第二十三章 旋转 （单元测试）2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十三章 旋转 （单元测试） 姓名： 班级： 一、选择题 1．下列图案中，不能由一个图形通过旋转而形成的是（　　） A． B． C． D． 2．芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，由绕点旋转而得到，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对应点 B． C． D． 4．若点P（a+1，a﹣2）关于原点对称的点位于第二象限，则a的取值范围表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知和关于原点对称，则的值为（　　） A． B．1 C． D．5 6．如图，与关于成中心对称，下列结论中不成立的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，矩形ABCD被分割成4个直角三角形和1个小矩形后仍是中心对称图形．设上下两个直角三角形的面积都为S1，左右两个直角三角形的面积都为S2，中间小矩形的面积为S3，若对角线EF∥BC，则矩形ABCD的面积一定可以表示为（　　） A．4S1 B．8S2 C．8S3 D．2S1+4S3 9．如图，O是正三角形ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 BO'，连接AO'，下列结论：①△BO'A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点 O 与点 O'的距离为4；③∠AOB=150°；(④S四边形AOBO' =6+3 其中正确的结论是(　　). A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第 2023 次旋转后点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（　　） A．(1，-1) B．(-1，-1) C．( ，0) D．(0，- ) 二、填空题 12．若点和点关于原点对称，则点的坐标为　 　． 13．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转180°得到点，则点的坐标是　 　； 14．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为　 　． 15． 图 1 是微信朋友圈的 图案， 它是中心对称图形， 图 2 是其示意图. 其作图过程为：取正八边形 中心点 ， 延长 交于点 ， 以 为半径作 ， 再延长正八边形其余七边得到 的八等分点. 若 ， 则 　 　. 16．如图是4×4的正方形网格，再把其中一个白色小正方形涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，这样的白色小正方形有　 　个． 17．如图，长方形ABCD中，，，E为BC上一点，且，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为　 　． 18．如图所示，在直角坐标系中，等腰直角的顶点是坐标原点，点的坐标是，直角顶点在第二象限，把绕点旋转15°到，点与对应，点与点对应，那么点的坐标是　 　． 19．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是　 　． 三、解答题 20．如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑． （1）再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的涂法）； （2）再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形． 21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． （1）将向上平移6个单位得到，画出； （2）以为对称中心，画出关于该点对称的； （3）经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为__________．（注意：请先用铅笔，然后再用签字笔描） 22．如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位． （1）作关于点C成中心对称的． （2）将向右平移5个单位，作出平移后的． （3）在x轴上有一点P，使的值最小，则点P的坐标为______． 23．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，． （1）在点，，中，点 是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； （3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 参考答案 1．【答案】C 【解析】【解答】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到． 故答案为：C. 【分析】利用旋转设计图案的关键是旋转三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）；根据旋转三要素进行分析即可得出选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到的；根据如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形可得选项C是轴对称图形；即可得出答案. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：A、此选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； B、此选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意. 故答案为：A． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断得出答案. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：根据旋转的性质，由绕点旋转而得到，的对应角是，因此C不正确， 故答案为：C． 【分析】根据旋转的性质，可得出对应点分别为：A和A'， B和B'，C和C'，故而得出A，B，D均正确，∠ACB=∠A'C'B'，故而得出C不正确即可。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵点P（a+1，a﹣2）关于原点的对称的点在第二象限， ∴点P在第四象限，∴a+1＞0，a﹣2＜0，解得：﹣1＜a＜2， ∴a的取值范围表示正确的是C． 故选：C． 【分析】 直接利用关于原点对称点的性质得出P点位置，进而得出答案 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵点(a，−2)与点(3，b)关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：A. 【分析】根据关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入计算解题． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：A、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； B、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； C、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； D、由中心对称的基本性质得：， ∴，， ∴，即，则此项符合题意； 故选：D． 【分析】根据中心对称的性质即可求出答案. 7．【答案】A 【解析】【解答】A、∵ 该图形是由△AOB按顺时针旋转90°可得，∴A符合题意； B、∵该图形是由△AOB成轴对称所得，∴B不符合题意； C、∵该图形是由△AOB按逆时针旋转90°可得，∴C不符合题意； D、∵该图形是由△AOB按逆时针旋转90°后再成轴对称可得，∴D不符合题意； 故答案为：A. 【分析】利用图形旋转和成轴对称的性质分析求解即可. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：延长EF和FE分别交CD于点N，交AB于点M， ∵EF||BC ∴∠EFB=∠FBC ∵ABCD为矩形 ∴AD||BC ∵EF||BC ∴EF||AD ∴∠ADE=∠DEF ∵EGFH为矩形 ∴EH||GF ∴∠DEF=∠EFB ∴∠ADE=∠CBF 又∵AD=BC，∠AED=∠BFC ∴△ADE≌△CBF ∴AE=CF，∠DAE=∠BCF ∴∠EAM=∠FCN ∵∠AME=∠CNF ∴△AEM≌△CFN ∴AM=CN ∴BCNM为矩形 ∴BM=CN ∴AM=BM ∴M为AB的中点 同理N为CD的中点 S矩ADNM=2S1，S矩BCNM=2S1 故S矩ABCD=2S1+2S1=4S1，即S矩ABCD=4S1 故答案为：A. 【分析】延长EF两端，结合矩形的性质得△ADE≌△CBF，得AE=CF，于是可证得△AEM≌△CFN，AM=CN，同时BM=CN即得M为AB的中点，即得S矩ADNM=2S1，S矩BCNM=2S1，即得S矩ABCD=4S1. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：线段BC 绕点B 逆时针旋转60° 至BA的位置，所以①正确； 如图①，连接OO'可构成等边三角形OO'B，故而OO'=OB=4，所以②正确； 由①知O'A=CO=5，由②知OO'=4，所以OA2+OO'2=25=O'A2，故而∠AOO'=90°，又知∠AOO'=60°，所以 ∠AOB=150°，所以③正确； S四边形AOBO' =S+S=，所以④错误； 如图②，把 △ AOB绕点A旋转60°到 △ AO''C的位置，连接OO''可得出 △ AOO''为等边三角形，Rt△OCO''，进一步得出，所以⑤正确。 故答案为：A 【分析】根据旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理以及三角形的面积计算公式，可分别推理计算，即可得出正确答案。 10．【答案】B 【解析】【解答】解：连接，过点C作，如图所示， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 由旋转可知第一次旋转后点C的坐标为， 第二次旋转后点C的坐标为， 第三次旋转后点C的坐标为， ∵每次旋转，， ∴每旋转4次为一个循环． ∵， ∴第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同， ∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为， 故答案为：B． 【分析】 连接，过点C作，垂足为P，通过证得，得出，通过解直角三角形得到点C的坐标为，由每旋转4次为一个循环，即可得出第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，从而得出第2023次旋转结束时，点C的坐标为，解答即可． 11．【答案】B 【解析】【解答】根据已知条件O（0，0），B（2，2），可求得D（1，1），OB与x轴、y轴的交角为45°，当菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，时，8秒可旋转到原来的位置，因60÷8=7....4，所以第60秒时是第8循环的地上个位置，这时点D的坐标原来位置点D的坐标关于原点对称，所以为（-1，-1）， 故答案为：B. 【分析】由于每秒旋转45°时，可得8秒可旋转到原来的位置，由60÷8=7....4，可得第60秒时是第8循环的第4个位置，据此求出结论即可. 12．【答案】 【解析】【解答】∵点和点关于原点对称， ∴点的坐标为， 故答案为：. 【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数可得答案. 13．【答案】 【解析】【解答】∵将点绕原点逆时针旋转180°得到点， ∴点A与点A'关于原点对称， ∴点A'的坐标为（3，-2）， 故答案为：（3，-2）. 【分析】先证出点A与点A'关于原点对称，再根据关于原点对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数可得答案. 14．【答案】 【解析】【解答】解：在中，， ， 由勾股定理得，，即， 解得，， 图形是一个中心对称图形，为对称中心， ， 故答案为：． 【分析】利用含30°角的直角三角形的性质求出AB=2AC，再利用勾股定理可得，求出，最后求出即可. 15．【答案】 【解析】【解答】解：连接，，过C作于T， 在正八边形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴等腰直角三角形，则， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【分析】连接，，过C作于T，根据在正八边形性质，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质证得，则，进而， 证明等腰直角三角形，求得即可求解． 16．【答案】4 【解析】【解答】解：如图所示：可得这样的白色的小正方形有4个．故答案为：4． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 17．【答案】 【解析】【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°， ∵∠BET=∠FEG=30°， ∴∠BEF=∠TEG， 由旋转的性质得BE=ET，EF=EG， 在△EBF和△TEG中， ， ∴△EBF≌△ETG（SAS）， ∴∠B=∠ETG=90°， ∴点G的在射线TG上运动， ∴当CG⊥TG时，CG的值最小， ∵∠EJG=∠ETG=∠JGT=90°， ∴四边形ETGJ是矩形， ∴∠JET=90°，GJ=TE=BE=2， ∵∠BET =30°， ∴∠JEC=180°-∠JET-∠BET=60°， ∵， ∴， ∴CG=CJ+GJ=. ∴CG的最小值为. 故答案为：. 【分析】根据题意将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J，易得∠BEF=∠TEG，由旋转的性质得BE=ET，EF=EG，从而利用SAS判断出△EBF≌△ETG，由全等三角形的对应角相等得∠B=∠ETG=90°， 故 点G的在射线TG上运动， 当CG⊥TG时，CG的值最小；由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ETGJ是矩形， 由矩形四个内角都是90°及对边相等得∠JET=90°，GJ=TE=BE=2，由含30°的直角三角形得出EJ=3，用勾股定理算出CJ，最后根据CG=CJ+GJ可算出答案. 18．【答案】或 【解析】【解答】解：如图所示：若绕点顺时针旋转得到，过作轴，则， 又∵， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴，， ∴点B1的坐标是； 如图所示：若绕点逆时针旋转得到，过作轴，则， 同理可得，， ∴， ∴， ， ∴点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或． 故答案为：或． 【分析】根据题意分类讨论：若绕点顺时针旋转得到，过作轴，则，若绕点逆时针旋转得到，过作轴，则，进而运用旋转的性质结合题意得到，从而根据题意求出，再求出，即可得到点的坐标，同理即可求解。 19．【答案】 【解析】解：因为△是边长为2的等边三角形，可得A的坐标为，的坐标为， 又因为△与△关于点成中心对称，所以点与点关于点成中心对称， 因为，且，所以点的坐标是：， 因为△与△关于点成中心对称，可得点与点关于点成中心对称， 又因为，，所以点的坐标是：， 因为△与△关于点成中心对称，可得点与点关于点成中心对称， 又因为，，所以点的坐标是：，， 因为，，，，， 所以的横坐标是：，的横坐标是：， 当为奇数时，的纵坐标是：，当为偶数时，的纵坐标是：， 所以顶点的纵坐标是：， 则△是正整数）的顶点的坐标是：， 所以△的顶点的横坐标是：，纵坐标是：， 故答案为：． 【分析】根据△是边长为2的等边三角形，求得的坐标为，的坐标为，再由中心对称的性质，分别求出点、、的坐标，最后总结出的坐标的规律，求出的坐标，即可求解. 20．【答案】（1）解：如图 （2）解：如图 【解析】【分析】（1）把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据轴对称的定义画出图形； （2）把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据中心对称的定义画出图形. 21．【答案】（1）解：利用方格纸的特点分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可； （2）解：分别作出点A、B、C关于（0，-1）的对称点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可； （3）（0，2） 【解析】【解答】（3）解：连接A1A2、B1B2、C1C2，交于点Q， 则Q（0，2），即对称中心坐标为（0，2）． 故答案为：（0，2）. 【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可； （2）根据方格纸的特点及中心对称图形的性质分别作出点A、B、C绕点（0，-1）旋转180°后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可； （3）根据中心对称图形的性质，连接A1A2、B1B2、C1C2，交于点Q，该点Q就是对称中点，读出该点的坐标即可. （1）解：分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点、、，再顺次连接、、，如图． （2）解：分别作出点A、B、C关于的对称点、、，再顺次连接、、，如图． （3）解：连接、、，交于点Q，如图． 则，即对称中心坐标为． 22．【答案】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3） 【解析】【解答】（3）解：如图，作点关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点P，连接， 根据轴对称可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小， ∵点， ∴点， 设直线的关系式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的关系式为， 把代入得：， 解得：， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【分析】（1）利用那个方格纸的特点，作出点A、B关于点C中心对称的点A1、B1，然后顺次连接即可； （2）利用方格纸的特点及平移的性质，作出点A1、B1 、C1向右平移5个单位后的对应点 A2、B2 、C2 ，然后顺次连接即可； （3）作点A1关于x轴的对称点D，连接C2D，交x轴于点P，连接PA1，利用轴对称性质可得，根据两点间线段最短可得此时最小，利用待定系数法求出直线的关系式为，把代入算出对应的x的值，求出点P的坐标即可． （1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，作点关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点P，连接， 根据轴对称可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小， ∵点， ∴点， 设直线的关系式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的关系式为， 把代入得：， 解得：， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 23．【答案】（1）和， （2） （3）解：∵抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为， ∴其关于原点对称的抛物线解析式为， 如图：绕点O逆时针旋转得到，其中， ∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”， ∴当过时，n的值最大， 把代入得， 解得：， n的最大值为， 当过时，n的值最小， 把代入得， 解得：， n的最小值为． 【解析】【解答】解：（1）∵，， 轴， 如图所示，点绕点O顺时旋转得到的对应点分别为：， 其中点，在线段上， ∴和是线段关于原点O的“伴随点”， 故答案为：和； （2），，， 在第一象限， ∵点是关于原点O的“伴随点”， ∴点在第二象限， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在第一象限， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 当在上时，m值最小，即，解得：， 当在上时，m值最大，即，解得：， ∴； 故答案为： 【分析】 （1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O旋转后的对应点，进行判断即可解答； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论，解答即可； （3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时n有最大值，当抛物线过点时n有最小值，即可解答． （1）解：∵，， 轴， 如图所示，点绕点O顺时旋转得到的对应点分别为：， 其中点，在线段上， ∴和是线段关于原点O的“伴随点”， 故答案为：和； （2）解：，，， 在第一象限， ∵点是关于原点O的“伴随点”， ∴点在第二象限， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 在第一象限， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 当在上时，m值最小，即，解得：， 当在上时，m值最大，即，解得：， ∴； （3）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∴其关于原点对称的抛物线解析式为， 如图：绕点O逆时针旋转得到，其中， ∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”， ∴当过时，n的值最大， 把代入得， 解得：， n的最大值为， 当过时，n的值最小， 把代入得， 解得：， n的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $