第4章 习题课 利用递推公式构造等差、等比数列求通项公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

习题课　利用递推公式构造等差、等比数列求通项公式 [学习目标]　1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法.2.会用构造法解决一些简单的问题． 一、利用递推公式构造等差数列求通项公式 例1　已知数列满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列的通项公式． 解　因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，得＝＋1，即－＝1，所以是以为首项，1为公差的等差数列，即＝＋(n－1)×1，所以an＝×2n. 延伸探究　 1．本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余不变，求数列的通项公式． 解　等式两边同时除以2n，得＝＋2，即－＝2，所以是以为首项，2为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×2， 即an＝×2n. 2．本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n－1”，其余不变，求数列的通项公式． 解　等式两边同时除以2n，得＝＋，即－＝，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×， 即an＝n×2n－1. 反思感悟　形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤 第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，目的是使数列的下标与p的指数相对应． 第二步：写出数列的通项公式． 第三步：写出数列的通项公式． 跟踪训练1　已知数列满足＝＋，且a1＝1，求数列的通项公式． 解　等式两边同乘2n，得＝＋1，即－＝1，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1，即an＝. 二、利用递推公式构造等比数列求通项公式 例2　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求{an}的通项公式． 解　∵an＋1＝2an＋1，令an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，∴t＝1， 即an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1. 延伸探究　　已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1，求an. 解　令an＋1－A·n＋1＝， 则an＋1＝an＋·n＋1. 由已知条件知＝1，得A＝3， 所以an＋1－3×n＋1＝. 又a1－3×1＝－≠0， 所以是首项为－，公比为的等比数列． 于是an－3×n＝－×n－1， 故an＝3×n－2×n. 反思感悟　(1)形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)的递推关系可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步：由待定系数法，解得t＝； 第三步：写出数列的通项公式； 第四步：写出数列{an}的通项公式． (2)形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an＋1＝pan＋q求通项公式的步骤，要注意数列的下标与q的指数的对应关系． 跟踪训练2　(1)已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明：数列{an＋4}是等比数列．并求数列{an}的通项公式． 解　∵a1＝－2，∴a1＋4＝2. ∵an＋1＝2an＋4， ∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)， ∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋4＝2×2n－1＝2n， 即an＝2n－4. (2)已知数列满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，求数列的通项公式． 解　由题意，令an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)， 即an＋1＝3an＋A·2n，故A＝2， 所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)， 所以是以5为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n＋1＝5·3n－1，即an＝5·3n－1－2n＋1. 1．知识清单： (1)形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式． (2)形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式． (3)形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式． 2．方法归纳：构造法． 3．常见误区：构造的新的数列的首项误认为还是a1. 1．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4，则a2 023的值为(　　) A．32 021 B．32 021＋2 C．32 022＋2 D．32 022－2 答案　C 解析　因为an＋1＝3an－4，令an＋1＋t＝3(an＋t)，即an＋1＝3an＋2t，所以2t＝－4，t＝－2，即an＋1－2＝3(an－2)，所以{an－2}是以a1－2＝1为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n－1，an＝3n－1＋2，所以a2 023＝32 022＋2. 2．已知数列满足a1＝3，an＝3an－1－3n，则数列的通项公式是(　　) A．an＝－n B．an＝n C．an＝(2－n)·3n D．an＝n·3n 答案　C 解析　因为an＝3an－1－3n，所以－＝－1，故是以1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝1－(n－1)＝2－n，即an＝(2－n)·3n. 3．已知数列满足an＋1＝2an＋3·5n，a1＝6，则数列的通项公式为(　　) A．an＝2n－1＋5n B．an＝2n－1－5n C．an＝2n－1 D．an＝21n－15 答案　A 解析　设an＋1＋x·5n＋1＝2， 将an＋1＝2an＋3·5n代入上式， 得2an＋3·5n＋x·5n＋1＝2an＋2x·5n， 解得x＝－1， 故an＋1－5n＋1＝2， 又a1－51＝6－5＝1， 则数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以an－5n＝2n－1，所以an＝2n－1＋5n. 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝_______. 答案　47 解析　∵an＋1＝Sn＋1(n∈N*)， 即Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)， ∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)， ∴数列{Sn＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2. 则S5＋1＝3×24，解得S5＝47. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．已知数列满足an＋1＝kan－1，若数列是等比数列，则k等于(　　) A．1 B．－1 C．－2 D．2 答案　D 解析　由an＋1＝kan－1，得an＋1－1＝kan－2＝ k. 由于数列{an－1}是等比数列， ∴＝1，得k＝2. 2．已知Sn为数列的前n项和，S2＝4，Sn＋1＝2Sn，n∈N*，则a2 023等于(　　) A．22 023 B．42 023 C．42 022 D．22 022 答案　D 解析　由S2＝4，Sn＋1＝2Sn可知，S1＝2，＝2， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 其通项公式Sn＝2×2n－1＝2n， 所以a2 023＝S2 023－S2 022＝22 023－22 022＝22 022×＝22 022. 3．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的通项公式an等于(　　) A．2n B．n(n＋1) C. D. 答案　C 解析　∵an＋1＝an＋， ∴2n＋1an＋1＝2nan＋2， 即2n＋1an＋1－2nan＝2. 又21a1＝2， ∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n， ∴an＝. 4．已知数列满足：a1＝2，an＋1＝3an＋2，则的通项公式为(　　) A．an＝2n－1 B．an＝3n－1 C．an＝22n－1 D．an＝6n－4 答案　B 解析　由an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3， 所以数列是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列，所以an＋1＝3×3n－1＝3n， 所以an＝3n－1. 5．将一些数排成倒三角形，如图所示，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2 023，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于(　　) 1　2　3　…　2 021　2 022　2 023 3　5　7　…　4 043　4 045 8　12　…　　　8 088 …　　　　… … M A．2 023×22 020 B．2 024×22 021 C．2 023×22 021 D．2 024×22 022 答案　B 解析　记第n行的第一个数为an， 则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2，…， ∴＝＋1，即是以＝2为首项，1为公差的等差数列． ∴＝2＋×1＝n＋1， ∴an＝·2n－2. 又每行比上一行少1个数字， ∴最后一行为第2 023行， ∴M＝a2 023＝2 024×22 021. 6．(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是(　　) A．数列{Sn＋n}为等比数列 B．数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1 C．数列{an＋1}为等比数列 D．数列{Sn－Sn－1＋1}(n≥2)为等比数列 答案　AD 解析　因为Sn＋1＝2Sn＋n－1，所以＝＝2.又S1＋1＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； 所以Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，但a1≠21－1－1，故B错误； 由a1＝1，a2＝1，a3＝3可得a1＋1＝2，a2＋1＝2，a3＋1＝4，即≠，故C错误； 因为Sn＝2n－n，所以Sn－Sn－1＋1＝2n－n－2n－1＋n－1＋1＝2n－1，故D正确． 7．(5分)在数列{an}中，a1＝3，nan＋1＝(n＋1)an＋2n(n＋1)，则an＝________. 答案　n(2n＋1) 解析　由题意，等式两边同时除以n(n＋1)可得 ＝＋2，即－＝2，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，所以＝3＋2(n－1)＝2n＋1，即an＝n(2n＋1)． 8．(5分)《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．依此类推，假设n个月后共有an只老鼠，则a12＝________. 答案　2×712 解析　设n个月后共有an 只老鼠，且雌雄各半， 所以n＋1 个月后老鼠的只数an＋1 满足an＋1＝an＋12×(n∈N*)， 所以an＋1＝an＋6an， 即an＋1＝7an(n∈N*)， 又因为a1＝14≠0，所以＝7， 所以数列是以14为首项，7为公比的等比数列， 所以an＝a1qn－1＝14×7n－1＝2×7n， 即an＝2×7n(n∈N*)， 当n＝12时，a12＝2×712. 9．(10分)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值；(4分) (2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．(6分) (1)解　因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4， 解得a1＝3. (2)证明　因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋n－1－4， Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)， 即an＝2an－1－1， 所以an－1＝2(an－1－1)， 又bn＝an－1， 所以bn＝2bn－1， 且b1＝a1－1＝2≠0， 所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． 10．(12分)某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资才能保持原有的利润增长率．问至少要经过多少年，该项目的资金才可以实现翻两番(4倍)的目标？(结果取整数，lg 2≈0.301) 解　设该项目n年后资金数为an，n∈N*. 则由已知得an＋1＝an－200， 即an＋1＝an－200. 令an＋1－x＝，即an＋1＝an－， 由＝200，得x＝800. ∴an＋1－800＝. 故数列是以a1－800为首项，为公比的等比数列． ∵a1＝1 000×－200＝1 050， ∴a1－800＝250， ∴an－800＝250×n－1， ∴an＝800＋250×n－1(n∈N*)， 由题意知an≥4 000，∴800＋250×n－1≥4 000， 即n≥16. 两边取常用对数得nlg≥lg 16， 即n≥4lg 2. ∵lg 2≈0.301，∴不等式化为0.097n≥1.204， 当n＝12时，0.097×12<1.204，当n＝13时，0.097×13>1.204， 故至少要经过13年，该项目资金才可以实现翻两番的目标． 11．已知数列的前n项和为Sn，且Sn＝an＋1＋n－2，n∈N*，a1＝2，则的通项公式为(　　) A．an＝2n－1－1 B．an＝2n－1 C．an＝2n－1＋1 D．an＝2n 答案　C 解析　由Sn＝an＋1＋n－2，① 得Sn－1＝an＋n－3(n≥2)，② 由①－②可得an＋1＝2an－1(n≥2)， 所以an＋1－1＝2(an－1)(n≥2)， 又S1＝a2＋1－2，a1＝2，则a2＝3， 即a2－1＝2(a1－1)， 因此是以a1－1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以an－1＝2n－1，即an＝2n－1＋1. 12．在数列中，a1＝5，且满足－2＝，则数列的通项公式为(　　) A．an＝2n－3 B．an＝2n－7 C．an＝(2n－3)(2n－7) D．an＝2n－5 答案　C 解析　因为－2＝， 所以－＝2， 又＝－1，所以数列是以－1为首项，2为公差的等差数列， 所以＝－1＋2＝2n－3， 所以an＝. 13．已知数列满足a1＝1，an＋1＝.若bn＝log2，则数列的通项公式为(　　) A．bn＝n B．bn＝n－1 C．bn＝n D．bn＝2n 答案　C 解析　由an＋1＝，得＝1＋， 所以＋1＝2， 又＋1＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以＋1＝2·2n－1＝2n， 所以bn＝log2＝log22n＝n. 14．(5分)若数列满足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，则a6＝________. 答案　2 016 解析　因为an＋1＝4an＋2n， 所以an＋1＋2n＝4， 所以数列是首项为2，公比为4的等比数列，则an＋2n－1＝2×4n－1＝22n－1， 可得an＝22n－1－2n－1， 则a6＝22×6－1－26－1＝211－25＝2 016. 15．(5分)在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第m次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，则数列的前n项和为______________． 答案　 解析　an＝log2， 所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2] ＝log2(12·x·x·x…·x·22)＝3an－1， 所以an＋1－＝3， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以an－＝×3n－1，∴an＝， 所以Sn＝×＋＝. 16．(12分)设α，β是关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)的两根，且满足6α－2αβ＋6β＝3. (1)试用an表示an＋1；(3分) (2)求证：是等比数列；(4分) (3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．(5分) (1)解　根据根与系数的关系，得 代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3， 得－＝3. 所以an＋1＝an＋. (2)证明　因为an＋1＝an＋， 所以an＋1－＝. 若an＝，则方程anx2－an＋1x＋1＝0， 可化为x2－x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0. 此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0， 所以an≠，即an－≠0. 所以数列是以为公比的等比数列． (3)解　当a1＝时， a1－＝， 所以数列是首项为， 公比为的等比数列． 所以an－＝×n－1＝n， 所以an＝＋n，n∈N*， 即数列{an}的通项公式为an＝＋n，n∈N*. 学科网（北京）股份有限公司 $