专题04 二次函数中特殊三角形、相似三角形存在性问题（压轴题专项训练）数学湘教版九年级下册

专题04 二次函数中特殊三角形、相似三角形存在性问题 目录 1 类型一、二次函数中等腰三角形存在性问题 1 类型二、二次函数中直角三角形存在性问题 10 类型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 22 类型四、二次函数中相似三角形存在性问题 33 42 类型一、二次函数中等腰三角形存在性问题 1. 设定条件：设动点坐标（如抛物线上点），与已知两点构成三角形。 2. 分类讨论： · 顶角位置：分三种情况（动点为顶点/另两点为顶点）。 3. 几何性质： · 腰相等：利用两点间距离公式 或 。 · 验证共线：避免三点共线导致无解。 4. 代数转化：列方程求解，注意舍去增根。 5. 简化计算：利用对称性、参数法或配方法优化运算。 关键：结合几何性质与代数方法，分类讨论确保不遗漏情况。 例1．如图，已知抛物线，与轴交于点和，点在点的左边 (1)用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)求的正弦值； (3)若点在轴上使为等腰三角形，请直接写出点坐标． (4)在抛物线上是否存在点，使与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接、，点M是x轴上一动点，连接、．当的面积最大时，求的最小值； (3)如图2，点N是线段上一个动点，过点N作轴，垂足为N，交于点Q，试探究点N在运动过程中，是否存在这样的点Q使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在．请说明理由． 变式1-2．如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 变式1-3 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 类型二、二次函数中直角三角形存在性问题 6. 设定条件：设动点坐标（如抛物线上点），与已知两点构成三角形。 7. 分类讨论：直角顶点位置（动点为直角顶点/另两点为直角顶点）。 8. 几何性质： · 垂直条件：斜率乘积为-1，或向量点积为零。 · 距离公式：验证勾股定理。 9. 代数转化：联立方程求解，注意舍去共线或不合理解。 10. 简化计算：利用对称性、参数法或特殊点优化运算。 关键：结合几何与代数，分类讨论确保不遗漏情况。 例2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 变式2-1．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 变式2-2．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，抛物线顶点D的坐标为，连接，，，，抛物线对称轴与相交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：； (3)若点P是线段上的动点，将沿边翻折得到，是否存在点P，使得与重叠部分的图形为直角三角形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 类型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 11. 设定条件：设动点坐标（如抛物线上点），与已知点（如顶点、定点）构成三角形。 12. 分类讨论： · 直角顶点位置：分三种情况（动点为直角顶点/另两点为直角顶点）。 13. 利用几何性质： · 腰相等：两点间距离公式。 · 垂直：斜率乘积为-1或向量点积为零。 14. 代数转化：联立方程，注意舍去不合理解。 关键：结合几何与代数，简化计算（如利用对称性或参数法） 例3．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-1．如图，抛物线过点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第四象限抛物线上的一个动点． ①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值； ②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-2 综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-3 将放置在如图①所示的平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，其中． (1)求经过三点的抛物线的解析式； (2)若点为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结分别与轴交于点，记的面积为的面积为，求的最大值． (3)若点为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角，若其直角顶点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标（请直接写出结果）． 类型四、二次函数中相似三角形存在性问题 1. 定参数：设抛物线及直线/动点坐标，写坐标表达式。 2. 找直角：先验证或构造直角，确认∠90°。 3. 列比例：利用“边成比例”写比例式，或利用“斜率积=–1”判定直角，建立方程组。 4. 转二次：把比例式整理为关于横坐标x的二次方程。 5. 判Δ：Δ>0两解，Δ=0一解，Δ<0无解，即得存在性及对应点坐标。 例4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4-1．已知抛物线经过点，，与轴的交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一点，且位于第一象限，过点分别作对称轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接．若和相似，求点的坐标． 变式4-2．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值． (3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4-3．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值． 一、解答题 1．已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点且与交于点F，． (1)求二次函数的表达式； (2)点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧， ①当时，求点P的坐标； ②连接，点Q是直线上一点，当时，求点P的坐标． 2．如图，已知二次函数（a、c为常数，且）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接交对称轴于点E，动直线m与y轴平行，交抛物线于点F，交线段于点G，动直线m在左侧沿x轴负方向向点A移动（当点G与点A重合时，停止移动）． (1)求二次函数的表达式； (2)连接、，在直线m移动的过程中，抛物线上是否存在点F，使得以C、F、G为顶点的三角形与相似？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．抛物线 与y轴相交于点 与x轴相交于点 、，点 D 是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上有一点 P，求出使的值最小时点 P 的坐标，并求出此时 的最小值； (3)在（2）的条件下，在第四象限中的抛物线上是否存在一点 E，过点E作轴 交x轴于点 F，使 与 相似？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 5．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点．则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是______（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； (3)若将函数的图象绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 6．已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 7．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，对称轴为直线，且对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，抛物线与交于点． ①点是抛物线上的点，若的最大值与之差为9，求的值； ②是否存在以为直角边的？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．二次函数图象与x轴交于点两点，与轴交于点，连接，在该图象上有一点，连接，．设点的横坐标为． (1)若． ①求该二次函数的表达式； ②为何值时，是直角三角形？ (2)连接交轴于点，直线交轴于点，求证：是定值． 9．如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 10．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标． 11．如图，抛物线：()与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)将抛物线上下平移，请问在平移后的抛物线上是否存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式． 12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数中特殊三角形、相似三角形存在性问题 目录 1 类型一、二次函数中等腰三角形存在性问题 1 类型二、二次函数中直角三角形存在性问题 10 类型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 22 类型四、二次函数中相似三角形存在性问题 33 42 类型一、二次函数中等腰三角形存在性问题 1. 设定条件：设动点坐标（如抛物线上点），与已知两点构成三角形。 2. 分类讨论： · 顶角位置：分三种情况（动点为顶点/另两点为顶点）。 3. 几何性质： · 腰相等：利用两点间距离公式 或 。 · 验证共线：避免三点共线导致无解。 4. 代数转化：列方程求解，注意舍去增根。 5. 简化计算：利用对称性、参数法或配方法优化运算。 关键：结合几何性质与代数方法，分类讨论确保不遗漏情况。 例1．如图，已知抛物线，与轴交于点和，点在点的左边 (1)用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)求的正弦值； (3)若点在轴上使为等腰三角形，请直接写出点坐标． (4)在抛物线上是否存在点，使与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)顶点坐标为 (2) (3)点坐标为、、、 (4)点坐标为、、 【分析】本题考查了抛物线顶点坐标求解、三角函数值计算、等腰三角形存在性问题以及三角形面积相等的点的坐标求解． （1）根据配方法将二次函数化为顶点式，即可求解； （2）需先求出相关线段长度，再利用三角函数定义求解； （3）根据等腰三角形的性质，分情况讨论； （4）利用面积相等的条件，结合抛物线方程求解． 【详解】（1）解： 所以顶点坐标为； （2）解：令，则，所以，． 令，即，因式分解得，解得，． 因为点在点左边，所以，，． 根据勾股定理，． 根据正弦函数定义，． （3）解：设，分情况讨论 情况一：当时，， 则，解得， 所以或． 情况二：当时，， 解得， 因为，所以． 情况三：当时，， 解得，所以． 综上所述，点坐标为、、、； （4）解：因为与面积相等，所以点纵坐标的绝对值等于点纵坐标的绝对值． 当时，，即， 因式分解得， 解得或， 所以或． 当时，，即， 解得（与点重合，舍去）或， 所以． 综上所述，点坐标为、、． 变式1-1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接、，点M是x轴上一动点，连接、．当的面积最大时，求的最小值； (3)如图2，点N是线段上一个动点，过点N作轴，垂足为N，交于点Q，试探究点N在运动过程中，是否存在这样的点Q使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数的最值以及等腰三角形的意义，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）把，两点坐标代入，求出的值即可； （2）确定点坐标，运用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交于，设，则，得，求出，可得；作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接交点，则的最小值为，由勾股定理可求出，即的最小值； （2）根据等腰三角形的定义，结合两点间距离公式分别求出的长度，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴， （2）解：对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； 过点作轴，交于，设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴； 作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接交点，则的最小值为， ∴, ∴的最小值为； （3）解：∵，, ∴ 设，则， ∴；， 若是等腰三角形时， 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，则， ∴， 整理得，， 解得：，不合题意，舍去． 综上所述，或． 变式1-2．如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或， 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 变式1-3 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)；面积最大值为 (3)点M的坐标为，， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，两种种情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令得， ∴，， ∴， 令得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解方程得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解：∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，、 ①当时， 如图所示有，， ②当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，． 类型二、二次函数中直角三角形存在性问题 6. 设定条件：设动点坐标（如抛物线上点），与已知两点构成三角形。 7. 分类讨论：直角顶点位置（动点为直角顶点/另两点为直角顶点）。 8. 几何性质： · 垂直条件：斜率乘积为-1，或向量点积为零。 · 距离公式：验证勾股定理。 9. 代数转化：联立方程求解，注意舍去共线或不合理解。 10. 简化计算：利用对称性、参数法或特殊点优化运算。 关键：结合几何与代数，分类讨论确保不遗漏情况。 例2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）①令，则，解方程即可求出点A的坐标； ②根据图象可知，当时，即抛物线在轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则； 当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时，x的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 变式2-1．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 变式2-2．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． （3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，抛物线顶点D的坐标为，连接，，，，抛物线对称轴与相交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：； (3)若点P是线段上的动点，将沿边翻折得到，是否存在点P，使得与重叠部分的图形为直角三角形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)见解析； (3)存在点P， BP的长为或＋1或． 【分析】(1)设抛物线的表达式为，把代入，即可求解； (2) 由勾股定理逆定理得为直角三角形，由正切函数得，，即可求解； (3) ①于点P，沿着边翻折得到，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； ②当于点H时，与①同理可得，设，，即可求解； ③，当于点G时，作于点I，由勾股定理得 ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点D的坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得： ， 解得， ， ∴抛物线的表达式为． （2）证明：由抛物线的表达式知，点B，C的坐标分别为，， 由点B，C，D的坐标得， ， ， ， ， 即为直角三角形， ， 在中， ， 即． （3）解：存在点P，使得与重叠部分的图形为直角三角形． 设抛物线的对称轴交x轴于点F， ． ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ①如图1，于点P，沿着边翻折得到， ，， ， ， 即， 解得， ． ②当于点H时，如图2， 与①同理可得， ， 即， 解得，， 在中，设， 则 ， ， ， ， 解得：， ． ③如图3，当于点G时，作于点I， 由①②可知， ， ， 由翻折的性质可知， ． ， ． ，， ， ， 即， 解得． 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数与角度综合问题，二次函数与特殊三角形综合问题，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定及性质，三角函数等；能熟练利用，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定及性质，三角函数进行求解是解题的关键． 类型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 11. 设定条件：设动点坐标（如抛物线上点），与已知点（如顶点、定点）构成三角形。 12. 分类讨论： · 直角顶点位置：分三种情况（动点为直角顶点/另两点为直角顶点）。 13. 利用几何性质： · 腰相等：两点间距离公式。 · 垂直：斜率乘积为-1或向量点积为零。 14. 代数转化：联立方程，注意舍去不合理解。 关键：结合几何与代数，简化计算（如利用对称性或参数法） 例3．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 变式3-1．如图，抛物线过点、点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第四象限抛物线上的一个动点． ①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值； ②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，最大值为；②存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，掌握二次函数的性质，等腰直角三角形是解题的关键． （1）由抛物线过点，，可直接得出抛物线的表达式为，展开即可得出结论． （2）①过点作轴，交线段于点，则，根据二次函数的性质可得结论； ②由题意可知，若是等腰直角三角形，则，分别表示及，可求出的值，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，点， 抛物线的表达式为； （2）由（1）得抛物线的解析式为， 令，则， ， 直线的表达式为， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设， ①如图，过点作轴的垂线，交线段于点，则， 当时，即，的值取最大，最大值为 ②存在， 由题意可知， 若是等腰直角三角形，则， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设，， ， 轴， ， ， ， 解得 舍去或或或 舍去， 当是等腰直角三角形时，点的坐标为或． 变式3-2 综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，P点坐标为，或，或 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为，    （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或．    【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 变式3-3 将放置在如图①所示的平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，其中． (1)求经过三点的抛物线的解析式； (2)若点为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结分别与轴交于点，记的面积为的面积为，求的最大值． (3)若点为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角，若其直角顶点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标（请直接写出结果）． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)点G的坐标为 【分析】（1）根据勾股定理得到，列得，求出，得到，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出函数解析式； （2）求出直线的解析式，得到，连接，，根据求出答案； （3）抛物线的对称轴为直线，设，分情况画出图形分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 得， 解得, ∴经过三点的抛物线的解析式为； （2）∵点为抛物线上第二象限一动点， ∴， 设直线的解析式为， 得， 解得， ∴， 当时，， 故， 连接，， ， ∵ ∴当时，有最大值； （3）抛物线的对称轴为直线， 设， ①如图：是等腰直角三角形，过点G作x轴的平行线，作， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ②如图，是等腰直角三角形，过点G作x轴的平行线，作， 同理得， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ③当点Q与点B重合时，点A与点Q对称，此时， ∴当是等腰直角三角形时，， ∴， 综上，点G的坐标为． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法，全等三角形的判定，特殊三角形与二次函数，综合掌握所学知识点并熟练应用是解题的关键． 类型四、二次函数中相似三角形存在性问题 1. 定参数：设抛物线及直线/动点坐标，写坐标表达式。 2. 找直角：先验证或构造直角，确认∠90°。 3. 列比例：利用“边成比例”写比例式，或利用“斜率积=–1”判定直角，建立方程组。 4. 转二次：把比例式整理为关于横坐标x的二次方程。 5. 判Δ：Δ>0两解，Δ=0一解，Δ<0无解，即得存在性及对应点坐标。 例4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；②存在，或 【分析】题目主要考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，最值问题，理解题意，熟练掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据题意利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）①设，则，其中，确定，即可求解； ②根据待定系数法确定直线的解析式为，得出点的坐标为，分别过点、作轴于点轴于点，由，得，然后分两种情况讨论：I．当时，，II．当时，，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得 该抛物线的表达式为； （2）①当时，， ∴， 设直线的解析式是：， 则，解得：， ∴直线的解析式是：， 如图1，设，则，其中， 则， 当时，线段有最大值，为，， 此时点的坐标为． ②存在，理由如下： ， 使用待定系数法同理可得：直线的解析式为． 令，则， 点的坐标为． ， ，且， ． 如图1，分别过点、作轴于点轴于点． 由，得， ∴． 分两种情况讨论： I．当时，， 即， 解得，满足， 此时点的坐标为． II．当时，， 即， 解得，满足，此时，点的坐标为． 综上所述，存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似， 点的坐标为或． 变式4-1．已知抛物线经过点，，与轴的交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一点，且位于第一象限，过点分别作对称轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接．若和相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键； （1）把，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，且，分两种情况讨论，①，②，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设，且， ∴， ∵， ∴若和相似，分两种情况， ①， ∴即， ∴， 解得：或（舍去） ∴， ∴， ②， ∴∴即， ∴， 解得：或（舍去） ∴， ∴， 综上所述，或．    变式4-2．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值． (3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2） 作点关于轴的对称点，连接、、，可知当共线时，最小，即最小，最小值为的长度，得到最小值，然后根据待定系数法求出直线的表达式为，即可得到点的坐标； （3）设 ，则，得出，，，，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，， 把点，点，点的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：作点关于轴的对称点，连接、、，如图所示， 根据轴对称可知：， ， 两点之间线段最短， 当共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 顶点坐标， 的最小值为：； 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为， （3）解：在第四象限中的抛物线上存在点，使与相似，理由如下： 设 ，则， ，，，， ①当时， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时， ； ②当时， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时， ； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数的解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 变式4-3．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段于点M，点D是直线上方抛物线上一点．当时，求点N的坐标． (3)如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接，交线段于点E，交y轴于点F，令，求S的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）直线，设点，则点，点，表示出，，再由相似三角形的性求解即可； （3）设点，求出，从而得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式可得， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线 设点，则点，点， ，， ∵， ∴， ， ， ，即， 解得：，（舍去），，（舍去）， ， （3）解：设点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴， 当时，， ， ， ∴当时，． 一、解答题 1．已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点且与交于点F，． (1)求二次函数的表达式； (2)点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧， ①当时，求点P的坐标； ②连接，点Q是直线上一点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据题意可得对称轴为直线，，则由对称轴计算公式可得，由平行线分线段成比例定理可得，则可求出，则，，据此利用待定系数法求解即可； （2）①先求出；过点C作于R，则，导角可证明，可求出；取，作直线，连接，可证明，得到，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，同理求出点P坐标即可； ②求出，由相似三角形的性质得到，；过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V，可证明，得到，设，则，求出直线解析式，把点Q坐标代入直线解析式中求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，∵对称轴经过点， ∴对称轴为直线，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；①在中，当时，，当时，， 当时，解得或， ∴； 如图所示，过点C作于R，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 如图所示，取，作直线，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； ②∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 同理可得直线解析式为， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行线分线段成比例定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2．如图，已知二次函数（a、c为常数，且）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接交对称轴于点E，动直线m与y轴平行，交抛物线于点F，交线段于点G，动直线m在左侧沿x轴负方向向点A移动（当点G与点A重合时，停止移动）． (1)求二次函数的表达式； (2)连接、，在直线m移动的过程中，抛物线上是否存在点F，使得以C、F、G为顶点的三角形与相似？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标为．点D的坐标为，对称轴为直线，求出直线的解析式为，进而得到点E的坐标为，则．设点F的坐标为，则点G的坐标为，可得．由两点距离计算公式可得，．可证明．，则∽，即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解；将、代入，得， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：连接、，如图． 在中，当时，， ∴点C的坐标为． ∵二次函数解析式为， ∴点D的坐标为，对称轴为直线， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点E的坐标为， ∴． 设点F的坐标为，则点G的坐标为， ∴． ∵点C的坐标为，点E的坐标为，点G的坐标为， ∴，． ∵直线轴 ∴， ∴． ∵与有共同的顶点C，且在的内部， ∴， ∴只有时，∽， ∴，即， 解得，（舍）， 当时，， ∴点F的坐标为． 3．抛物线 与y轴相交于点 与x轴相交于点 、，点 D 是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上有一点 P，求出使的值最小时点 P 的坐标，并求出此时 的最小值； (3)在（2）的条件下，在第四象限中的抛物线上是否存在一点 E，过点E作轴 交x轴于点 F，使 与 相似？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点 P，待定系数法求出直线的表达式为 ，再求出点 P 的坐标为，最后求出最小值即可； （3）设 ，则，得出，，，，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与y轴相交于点，与x轴相交于点、， ∴把点A，点B，点C 的坐标代入 得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点 P，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即的值最小， ∵点B 的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴顶点坐标， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为 ， 当时，， ∴点 P 的坐标为； 则最小值为：； （3）解：在第四象限中的抛物线上存在点 E，使与相似； 理由如下：设 ，则， ∴，，，， ①当时， ∴， 即， 解得：，（舍去）， 此时点； ②当时， ∴， 即， 解得：，（舍去）， 此时点； 综上所述，点E坐标为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数的解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 4．如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， (3)存在，点坐标为，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题关键； （1）用待定系数法求解即可； （2）由相似得出，设，根据勾股定理列方程求解即可； （3）如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，证明，得出，得出的值最大时即有最大值，利用二次函数性质求出最值即可；根据是直角三角形分三种情况根据勾股定理分别列方程解方程即可解决． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为：； （2）解：存在点使，理由如下： 假设存在点使，设， ， 当时，， ， 在中， ， 解得，（不合题意舍去）， 则坐标为， ，， ， ， 存在点使； （3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， 的值最大时即有最大值， 当时，最大，点的坐标为， 设，，， 当是直角三角形时，有以下三类情况， ①时， ， 解得，（不合题意舍去）， ； ②，， ， 解得，（不合题意舍去），   ； ③，， ， 解得，（不合题意舍去）， ，； 综上所述，点坐标为，，，． 5．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点．则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是______（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； (3)若将函数的图象绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 【答案】(1)③ (2)b的值为或或或0 (3)M不存在 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、新定义、等腰三角形的定义、根的判别式、旋转的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据“平衡点”的定义进行判断即可； （2）根据题意表示出点B，再分三种情况，分别利用勾股定理列方程即可解答； （3）根据题意求出抛物线的顶点，利用根的判别式即可解答． 【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得，方程无解， ∴的图象上不存在“平衡点”； 同理可得，的图象上不存在“平衡点”， 的图象上存在“平衡点”． 故答案为：③． （2）解：在中，令，得， 解得或， ∵， ∴； 在中，令，得， 解得， ∴， 当A的坐标为时，C的坐标为， ∴，，， 当，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时A，B重合，舍去）； ∴b的值为或或或0． （3）解：设， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∵点关于的对称点为， ∵旋转后的抛物线解析式为， 在中，令，得， ∴， ∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， ∴方程有两个相等实数根， ∴，即， 解得：， ∴M的坐标为， ∵， ∴M不存在． 6．已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）把点，代入抛物线，即可求解； （2）对于抛物线为，令，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴于点Q，交于点E，设（），则，，由，得到，根据二次函数的性质即可求解； （3）设，连接，分两种情况分别求解：①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰；②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴，解得． 故答案为：， （2）解：∵，， ∴抛物线为， 令，则， ∴， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴于点Q，交于点E， 设（），则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∴当时，有最大值，为． （3）解：∵点N在抛物线上， ∴设． 连接， ①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作于点G， ∵，， ∴，， ∵轴，， ∴， ∴， ∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴ 解得， ∴． ②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰， 过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H， ∵，， ∴，， 同①同理可得， ∴，， ∴， ∵点M在直线上， ∴， 解得， ∴或． 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，对称轴为直线，且对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，抛物线与交于点． ①点是抛物线上的点，若的最大值与之差为9，求的值； ②是否存在以为直角边的？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据抛物线：经过点，对称轴为直线，利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意可得：抛物线的表达式为，得出抛物线的顶点坐标为，根据点是抛物线上的点，抛物线开口向下，得出的最大值，根据的最大值与之差为9，求出，当时，求出或，得出或，将和分别代入求解即可． ②根据题意知，设，当时，如图，过点作，则，则，列出方程，整理得：，求出，即可解答．当时，如图，过点作，则，则，列出方程，整理得：，求出，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①根据题意可得：抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点是抛物线上的点，抛物线开口向下， ∴的最大值， ∵的最大值与之差为9， ∴， ∴， 当时，，解得：或， ∴或， 将代入得，解得：（舍去）或； 将代入得，解得：（舍去）或（舍去）； 综上，； ②根据题意知，设， 当时，如图，过点作， 则， 则， 即， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，如图，过点作， 则， 则， 即， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，解一元二次方程，二次函数的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 8．二次函数图象与x轴交于点两点，与轴交于点，连接，在该图象上有一点，连接，．设点的横坐标为． (1)若． ①求该二次函数的表达式； ②为何值时，是直角三角形？ (2)连接交轴于点，直线交轴于点，求证：是定值． 【答案】(1)①；②或； (2)证明见解析 【分析】（1）①利用二次函数与轴交点坐标设出交点式，再代入点坐标求出表达式； ②如图，当时，过作轴于，如图，当，过作轴于，过作轴于，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可； （2）过点作轴于，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来证明是定值． 【详解】（1）解：①已知二次函数图像与轴交于点，设二次函数表达式为， 在抛物线上，把代入得： ，即， 解得． 二次函数表达式为． ②如图，当时，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，而，， ∴， 解得：（舍去），， 如图，当，过作轴于，过作轴于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，而，，， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∵， ∴不符合题意； 综上：或； （2）解：∵二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C， ∴，， 过点作轴于， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， 即是定值． 【点睛】本题考查二次函数表达式求解，直角三角形的判定，以及相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用交点式设二次函数表达式，利用相似三角形性质证明线段比例定值． 9．如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为(-1，2)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）令和求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标即可； （2）先得到抛物线的对称轴，设点，根据列方程求出m的值即可； （3）先求出线段，的长，然后分为，，根据相似三角形的对应边成比例求出长，即可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：令，得， ． 令，得， 解得或， ． （2）解：存在，理由如下， 抛物线的对称轴为， 设点， 三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形， ， ， ， 解得， ； （3）解：令， 或， ， 又， ， ． 设长为． 若，如图1． ， ， ， ， ， 点坐标为． 若，如图2． ， ． 同理可得， ， ∴点坐标为． 综上所述，点坐标为或时符合题意． 10．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标． 【答案】(1) (2)存在满足条件的点，其坐标为或 (3)点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为 【分析】（1）由的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出点坐标，则可表示出、和的长，分、两种情况分别得到关于点坐标的方程，可求得点坐标； （3）由、的坐标可求得直线的解析式，可设出M点坐标，则可表示出N点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点M的坐标． 【详解】（1）解：在抛物线上， ，解得， 抛物线解析式为； （2）， 抛物线对称轴为直线， 当时，， ，且， ， 点在对称轴上， 可设， ，， 当时，， 解得，此时点坐标为； 当时， 解得（与重合，舍去）或，此时点坐标为； 综上可知：存在满足条件的点，其坐标为或； （3）当时，即，解得或， ，， 设直线解析式为， 由题意可得，解得， 直线解析式为， 点M是线段上的一个动点， 可设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为4， 此时， ，即M为的中点， 点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用M点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 11．如图，抛物线：()与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)将抛物线上下平移，请问在平移后的抛物线上是否存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)存在，将抛物线向上平移个单位或向下平移个单位 【分析】（）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，进而把解析式转化为顶点式可求出顶点的坐标； （）设平移后解析式为，过点作的垂线并在垂线上取一点，使得，记上方的点为，下方的点为，连接，则为等腰直角三角形，过点作轴于点，可证，可得，，得到点坐标为，进而把点坐标代入可得，即可得将抛物线向上平移个单位；同理可得点坐标为，进而可得将抛物线向下平移个单位，即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， 将点代入得，， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：存在，理由如下： ∵将抛物线上下平移， ∴，抛物线对称轴， ∴设平移后解析式为， 过点作的垂线并在垂线上取一点，使得，记上方的点为，下方的点为，连接，则为等腰直角三角形， 过点作轴于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 把代入得，， 解得， ∴将抛物线向上平移个单位； 同理可得点坐标为， 把代入得，， 解得， ∴将抛物线向下平移个单位； 综上，将抛物线向上平移个单位或向下平移个单位，平移后的抛物线上存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形． 12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $