第3练 两条直线的交点与平面上的距离（午练半小时）（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

第3练　两条直线的交点与平面上的距离 一、选择题 1．已知直线l1：ax＋by＋a＝0，l2：x＋ay＋b＝0，若l1∥l2，且这两条直线间的距离为1，则点P(a，b)到坐标原点的距离为(　　) A．2 B．3 C．12 D．27 答案　A 解析　由题意可知，a≠0，因为l1∥l2， 所以a2＝b， 又直线l2的方程可化为ax＋a2y＋ab＝0，则两条直线间的距离d＝＝1， 解得a2＝3，b＝3，所以点P(a，b)到坐标原点的距离为＝2. 2．若两条平行直线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，则它们之间的距离d满足的条件是(　　) A．0<d≤5 B．0<d≤13 C．0<d<12 D．5≤d≤12 答案　B 解析　当两平行直线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为＝13， 所以0<d≤13. 3．已知正方形的一组对边所在直线的方程分别为2x＋3y＋2＝0和2x＋3y＋4＝0，另一组对边所在直线的方程分别为6x－4y＋c1＝0和6x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　) A．4 B. C．2 D. 答案　A 解析　直线2x＋3y＋2＝0与直线2x＋3y＋4＝0之间的距离d1＝＝， 直线6x－4y＋c1＝0与直线6x－4y＋c2＝0之间的距离d2＝＝|c1－c2|， 又由正方形可知d1＝d2，即＝|c1－c2|， 解得|c1－c2|＝4. 4.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，要想让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中．如图，现有一目标球从点A(－2,3)无旋转射入，经过直线y＝1(桌边)上的点P反弹后，经过点B(5,7)，则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　点A(－2,3)关于y＝1对称的点为A′(－2，－1)， ∴直线A′B的方程为＝，即8x－7y＋9＝0，由得 ∴点P的坐标为. 5．(多选)已知点P是直线3x－4y＋5＝0上的动点，定点Q(1,1)，则下列说法正确的是(　　) A．线段PQ的长度的最小值为 B．当PQ最短时，直线PQ的方程是3x＋4y－7＝0 C．当PQ最短时，点P的坐标为 D．线段PQ的长度可能是 答案　AC 解析　当PQ垂直于直线3x－4y＋5＝0时，PQ最短，点Q到直线的距离为＝，故A正确；由选项A知PQ长度的取值范围为，又<，故D错误；当PQ最短时，kPQ＝－，此时直线PQ的方程是y－1＝－(x－1)，即4x＋3y－7＝0，故B错误；联立 解得即P，故C正确． 二、填空题 6．已知△ABC中，点A(1,1)，B(4,2)，C(－4,6)，则△ABC的面积为________． 答案　10 解析　由两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－8＝0， 由点A到直线的距离公式得BC边上的高d＝＝， 点B和点C之间的距离为＝4， ∴△ABC的面积为×4×＝10. 7．已知点A(1，－2)，B(5,6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为__________． 答案　－2或－1 解析　∵A(1，－2)，B(5,6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等， ∴＝， 解得a＝－2或a＝－1. 8．在直线x＋3y＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x＋3y＋2＝0的距离相等，则此点的坐标是__________． 答案　或 解析　由题意可设所求点的坐标为(－3a，a)， 因为直线x＋3y＝0与直线x＋3y＋2＝0平行， 所以两平行线间的距离为＝， 根据题意有＝， 解得a＝±， 所以所求点的坐标为或. 9．若直线l1：ax＋2y－10＝0与直线l2：2x＋(a＋3)y＋5＝0平行，则l1与l2之间的距离为________． 答案　 解析　∵直线l1：ax＋2y－10＝0与直线l2：2x＋(a＋3)y＋5＝0平行， ∴＝≠，解得a＝1， ∴直线l1：x＋2y－10＝0，即2x＋4y－20＝0， 直线l2：2x＋4y＋5＝0. ∴l1与l2之间的距离为d＝＝. 三、解答题 10．已知直线l1：(1＋2λ)x＋(1＋λ)y＋2－λ＝0(λ为实数)，直线l2：x＋2y＋2＝0. (1)当l1∥l2时，求λ的值； (2)过点P(－2，－1)作直线l2的垂线，垂足为Q，求点Q到直线l1的距离的最大值． 解　(1)当l1∥l2时，有2(1＋2λ)－(1＋λ)＝0，解得λ＝－. 经检验，当λ＝－时，l1与l2不重合， 所以λ＝－. (2)l2：x＋2y＋2＝0的斜率为－， 过点P(－2，－1)与直线l2垂直的直线方程为y＋1＝2(x＋2)，即2x－y＋3＝0， 联立方程解得 即Q， 直线l1：(1＋2λ)x＋(1＋λ)y＋2－λ＝0，即λ(2x＋y－1)＋(x＋y＋2)＝0， 联立 解得 所以直线l1恒过点R(3，－5)， 要使点Q到直线l1的距离的最大，只需线段QR垂直于直线l1， 此时点Q到直线l1的距离的最大值为QR＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $