第2练 两条直线的平行与垂直（午练半小时）（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

第2练　两条直线的平行与垂直 一、选择题 1．已知三角形的三个顶点A(4,3)，B(－1,2)，C(1，－3)，则△ABC的高CD所在的直线方程是(　　) A．5x＋y－2＝0 B．x－5y－16＝0 C．5x－y－8＝0 D．x＋5y＋14＝0 答案　A 解析　由斜率公式可得kAB＝＝，因为CD⊥AB，所以kCD＝－5， 所以直线CD的方程为y＋3＝－5(x－1)，即5x＋y－2＝0. 2．“a＝－1”是“直线x＋ay＋6＝0和直线(a－2)x＋3y＋2a＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　C 解析　直线x＋ay＋6＝0和直线(a－2)x＋3y＋2a＝0平行， 由a(a－2)－3＝0，解得a＝3或a＝－1， 又因为当a＝3时，两直线重合，故舍去， 所以“a＝－1”是“直线x＋ay＋6＝0和直线(a－2)x＋3y＋2a＝0平行”的充要条件． 3．若点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，则l的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．2x－2y＋1＝0 D．2x＋y－2＝0 答案　A 解析　∵点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称， ∴直线l为线段AB的垂直平分线， 又AB的中点坐标为，AB的斜率为＝－1， ∴直线l的斜率为1，即直线l的方程为y－＝x－， 化简可得x－y＋1＝0. 4．已知a，b均为正实数，且直线ax＋by－6＝0与直线(b－3)x－2y＋5＝0互相垂直，则2a＋3b的最小值为(　　) A．12 B．13 C．24 D．25 答案　D 解析　由两直线互相垂直可得a(b－3)－2b＝0，即2b＋3a＝ab，则＋＝1. 又a，b为正实数， 所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2·＝25， 当且仅当a＝b时取等号， 故2a＋3b的最小值为25. 5．(多选)已知直线l1：(a＋2)x＋3y＋4＝0，l2：x＋ay－4＝0，则(　　) A．直线l1恒过定点，直线l2恒过定点(4,0) B．若l1与l2互相平行，则a＝－3或1 C．若l1⊥l2，则a＝－ D．若l1不经过第二象限，则a≤－2 答案　ACD 解析　对于A，l1的方程可整理为ax＋(2x＋3y＋4)＝0， 令 解得 ∴直线l1恒过定点； 令l2方程中的 解得 ∴直线l2恒过定点(4,0)，A正确； 对于B，若l1∥l2，则 解得a＝1，B错误； 对于C，若l1⊥l2，则a＋2＋3a＝0， 解得a＝－，C正确； 对于D，直线l1的方程可整理为y＝－x－， 若l1不经过第二象限，则－≥0， 解得a≤－2，D正确． 二、填空题 6．若直线l2：kx＋3y＋3＝0与l1：x＋(4－k)y＋1＝0平行，则k的值为________． 答案　1 解析　由已知得，1×3－(4－k)k＝0，即k2－4k＋3＝0，解得k＝1或k＝3.当k＝1时，l1：x＋3y＋1＝0，l2：x＋3y＋3＝0，两直线平行；当k＝3时，l1：x＋y＋1＝0，化简后得l2：x＋y＋1＝0，两直线重合，舍去．所以k＝1. 7．在直角梯形ABCD中，已知点A(－5，－10)，B(15,0)，C(5,10)，AD是腰且垂直于两底边，则顶点D的坐标为________． 答案　(－11,2) 解析　设点D(x，y)，由条件可知，DC∥AB，DA⊥AB，所以＝，×＝－1，解得x＝－11，y＝2.故顶点D的坐标为(－11,2)． 8．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为________． 答案　－4 解析　因为直线l1与直线l2互相垂直， 所以2a＋4×(－5)＝0，解得a＝10， 所以l1：10x＋4y－2＝0， 因为垂足(1，c)在l1上，所以10＋4c－2＝0，解得c＝－2， 再由垂足(1，－2)在l2上可得2＋10＋b＝0，解得b＝－12， 所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4. 9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心和垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高所在直线的交点)依次位于同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(－1,2)，C(3,4)，且AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为________________． 答案　2x＋y－5＝0 解析　△ABC的顶点B(－1,2)，C(3,4)， ∴线段BC的中点为M(1,3)， kBC＝＝， ∴线段BC的垂直平分线方程为y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0. ∵AB＝AC， ∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上， 因此△ABC的欧拉线方程为2x＋y－5＝0. 三、解答题 10. 如图，已知△ABC的顶点分别为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求： (1)直线AB的方程； (2)AB边上的高所在直线的方程； (3)与AB边平行的中位线所在直线的方程． 解　(1)∵kAB＝＝3， ∴直线AB的方程为y＝3x－2， 即3x－y－2＝0. (2)由(1)可设AB边上的高所在直线的方程为y＝－x＋m， 由该直线过点C(－2,3)，得3＝＋m， 解得m＝， 故所求直线的方程为y＝－x＋，即x＋3y－7＝0. (3)AB边的中位线与AB平行且过AC的中点， ∴AB边的中位线所在直线的方程为y＝3x＋，即6x－2y＋7＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $