湖北省新八校2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷

湖北省2025-2026学年度上学期高二10月月考 高二数学试卷 全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真 核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.已知复数z=+(m-1)i(i为虚数单位)，若z为纯虚数，则实数m的值为 A.1 B.-1 C.0 D.2 2.直线√3.x+3y+1=0的倾斜角为 A君 B. C.2x 3 3.已知空间向量a=1,k,2),b=(2,-1,3).若a⊥b,则实数k的值为 A.4 B.6 C.8 D.10 4.一个不透明的袋子里装有4个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同.从袋子中随机摸 出一个球，则摸到白球的概率是 A B月 c. D月 5.在平行六面体ABCD-AB,CD中，设AA=a,AB=b,AD=C.若点E为棱CC1的中点， 则向量A正可表示为 A+8 1→ B.a+b+-c C.a+ib+c 1→ D. -a+b+c 2 2 数学试卷（共4页)第1页 6。己知直线马与直线，：x-2y+3=0关于原点对称，将直线！绕原点逆时针旋转严后得到直线 马，则直线l3的斜率为 A.-3 C.3 D.4 7.已知一个圆台的母线长为10cm,高为6cm,侧面积为100πcm2,则该圆台的体积为 A.150元cm3 B.182元cm3 C.200πcm3 D.216元cm3 8.已知等边△ABC的边长为2，点P是平面ABC内任意一点，则PA.PB+PB.PC+PC.PA的 最小值为 A.-3 B.-2 C.-1 D.0 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线：(a-3)x-3y+1=0,12:x+(a+1)y-1=0,则下列正确的是 A.当a=4时，直线1的一个方向向量为(3,1) B.若1⊥12，则a=-3 C.若a=0或2，则1与l2相互平行 D.若a>-1,则直线l2不经过第三象限 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是4，b,c,则下列正确的是 A,若sm4+cosA=Y4,则△ABC为钝角三角形 B.若a=c·cosB+a:cosC,则△ABC为等腰三角形 C.若△ABC不是直角三角形，则△ABC满足taA+tanB=tan4 4tanBtanC+tan(A+B) D.若b2=ac,且V5(b2+c2-a2)=2 be sinA,则△ABC为等边三角形 11.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，BP=B,C(2E[0,1),点G是正方体表面上的动 点，E为BC的中点，则下列正确的是 A.直线DP与平面ADD4所成最小角的余弦值为y⑤ B.若点NQ分别为AB,BC的中点，平面4Ng与BC交于点P,则元= C。若入=子，则从点A出发沿正方体的表面到达点P的最短距离为3 D.若DE⊥CG,则点G的轨迹长度为V2(V10+1) 数学试卷（共4页）第2页 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.直线1过点P1,√3)，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线1的方程为 13.湖北恩施被誉为“世界硒都”，又被称为祖国的后花园.恩施有大峡谷、腾龙洞、神农溪这 3个5A级景区，已知腾龙洞景区有金牌讲解员2人，大峡谷景区有金牌讲解员3人，若从 这5人中随机抽取2人，则抽取的这两人来自不同景区的概率为 14.数学家笛卡尔通过研究一簇花瓣和叶形曲线特征，得到了一簇花瓣曲线 的一般方程为：x3+y3=32xy,该方程表示的曲线C就是优美的“笛 卡尔叶形线”，若某种花瓣曲线特征满足1=名（如图），该花瓣曲线 上任意一点P(,n),则m+n的范围为 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜 猪对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否 互不影响.求： (1)“星队”在两轮活动中共猜对2个成语的概率： (2)“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率. 16.(15分) 在△ABC中，已知点A(1,2),过顶点C作AB的垂线，该垂线方程为x-2y-2=0. (1)求直线AB的方程： (2)若点C的坐标为(-14，-8)，且BC边的中线AD所在直线的方程为y=x+1,求直线BC 的方程。 17.(15分) 2025年9月13日，以“峡谷英雄·骑遇恩施”为主题的2025中国公路自行车公开赛盛大 开幕，其中志愿者的服务工作是赛事顺利举办的重要保障.恩施市文旅局承办了志愿者选拔的面 试工作.现从中随机抽取了200名志愿者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)， 第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，并绘制成如图所示的频率分布直方图. 数学试卷（共4页）第3页 ◆频率 组距 0.045- 0.020 000药5店巧皮南分 (1)求[55,65)的频率f,并根据频率分布直方图估计样本成绩的下四分位数； (2)根据频率分布直方图估计这200名志愿者面试成绩的平均值， (3)现按比例分配采用分层随机抽样的方法从这200名面试者抽取40人作为终点拉拉队队 员，其中抽到的第三组和第五组的拉拉队员组成A队，若抽到的第三组拉拉队面试者的成绩平均 数和方差分别为70和22，抽到的第五组拉拉队面试者的成绩平均数和方差分别为90和12，请据 此估计A队志愿者面试成绩的方差， 18.(17分) 如图，在三棱柱ABC-MPO中，满足PB⊥平面ABC,∠BAC=,且AB=AC=2. (1)若BC=√2AM=2√2，且O,D分别是BC,BP的中点. ①证明：平面AOD⊥平面AOQ: ②求平面APQ与平面AOD的夹角的余弦值. (2)若∠APB=α，求三棱锥A-BPC的外接球的半径的最小值. 19.(17分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2 bcosC=2a-c. (1)求B: (2)已知b=2,且△ABC为锐角三角形，O为其外心. ①若点O到边AB的距离h=V2I1,求amA: 21 ②设H为垂心，I为内心，且△ABC不是等边三角形，求比值 肛的取值范围。 OI 数学试卷（共4页）第4页湖北省2025-2026学年度上学期高二10月月考 数学答题卡 名 贴条形码区 准考证号 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂■ 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注L答题前、考生先将自已的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码 意2.选释题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工整，笔迹清楚。 事3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷，草稿纸上答题无效。 项4保特卡面请清，不要析叠，不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交」 选择题 1 AB C D 5A幻B☐GD☐ 9A)B☐CD 2A)B☐C☒D回 6AB☐CD 10四®C回 3ABC 7 [A]B C][D 11 A][B]C][D 4ABCD 8AB©回 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12. 13. 14 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题满分13分) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡（共页）第页 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓名 座位号 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 频率 组距 0.045-- 0.020----- 0.005 45556575855成绩/分 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) Q D B 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡（共页）第2页 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效湖北省2025-2026学年度上学期高二10月月考 数学参考解析 1-8:CDCADCBB 9.ABD 10.ACD 11.ABD 1.【答案】C 【解析】根据纯虚数定义m=0. 2.【答案】D 【解析】可知倾斜角a满足tana= 3 故倾斜角α=5 6 3.【答案】C 【解析】由a.b=0得k=8 4.【答案】A 【解析】由题可得摸到白球的概率为 5.【答案】D 【解析】可知正=4C+c正=正+D+4=a++c. 2 2 6.【答案】C 【解析】可知直线与直线马平行，设倾斜角为“，则m口=直线马的斜率为mQ+m3 4 1-tana 7.【答案】B 【解析】设圆台底面圆半径分别为R,r,则圆台侧面积公式得R+r=10,又可知R-r=8,所以圆台体 积V=182πcm3 8.【答案】B 【解析】设等边△4BC的重心为G,记GA=a,GB=b,GC=c,G乎=p,则有 PA=a-p,PB=b-p,PC=c-p,S=PA.PB+PB.PC+PC.PA =(a-p)6-p)+6-p)-p+-p)a-p)=3+a.i+i.c+c.a, 又可得a+i.c+ca=-2,所以，当2=0时，S取得最小值-2 9.【答案】ABD 【解析】对A,当a=4时，斜率为写直线马的一个方向向量为8，D.A对： 对B,1⊥12则(a-3)1-3.(a+1)=0,解得a=-3,B对； 对C,若l与l2相互平行，则(a-3)·(a+1)+31=0,解得a=0或2，当a=2时，1与l2重合，故C错： 对D,么x+(a+1)y-1=0,若a>-l,直线的斜率小于若0，在y轴上的截距为 >0,且过点(10)， a+1 直线l2不经过第三象限，D正确故选：ABD 10.【答案】ACD 数学答案（共6页)第1页 【解析】对A,sinA+cosA= 13 4 则2simA-c0s4上6故A为钝角，故A对 对于B,由正弦定理可得：sinA=sin(B+C)=sin BcosC+cos BsinC, 所以可得sin B cosC=sin AcosC,即(sinB-sinA)cosC=0, 即sinB=sinA或cosC=O.△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错： 选贸C:因为国(1+到=细A:且4c是△AC的内角，所以 tan A+tan B=tan (+B)(1-tan Atan B), tan A+tan B+tan C=tan(A+B)(1-tan Atan B )tan C=-tan C 1-tan Atan B )tan C=tan Ata nB tanC 0 故选项C正确： 对于D,5b+c2-)=2 besinA,所以5ccos4=bcsin4,所以tamA=5. 2 因为Ae(0),所以A=牙因为b2=c,据余弦定理：a2-B+c2-2 becosA, 可得：会矿+2一c,化商得：公6-ece-, 即得：(c-b)c+b(b+c)=0,故b=c,则D正确.故选：ACD. 11.【答案】ABD 【解析】对A,直线DP与平面ADDA所成最小角，当且仅当P与B,点重合时，线面角最小，最小角余 弦值为6 ，4对 对B,若点N,O分别为AB,BC的中点，平面ANQ与BC交于点P, 如图，平面ANQ与正方体的截面为ANQC,所以△POC与△PCB相 似，点Q为BC的中点，8P-AC,则2号B正确 D 对C,若元}，将平面B8C沿BB展开，使得平面马BCG与平面 BBA4共面，连接AP两点，则4P最短距离为4W5 C错 对D,当T,M分别为AB和BB1中点时，DE⊥平面CTM,故点G的轨迹长度为△TMC的周长，则△TMC 的周长为25+√2，故D正确 12.【答案】√3x-y=0和x-y+V3-1=0 【解析】（①）若1过点P1,√3)，且在两坐标轴上的截距之和等于0，则直线1过原点满足，此时直线1的方 程为：√3x-y=0: (2)设直线1：+y=1,将P1,V3)代入方程，解得：a=1-5,故直线1的方程为：x-y+V5-1=0: 故直线l的方程为：√3x-y=0和x-y+V3-1=0. 数学答案（共6页)第2页 以【容奖月 【解析】大峡谷景区3人，腾龙洞景区2人，设大峡谷景区的3人分别为4,42,4，腾龙洞景区2人分别 为b,b2,则在其中任取2人的基本事件总数N=10,分别为：4b,4b2;42,a2b2,b,4b2;4凸2,44,24，bb2 则抽取的这两人来自不同景区的情况分别为：4b,4b2;a,b,ab2;a,b,a,b2;故抽取的这两人来自不同景区的 腰率为号 2 14【答案】一了t≤2 【解析】设m+n=t,则n=-+t,代入曲线方程得3+t-)3-2m(t-)=0, 即6+2m2-6+2+=0,当3+2=0，即1=-2时，得r=0,矛盾； 3 当31+2≠0即1≠-2时， 3 △=t2(3t+2)2-43t+2)t3=t(3t+2)2-t)≥0， 可相-子1≤2，又1：子放-号12，奥图2从形上省曲线C夹在湖粒 2 线x+y= 和切线x+y=2之间， 3 15.【解析】(1)设A,B,分别表示“甲，乙两轮猜对i个成语”的事件，其中i=0,1,2 根据独立在假完，得P4)-〔-引引) -0引+-引-4)号号 Pa,)--片P)-+- P) …4分 记M=“两轮活动中‘星队’共猜对2个成语“，则M=A,B2+AB+AB。,且AB2,AB,A,B。互斥， A与B2,A1与B,A2与B。相互独立，所以 P(M)=P(A0B2)+P(4B)+P(A2Bo)=P(A0)P (B2)+P(A )P (B )+P(42 )P Bo) =1×1+4×1+4×1=13 94929436 因此，“星队在两轮活动中共猜对2个成语的概率为36 …8分 (2)记N=“两轮活动中‘星队’至少猜对3个成语”，则N=AB2+AB+A,B2 所以，P(W=P(4B)+P(4,B)+P(4B,)4×+A×+4x116_4 949294369 因此，“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率为4。 …13分 91 数学答案（共6页)第3页 16.【解析】(1)由题意，直线AB的斜率为-2，所以直线AB的方程为y-2=-2(x-1),即 2x+y-4=0.…7分 (2)设点B(xa,yB),则2xg+ya-4=0, BC的中点D,4,,在中线-+1上，则-8当：4+1， 2,2 22 联立解行，点8的华标为[得引 所以，直线BC的斜率为号，故宜线BC的方程为2x-5y-12=0…15分 17.解：(1)由图得(0.005+a+0.045+0.02+0.005)x10=1,解之可得a=0.025, 故[55,65)的频率f=0.25;…3分 成绩落在[45,55)的频率为0.05，成绩[55,65)的频率为0.25 设样本成绩的下四分位数为x, 则0.05+5x0.25=0.25,解得=63.…5分 10 (2)根据题意知x=0.05×50+0.25×60+0.45×70+0.2×80+0.05×90=69.5, 估计200名志愿者候选者面试成绩的平均数为69.5.…9分 (3)据题知：抽到的第三组、第五组拉拉队面试者的面试成绩的平均数、方差分别为 x1=70,x2=90,512=22,2=12, 且抽到的两组的频数之比为18：2， 则抽到的A队的面试成绩的平均数为#=70×18+0x2-72, 18+2 抽的4队的面试成缤的的方若：子-品号-6-门局店+民-可门 =9[2+(70-72]+2+(90-727]=234+36-57, 101 10 1010 则抽到的A队的面试成绩的的方差为57.…15分 18.【解析】(1)①证明：如图，在三棱柱ABC-MPQ中， 因为PB⊥面ABC,:PB⊥AO,又AB=AC=2.BC=√2AM 设BC=2W2,AM=2;因为O是BC的中点，AB=AC=2,BC⊥AO 则AO⊥平面BCQP,所以AO⊥OD① 又因为0D=√3,00=√6，QD=3 则可得：0D2+002=QD2,所以O01OD②. 又因为OQ∩OA=O:O2,OAc平面OAQ, 所以OD⊥平面OAQ .ODC平面OAD,.平面AOD⊥平面AOQ;…5分 数学答案（共6页)第4页 (1)② 建立QA为x轴，OC为y轴，过点O垂直于底面的直线为z轴. 据题可知：A(V2,0,0),C(0,V2,0), (0,V2,2,P(0,-2,2) 则A0=（-V2,V2,2),P0=(0,2W2,0) 设平面AP2的法向量为n=（x,y,), ·Pg=0y=0 ”+ 则可列： 4A0=0-V2x+V2y+2Z=0 令x=√2，则=(V2,0, 据①可知：OD⊥平面OA2,故OD⊥O0, 又因为AO1平面BC2P,所以AO⊥O0,OD∩OA=O:OD,OAc平面OAD,则O9⊥平面AOD 则平面AP9的法向量为，=O0=(0,V2,2 平面APQ与平面AOD的夹角的余弦值cos8= 3 …10分 (2)法1：据题知：∠BAC=∠BPA=a, 在等腰△BCA中，设△BCA的外心是H,外接圆半径是r, 据正弦定理： 2r=、AB 2 1 sin- 0, cos- 2 2 在直角△ABP中，∠BPA=o, tana=2 ,BP=2 BP tana 设外接球球心是K,则KH⊥平面ABC, 设外接球半径为R,即KP=B=R, 2 R2= BP +BH2=1 1 K tan'a cos 2 R2=cos'a cos'a 2 …14分 sin2 a 1+cosa 1-cos2a 1+cosa 3 2( cos2 a+2-2cosa1+2 c0s2 1-cos2a 1-cos-a 2 R2=-1+ 2t 2t ,3 1-0 -2+3- 4 数学答案（共6页）第5页 =-1+ 2 5 ≥-1+2 ==-1+ 21+5 3-(t+4 5 3-2\4t 3-V52, 当且仅当1=；，1=5时等号成立 4t 2 则该三棱锥A-BPC的外接球的半径的最小值R=2+25 …17分 法2：本问也可建立空间直角坐标系求解，酌情给分. 19.【解折】(1)由余弦定理得cosC=云++c,代入已知化简得b2=a2-c+c2, 2ab 所以cosB=1」 2,又0<B<元，故B=亡 …3分 3 (2)）①外心0到边AB的距离为Rc0sC,其中R为外接圆半径。由已知得RcosC- 21 又由正弦定理得，b。=2R,将B=三代入得R=2 sin B 3 故cosC= 14, 从而simc=32 ,可得tanC=3√3.…5分 14 因此tanA=-tam(B+C)=tanB+tanC-5 ……7分 tan BtanC-1 ②由A+C= 2 3，△MBC为锐角三角形得A,C∈ 62 8分 设4-号+0，C-苔-0，不妨取9e0 ,(B=0对应等边三角形，故应排除). 3 6 由0i=OA+OB+OC及Oi=a0A+bo5+c0C a+b+c 计算得On=4sim0,O1=4i sin.……15分 3 √321 所2号合or寻因t-5:,习 …17分 数学答案（共6页）第6页