专题02 二次函数图象和性质与系数的三种考法（压轴题专项训练）数学湘教版九年级下册

专题02 二次函数图象和性质与系数的三种考法 目录 1 类型一、一次函数、二次函数图象综合判断 1 类型二、反比例函数、二次函数图象综合判断 3 类型三、二次函数图像与各项系数符号问题 4 6 类型一、一次函数、二次函数图象综合判断 判图象： 一次函数 y=kx+b：k 定斜向，b 定截距；二次函数 y=a(x-h)²+k：a 定开口与宽窄，(h,k) 为顶点。 综合： 1. 令 kx+b=a(x-h)²+k 得二次方程，Δ>0 两交点，Δ=0 切，Δ<0 离。 2. 交点横坐标 x₁,x₂ 满足 x₁+x₂=2h-k/a，x₁x₂=(k-b)/a。 3. 画图：先画抛物线，再画直线看交点及区间大小。 例1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知关于的二次函数的图象的顶点在轴的正半轴上，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式1-3定义：在平面直角坐标系中，对于两个函数和的图象有两个交点和，且满足（为常数），则称这两个函数为关于的“乘积函数对”，称为乘积常数． 例如：一次函数与反比例函数的交点为， 因为，所以它们是关于的“乘积函数对”，乘积常数为． (1)求一次函数与二次函数的乘积常数； (2)若一次函数与二次函数为关于的“乘积函数对”，且二次函数的顶点在直线上，当二次函数的对称轴为直线时，求二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，二次函数图象上有一点，其横坐标为，过点作轴于点，点的坐标为，以为顶点构造矩形，若该矩形的边（含端点）与二次函数的图象只有两个交点，求的取值范围． 类型二、反比例函数、二次函数图象综合判断 判图象： 1. 反比例 y=k/x：k>0 在一三象限，k<0 在二四象限，双曲线渐近轴。 2. 二次 y=a(x-h)²+k：a>0 开口向上，a<0 向下；对称轴 x=h，顶点(h,k)。 3. 综合：先定二次开口与顶点，再定反比例象限；看交点个数，令两式相等，得二次方程，Δ>0 两交点，Δ=0 切，Δ<0 无交。 例2．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 变式2-1．著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”比如方程的实根可看成函数与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2-2．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．在同一坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A． B． C． D． 类型三、二次函数图像与各项系数符号问题 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交 例3．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3-1．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ① ②若点均在二次函数图象上，则 ③ ④对于任意实数m，总有 其中正确的结论是： 变式3-2 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ． 变式3-3 已知抛物线（c是常数）的顶点在第二象限，且．下列四个结论：①；②；③若，则当时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则．其中结论正确的是 （填序号）． 一、单选题 1．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．二次函数（，，是常数，）的图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，错误的是（   ） A． B．若点，在该抛物线上，且在轴的下方，则 C．一定有两个不相等的实数根 D．（为实数） 3．二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 5．在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，其对称轴为．现有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是________． A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤ 7．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论： ； ； ；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．函数与的图象可能是（   ） A．   B．  C．   D．   9．对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． B． C． D． 11．某同学利用数学绘图软件探究函数 的图象，在输入一组a，b，c的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b，c的值应满足（    ）    A． B． C． D． 12．方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是（　　） A． B． C． D． 13．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数 和反比例函数 的图象如图所示，它们坐标轴围成的封闭图形（不包括边界）的整点个数为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 14．如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论：①，②，③，④，⑤时，随的增大而增大．其中正确的是 ． 三、解答题 15．在平面直角坐标系中，若关于的函数的图像记为，将的图像绕着原点旋转得到图像，我们把和合起来的总图像称为 的“青一对称”图像． (1)若在 的“青一对称”图像上，则 ； (2)若在 的“青一对称”图像上，求的值； (3)当二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点时，请求出的值或取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数图象和性质与系数的三种考法 目录 1 类型一、一次函数、二次函数图象综合判断 1 类型二、反比例函数、二次函数图象综合判断 8 类型三、二次函数图像与各项系数符号问题 11 18 类型一、一次函数、二次函数图象综合判断 判图象： 一次函数 y=kx+b：k 定斜向，b 定截距；二次函数 y=a(x-h)²+k：a 定开口与宽窄，(h,k) 为顶点。 综合： 1. 令 kx+b=a(x-h)²+k 得二次方程，Δ>0 两交点，Δ=0 切，Δ<0 离。 2. 交点横坐标 x₁,x₂ 满足 x₁+x₂=2h-k/a，x₁x₂=(k-b)/a。 3. 画图：先画抛物线，再画直线看交点及区间大小。 例1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，运用数形结合的思想是解决问题的关键． 先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于m的方程求解，最后总结得出m的范围即可． 【详解】解：将配成顶点式：， 此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定， 则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数的经过点，此时取最小值， 将代入得： ， 解得：，（舍去）， 则的最小值是， 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得： ， 解得：，（舍去） ∴， 故选：B． 变式1-1．已知关于的二次函数的图象的顶点在轴的正半轴上，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，根据题意可得，即可求得之间的关系，再判断一次函数的图象即可解答，熟知二次函数相关的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 当时，， ， ， ， 则中，随的增大而增大，且直线经过原点， 中，随的增大而减小，且与轴交于正半轴，没有选项与之相符； 当时，，， 则中，随的增大而减小，且直线经过原点， 中，随的增大而增大，且与轴交于负半轴，只有D选项与之相符， 故选：D． 变式1-2．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断．熟练掌握函数图象与系数的关系，是解决问题的关键．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；当a，b同号时，对称轴位于y轴左侧；当a，b异号时，对称轴位于y轴右侧． 分别根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向下可知，， ∴，矛盾， ∴A不正确； B、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴B不正确； C、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴，矛盾， ∴C不正确； D、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴D正确． 故选：D． 变式1-3定义：在平面直角坐标系中，对于两个函数和的图象有两个交点和，且满足（为常数），则称这两个函数为关于的“乘积函数对”，称为乘积常数． 例如：一次函数与反比例函数的交点为， 因为，所以它们是关于的“乘积函数对”，乘积常数为． (1)求一次函数与二次函数的乘积常数； (2)若一次函数与二次函数为关于的“乘积函数对”，且二次函数的顶点在直线上，当二次函数的对称轴为直线时，求二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，二次函数图象上有一点，其横坐标为，过点作轴于点，点的坐标为，以为顶点构造矩形，若该矩形的边（含端点）与二次函数的图象只有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)－6 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，乘积常数实质上是函数解析式联立得到的一元二次方程的两根积，解（3）关键是根据点D和点F的位置不同画图讨论． （1）联立直线与抛物线解析式，可得一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数的关系和乘积常数的定义可得； （2）联立直线与抛物线解析式，乘积常数的定义可得 ，由此得出，再根据二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线，可得顶点坐标为，故设二次函数的顶点式为，根据二次函数的图象经过，可得，由此可得，进而解得，即可得二次函数的解析式． （3）根据点D和点F的位置不同画图讨论，即可求出取值范围． 【详解】（1）解：当时，得， 整理，得， 一次函数与二次函数的乘积常数是－6． （2）当时，得， 整理，得， ， 二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线， 顶点坐标为（1，3）二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过， ，解得，， 二次函数的解析式为． （3）当时，， 解得，，， 抛物线与轴的交点坐标为， ①如答图1，当时，点在第二象限时，点在的左侧，点在的左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，得， ②如答图2，当，点在轴上方，且满足点在点的右侧，在对称轴上或对称轴左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，解得， 当时，则， 此时在右侧，在左侧，抛物线与正方形只有一个公共点，如答图3， 时，， 此时在左侧，抛物线与、有公共点，故正方形与抛物线的公共点个数不少于3个，如答图4， 综上所述，的取值范围是或． 类型二、反比例函数、二次函数图象综合判断 判图象： 1. 反比例 y=k/x：k>0 在一三象限，k<0 在二四象限，双曲线渐近轴。 2. 二次 y=a(x-h)²+k：a>0 开口向上，a<0 向下；对称轴 x=h，顶点(h,k)。 3. 综合：先定二次开口与顶点，再定反比例象限；看交点个数，令两式相等，得二次方程，Δ>0 两交点，Δ=0 切，Δ<0 无交。 例2．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间的关系是解答本题的关键．直接利用二次函数图象经过的象限得出的符号，再根据反比例函数的图象与性质得出其经过的象限，即可得出答案． 【详解】解：A、二次函数开口方向向上，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第二、四象限，故A选项不符合题意； B、二次函数开口方向向上，则，对称轴位于轴的左侧，则，同号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故B选项不符合题意； C、二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故C选项不符合题意； D、二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧，则，异号，即，所以反比例函数的图象位于第一、三象限，故D选项符合题意； 故选：D． 变式2-1．著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”比如方程的实根可看成函数与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据题意可得方程的实根可以看做是函数与函数的图象交点的横坐标，画出两个函数的函数图象，根据函数经过，函数经过，即可确定两个函数的交点个数，进而可得答案． 【详解】解：由题意得，方程的实根可以看做是函数与函数的图象交点的横坐标， ∵函数经过，函数经过， ∴由函数图象可知，两个函数在第三象限一定有2个交点，在第一象限有1个交点， ∴两个函数一共有3个交点， ∴方程的实数根有3个， 故选：C． 变式2-2．一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧， ∴只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 变式2-3．在同一坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质．根据的符号，对函数的图象位置和的图象进行判断，逐一判断即可． 【详解】解：当时，函数的图象在一，三象限，此时同号， A．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项符合题意； B．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意； C．函数的图象，开口向上，对称轴，故，该选项不符合题意； 当时，函数的图象在二，四象限，此时异号， D．函数的图象，开口向下，对称轴，故，该选项不符合题意； 故选：A． 类型三、二次函数图像与各项系数符号问题 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交 例3．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②由根与系数的关系可得出，由代入即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④． ⑤当点和关于对称轴对称时，解得m，若点A和点B向左移动时结合对称轴左侧的递减性，以及即可得到m的取值范围． 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， 时，， ， ， ， ， ∵， ，故②正确； ③设方程的两根为和， ∴， ， ∴，故③错误． ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； ⑤点，在抛物线上， 当时，，解得， ∵， ∴，则⑤正确； 故选：C． 变式3-1．已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ① ②若点均在二次函数图象上，则 ③ ④对于任意实数m，总有 其中正确的结论是： 【答案】②③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． ①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出的正负；②根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；③代入以及之间的关系即可求解；④化简不等式，用a表示b，根据及不等式的性质得到只含有m的不等式，判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴的交点在正半轴上，对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∴，故①不正确； ∵与对应的函数值都为1， ∴对称轴为直线， ∵， ∴点离对称轴更近， ∴，故②正确； ∵时，， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵④，， 即证， 变形可得，即， ∵， ∴故原式不成立，故④不正确， 故答案为： ②③． 变式3-2 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点关于对称轴的对称点，连接，的长即为的最小值，勾股定理求出的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可． 【详解】解：由图象和题意可知：，当时，， ∴， ∴，；故①错误， 当时，函数取得最小值为：， ∴对于任意实数m，， ∴的值不小于2，故②正确； 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为；故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，满足且， ∴， ∴点离对称轴远， ∴；故④正确； 故答案为：②③④． 变式3-3 已知抛物线（c是常数）的顶点在第二象限，且．下列四个结论：①；②；③若，则当时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则．其中结论正确的是 （填序号）． 【答案】① 【分析】本题考查了二次函数的性质及图象，二次函数与一元二次方程，熟记二次函数的对称轴，最值，增减性以及顶点坐标公式是解题关键．①由可知抛物线经过点，由顶点在第二象限可画出函数大致图象，即可判断开口方向，再结合，即可判断；②由顶点在第二象限且过可判断出当时，即，进而判定是否正确；③根据，，可以得出和的关系，即可判断对称轴与的关系，而确定增减性；④用特例法，满足条件，此时． 【详解】解：根据， 抛物线经过点， 抛物线顶点在第二象限， ，， 由大致图象（如图）可知函数图象开口向下即， ，①正确； 抛物线（c是常数）的顶点在第二象限且过， ∴对称轴直线， 由对称性可得抛物线与x轴另一交点的横坐标小于， 当时，，即， ，②错误； ∵，且， ， ， 即， ∴， 当时，无法确定增减性，③错误； 举例：当时，满足条件且有两个不相等的实数根， 此时， ④错误； 故答案为：①． 一、单选题 1．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，根据抛物线开口方向判断a的符号，根据对称轴及与y轴交点坐标判断b和c的符号，据此可判断①的正误；根据对称轴是直线判断②的正误；根据函数在的函数值判断④的正误；根据抛物线与x轴交点的个数判断③的正误解答即可． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵对称轴位于y轴右侧， ∴a，b异号，即， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵当时，函数值为负值， ∴，故④正确； 故选：B． 2．二次函数（，，是常数，）的图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，错误的是（   ） A． B．若点，在该抛物线上，且在轴的下方，则 C．一定有两个不相等的实数根 D．（为实数） 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据二次函数图象来判断各项系数的正负，可判断选项A；根据可知点和都在对称轴左侧，且点A离对称轴距离远，即，故B正确；将一元二次方程的解转为二次函数与直线的交点问题，即可判断Ｃ；由抛物线开口向下，顶点坐标为，即得出，即有，即，故D错误． 【详解】解：由图象知，时，， ． 对称轴为直线， ∴， ∴， ，即，故A正确； ∵图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方， ∴，， ∴， ∴点和都在对称轴左侧，且点A离对称轴距离远． 该抛物线上的点在对称轴的左边离对称轴距离越远，点的纵坐标越小， ，故B正确； 根据图象可知，当时，抛物线与的图象有两个交点， 有两个不相等的实数根，故C正确； 抛物线开口向下，顶点坐标为， ， ，即，故D错误． 故选：D． 3．二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想． 根据抛物线的开口方向、对称轴和与y轴交点可知，从而易判断①②；由图知，当时，函数值为0，即有，从而易判断③；由图象易判断④；由于函数在时取得最大值，对任意的实数m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，， 即，故②正确； ∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴， ∴， ∴，故①错误； 当时，函数值为0，即有， ∵， ∴，即，故③正确； 观察图象知，当时，随自变量的增加，函数值有增有减，故④错误； ∵函数在时取得最大值， ∴对任意的实数m，都有， 即，故⑤错误； 故选：B． 4．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，故选项A，B正确，不符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴；故选项C正确；不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 5．在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系、反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴为直线，求得，从而得出，则可确定直线经过第一、二、四象限，再根据当时，，从而确定反比例函数的图象在第二、第四象限，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴ ∵二次函数图象的对称轴为直线 ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∵当时，， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴只有D选项题意． 故选：D． 6．已知二次函数，其对称轴为．现有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是________． A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，最值等解答即可. 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在负半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴, ∴, 故①正确； ∵，， ∴,， ∴， 故②错误； ∵抛物线的顶点在第四象限， ∴， 故③正确； ∵对称轴为直线， ∴, ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∵对称轴为直线， ∴, ∴, ∴, 故⑤正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线的顶点坐标属性，根的判别式，抛物线与各项系数的符号关系，熟练掌握性质是解题的关键. 7．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论： ； ； ；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况可以判断，根据抛物线顶点纵坐标大于，可以判断，二次函数的图象经过点，再根据图象当时可以判断，由得，即函数与的交点，可以判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴，故正确； 由得：， 即函数与的交点， 如图， ∴，，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 8．函数与的图象可能是（   ） A．   B．  C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 9．对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，分两种情况解答：一次函数分别与，相交一点；一次函数与有两个交点，与不相交 ；求出的取值范围，即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，二次函数的相关函数为 当时，二次函数的相关函数为， ∴二次函数的相关函数为， 二次函数的图象开口向上，与轴的交点为，对称轴为直线, 当时，随的增大而减小，当 时，随的增大而增大； 二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，对称轴为直线，当时，随的增大而增大； 一次函数与轴的交点为 一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点可分为两种情况： 一次函数分别与，相交一点， 则有， 解得； 一次函数与有两个交点，与不相交 ， 则有， 解得， 且， 即有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或， ∴的值可能是， 故选：． 10．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，由二次函数图象判定系数大小、由系数正负决定一次函数与反比例函数的图象，牢记各函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数的图象开口向下 对称轴在轴左侧，由左同右异得 函数图象与轴交点位于轴正半轴 则反比例函数的图象位于一、三象限 一次函数图象的图象位于二、三、四象限 所以选项符合题意． 故选：． 11．某同学利用数学绘图软件探究函数 的图象，在输入一组a，b，c的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b，c的值应满足（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数，再从y轴左侧图象，判断图象虚线代表的意义，即可求解． 【详解】解：设虚线为（显然，）， 由图中可知，当时，，所以 ， 当时，，所以 ，可得在m的左右两侧时，符号是不同的，即； 当时，，而，所以显然另外一条分割线为， 故选：B． 【点睛】本题考查函数的图象，要求学生根据学过的反比例函数、分式等知识，通过函数图象，大致发现图象的一些特征，此类题目难度较大． 12．方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意推断方程的实根是函数与函数的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程的实根所在的范围． 【详解】根据题意推断方程的实根是函数与函数的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限． 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程的实根所在的范围是：． 故选：B． 【点睛】本题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，解题的关键是要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 13．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数 和反比例函数 的图象如图所示，它们坐标轴围成的封闭图形（不包括边界）的整点个数为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找到反比例函数图象与坐标轴内的整点，在分类讨论二次函数与反比例函数围成的范围内整点． 【详解】解：根据整点的定义，在反比例函数与坐标轴围成的范围内的整点有：、、、、， ∴二次函数与反比例函数围成的封闭图形内有4个整点的情况只有两种， ①整点是、、、， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， ∵与矛盾，∴这种情况不成立； ②整点是、、、， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数与反比例函数的图形与性质，解题的关键是能够找到题目定义的整点，然后利用函数图形的性质去分类讨论． 二、填空题 14．如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论：①，②，③，④，⑤时，随的增大而增大．其中正确的是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①；对称性，特殊点，判断②；对称轴判断③；与轴的交点个数判断④；根据图象即可判断． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴， ∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴，， ∴， ∴①正确，③错误， ∵二次函数图象经过，对称轴为， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为， ∴，②正确； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴，④错误， 观察图象得，时，y随x的增大而增大，⑤正确． 综上①②⑤正确， 故答案为：①②⑤． 三、解答题 15．在平面直角坐标系中，若关于的函数的图像记为，将的图像绕着原点旋转得到图像，我们把和合起来的总图像称为 的“青一对称”图像． (1)若在 的“青一对称”图像上，则 ； (2)若在 的“青一对称”图像上，求的值； (3)当二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点时，请求出的值或取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或或 (3)的值或取值范围是或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解题题意，并掌握相关知识． （1）根据“青一对称”图像的定义求解即可； （2）根据题意可求出的解析式为，根据当时，，当时，，即可求解； （3）先求出的解析式为，分情况讨论：①当直线与：相切时，②当时， 当时，分别求出直线与二次函数的“青一对称”图像的交点情况即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：图像的函数解析式为， 当时，， ， 故答案为：； （2）解： ， 顶点坐标为， 图像的顶点坐标为， 的解析式为， 在 的“青一对称”图像上， 当时，， 解得：或（舍去）， 当时，， 解得：或， 的值为或或； （3）解： ， 顶点坐标为， 将的图像绕着原点旋转得到图像， 的顶点坐标为， 的解析式为， ①当直线与：相切时，即直线与的图像只有一个交点，则， 整理得：， ， 解得：， 此时的解析式为：， 联立直线与的解析式得：， 整理得：， 此时， 直线与的图像只有两个交点， 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点； ②当时， 的解析式为，的解析式为， 联立直线与的解析式得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 此时直线与的图像只有一个交点， 联立直线与的解析式得：， 解得：或， 当时，的图像与直线有两个交点和， 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线只有三个交点； 当时，的解析式为，的解析式为， 联立直线与的解析式得：， 解得：或， 此时直线与的图像只有两个交点和， 联立直线与的解析式得：， 解得：或， 此时直线与的图像只有两个交点和，， 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有四个交点； 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点； 综上所述，的值或取值范围是或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $