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 当时， ，则， 取的中点O，连接，故O到四点的距离相等， 所以O为三棱锥外接球的球心， ，，故，，， 设S到平面的距离为，B到平面的距离为， 由等体积法可得， ， ， ， ，， O到平面的距离． 【小问3详解】 以B为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 过点S作平面的垂线，垂足为Q， 设为翻折过程中所旋转的角度，则，，， ，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，故， 设平面的法向量为，，， ， 取，则，故， 设平面与平面的夹角为， ， 令，，故， ，， 当且仅当，即时取等号， 平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时． 19. 已知椭圆C：的离心率为，且经过点，直线，过点且相互垂直，交于另一点，交于另一点． （1）求的方程； （2）证明：直线过定点； （3）先将绕原点旋转，再将所得曲线上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍得到椭圆，若逆时针旋转得到，且点在椭圆上，求的长轴长的取值范围． 【答案】（1） （2） 若直线的斜率为，则直线的方程为， 此时直线与椭圆只有一个交点，与已知矛盾； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时直线与椭圆只有一个交点，与已知矛盾； 故直线的斜率存在且不为，同理可得直线的斜率存在且不为， 故可设，， 联立，得， 解得，，所以， 则由同理可得， 若，故直线， 故直线过点； 若，则直线，直线过点； 综上，直线过定点； （3） 【解析】 【分析】（1）借助所过点及离心率计算即可得； （2）设出直线、的方程，再利用韦达定理求出、两点坐标即可表示出直线，最后化简即可得其所过定点； （3）由题意可表示出的方程，再利用向量坐标运算结合点、点位置计算即可得解. 【小问1详解】 因为过点，所以，又a＞0，故， 因为的离心率为，所以，得b=1． 所以的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知的方程为， 因为，，，所以，， 因为，，所以，， 所以， 因为点在上，所以， 又点在上，所以，所以， 设，其中， 则，即， 故椭圆的长轴长的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $