第4练 直线与方程的综合问题（午练半小时）（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

第4练　直线与方程的综合问题 一、选择题 1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　A 解析　设直线l的斜率为k， 则k＝－＝. 2．直线ax＋by＋c＝0要同时经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　) A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0 答案　A 解析　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0. 3．“a＝”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　由直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直得(a＋1)(a－1)＋3a×(a＋1)＝0，解得a＝或a＝－1. ∴“a＝”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的充分不必要条件． 4．已知在△ABC中，顶点A(1,1)，点B在直线l：x－y＋2＝0上，点C在x轴上，则△ABC的周长的最小值为(　　) A. B．2 C．4 D. 答案　B 解析　设点A关于直线l：x－y＋2＝0的对称点为A1(x1，y1)，点A(1,1)关于x轴的对称点为A2(x2，y2)，连接A1A2交l于B，交x轴于C， 则此时△ABC的周长取最小值，且最小值为A1A2， ∵A1(x1，y1)与A(1,1)关于直线l对称， ∴ 解得 ∴A1(－1,3)， 易求得A2(1，－1)， ∴A1A2＝2， 即△ABC周长的最小值为2. 5．(多选)下列说法中，正确的有(　　) A．直线3x－y－2＝0在y轴上的截距为－2 B．直线x－y＋1＝0的倾斜角为120° C．直线mx＋y＋3＝0(m∈R)必过定点(0，－3) D．点(5，－3)到直线y＋2＝0的距离为7 答案　AC 解析　直线3x－y－2＝0中， 当x＝0时，y＝－2，故A正确； 直线x－y＋1＝0的斜率k＝，所以倾斜角为60°，故B错误； 直线mx＋y＋3＝0(m∈R)，当x＝0时，y＝－3，所以直线恒过定点(0，－3)，故C正确； 点(5，－3)到直线y＋2＝0的距离d＝|－3－(－2)|＝1，故D错误． 二、填空题 6．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________________． 答案　4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0 解析　①若直线过原点，则k＝－， 所以y＝－x，即4x＋3y＝0. ②若直线不过原点，设＋＝1，即x＋y＝a. 则a＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x＋y＋1＝0. 综上，所求直线的方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0. 7．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________. 答案　 解析　如图所示， 直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)， 当m≠0时，kQA＝， kPA＝－2，kl＝－， ∴－≤－2或－≥， 解得0<m≤或－≤m<0； 当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点， ∴实数m的取值范围为－≤m≤. 8．对任意的实数λ，点P(－2,2)到直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0的距离d的取值范围为____________． 答案　[0,4] 解析　由题意，直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0，即2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0， 由解得 所以直线过定点Q(2，－2)， 当PQ垂直于直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0时，d取得最大值＝4， 当直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0过点P时，d取得最小值0， 所以d的取值范围为[0,4]． 9．直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，△OAB的面积为12(O为坐标原点)，则直线l的方程为________________. 答案　2x＋3y－12＝0 解析　方法一　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 则有＋＝1，且ab＝12，解得a＝6，b＝4. 所以所求直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0. 方法二　设直线l的方程为 y－2＝k(x－3)(k<0)， 令x＝0，得y＝2－3k，则2－3k>0； 令y＝0，得x＝3－，则3－>0. 所以S△OAB＝(2－3k)＝12， 解得k＝－. 故所求直线l的方程为y－2＝－(x－3)， 即2x＋3y－12＝0. 三、解答题 10．直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点． (1)当PA·PB最小时，求l的方程； (2)当OA＋OB最小时，求l的方程． 解　依题意知l的斜率存在，且斜率为负． 设l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)． 令y＝0，可得x＝1－，则A， 令x＝0，可得y＝4－k，则B(0,4－k)． (1)PA·PB＝·＝－(1＋k2)＝－4≥8(k<0)， 当且仅当＝k，即k＝－1时，PA·PB取最小值，这时l的方程为x＋y－5＝0. (2)OA＋OB＝＋(4－k)＝5－≥9(k<0)， 当且仅当k＝，即k＝－2时，OA＋OB取最小值，这时l的方程为2x＋y－6＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $