第4章 4.3.3 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦等比数列前n项和的性质及应用这一核心知识点，通过类比等差数列性质引入，系统梳理奇数项和与偶数项和的关系（如项数2n时S偶=qS奇，2n+1时S奇=a1+qS偶）、片段和性质（Sm+n=Sm+q^m Sn，Sn、S2n-Sn、S3n-S2n成等比数列），并结合实际问题应用，构建从性质探究到实际解题的学习支架。 资料以问题驱动引导学生类比推理，如通过问题1类比等差数列奇偶项和性质，培养推理意识与创新意识。融入《算法统宗》等古代数学问题，让学生用数学语言解释现实情境，提升应用意识。例题与跟踪训练层次分明，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固性质应用，弥补知识薄弱点。

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [学习目标]　1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 导语 同学们，前面我们就用等差数列的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质． 一、等比数列奇数项和、偶数项和的性质 问题1　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示　若等比数列的项数有2n项，则 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1， 容易发现两个式子中对应项之间存在联系，即 S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. 若等比数列的项数有2n＋1项， 则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1， 从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶． 知识梳理 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则 ①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)； S奇＝a1＋qS偶． 例1　(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________. 答案　2 解析　由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80， ∴S奇＝－80，S偶＝－160， ∴q＝＝2. (2)若等比数列共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为________． 答案　300 解析　由＝2，S偶－S奇＝100，可知S偶＝200，S奇＝100，故S2n＝300. 反思感悟　处理等比数列奇数项和与偶数项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这两个隐含条件；若等比数列共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这两个隐含条件．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质． 跟踪训练1　(1)若等比数列共有2n＋1项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________． 答案　2　9 解析　由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2， S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9. (2)已知项数为偶数的等比数列{an}所有项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式为an＝________. 答案　12×n－1 解析　设数列{an}的首项为a1，公比为q， 所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶， 由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶， 因为数列{an}的项数为偶数， 所以有公比q＝＝. 又因为a1·a1q·a1q2＝64， 所以a·q3＝64， 即a1＝12， 故所求通项公式为an＝12×n－1. 二、等比数列中的片段和性质 问题2　你能否用等比数列中的Sm，Sn来表示Sm＋n? 提示　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm ＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm. 问题3　类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ 提示　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝. S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－＝， 而2＝2，Sn(S3n－S2n)＝×， 故有2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 知识梳理 1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 2．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 注意点： 等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 解　方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 ②÷①得1＋qn＝，即qn＝，③ ③代入①得＝64， ∴S3n＝＝64＝63. 方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列， ∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， ∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63. 方法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝， ∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×2＝63. 反思感悟　处理等比数列片段和有关问题的常用方法 充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列等重要性质，能有效减少运算，提升解题速度和准确率．运用性质时应注意公比是否为－1.此类问题也可以利用基本量计算求解，但运算量一般很大． 跟踪训练2　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 答案　C 解析　由题意得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列． 即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列． ∴a9＋a10＋a11＋a12＝4. 三、等比数列前n项和公式的实际应用 例3　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么此人第一天所走路程里数为(　　) A．96 B．126 C．192 D．252 答案　C 解析　由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有S6＝＝378，解得a1＝192， 所以此人第一天所走路程里数为192. 反思感悟　(1)解应用问题的核心是建立数学模型． (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型，求解数学模型，还原实际问题． (3)注意问题是求什么(n，an，Sn)． 跟踪训练3　我国数学巨著《九章算术》中，有如下问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？其大意为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．1 答案　B 解析　依题意，每天的织布数构成一个公比q＝2的等比数列{an}，其前n项和为Sn，则S5＝5，Sm＝，即S5＝＝5，解得a1＝.所以Sm＝＝，解得m＝3. 1．知识清单： (1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质． (2)等比数列中的片段和性质． (3)等比数列前n项和的实际应用． 2．方法归纳：公式法、分类讨论． 3．常见误区：应用等比数列片段和性质时易忽略其成立的条件． 1．已知等比数列{an}共有32项，其公比q＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是(　　) A．30 B．60 C．90 D．120 答案　D 解析　设等比数列{an}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶＝qS奇＝3S奇，又S奇＋60＝S偶，则S奇＋60＝3S奇，解得S奇＝30，S偶＝90，故数列{an}的所有项之和是30＋90＝120. 2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A．6秒 B．7秒 C．8秒 D．9秒 答案　C 解析　根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列， 设需要n秒细菌可将病毒全部杀死， 则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200， ∴≥200， ∴2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8， 即至少需8秒细菌将病毒全部杀死． 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为________． 答案　3 解析　设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列， ∴S7＝＝381，解得a1＝3. 4．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________． 答案　80 解析　令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60， Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y， 由等比数列前n项和性质知＝q＝， 所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为(　　 ) A．8 B．－2 C．4 D．2 答案　D 解析　由＝q，可知q＝2. 2．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 答案　B 解析　设等比数列的项数为2n，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶， 则q＝＝2，又它的首项为1， 所以通项公式为an＝2n－1， 中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8. 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　) A. B．－ C. D. 答案　A 解析　易知q≠－1， 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6， 且S3，S6－S3，S9－S6成等比数列， 即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1， 即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝. 4．某工厂去年产值为a，计划今后5年每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为(　　) A．1.14a B．11a(1.15－1) C．1.15a D．10a(1.16－1) 答案　B 解析　从今年起到第5年，这个厂的总产值为 a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15＝a×＝11a(1.15－1)． 5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其大意是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们应各偿还多少？其中1斗等于10升，则牛主人应偿还多少升粟？(　　) A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 答案　D 解析　5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的升数分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50， 解得a1＝， 所以牛主人应偿还粟a3＝22a1＝(升)． 6．(多选)记数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，下列四个命题中不正确的有(　　) A．对于∀n∈N*，a＝anan＋2，则数列{an}为等比数列 B．若Sn＝Aqn＋B(非零常数q，A，B满足q≠1，A＋B＝0)，则数列{an}为等比数列 C．若数列{an}为等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等比数列 D．设数列{an}是等比数列，若a1<a2<a3，则{an}为递增数列 答案　AC 解析　对于A，若an＝0，满足对于∀n∈N*，a＝anan＋2，但数列{an}不是等比数列，故A错误； 对于B，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn＋B－(Aqn－1＋B)＝Aqn－1(q－1)且q≠1； 当n＝1时，A＋B＝0，则a1＝S1＝Aq＋B＝A(q－1)，符合上式， 故数列{an}是首项为A(q－1)，公比为q的等比数列，故B正确； 对于C，若数列{an}为等比数列，当公比q＝－1，且n为偶数时， 此时Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均为0，不为等比数列，故C错误； 对于D，设等比数列{an}的公比为q， 若a1<a2<a3，即a1<a1q<a1q2，若a1>0，可得1<q<q2，即q>1，则{an}为递增数列； 若a1<0，可得1>q>q2，即0<q<1，则{an}为递增数列，故D正确． 7．(5分)设等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，则数列{an}的公比为________． 答案　3 解析　由S3＝3，S6－S3＝q3S3，得81＝q3×3，∴q＝3. 8．(5分)为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理城市环境污染，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游总收入的差额为________________万元． 答案　581 解析　根据题意可知，这五年每年的投入金额构成首项为81，公比为的等比数列， 所以这五年的投入资金总额是＝781(万元)； 由题意可知，这五年每年的旅游收入构成首项为20，公差为10的等差数列， 所以这五年的旅游总收入是20×5＋×10＝200(万元)， 所以这五年的投入资金总额与旅游总收入的差额为781－200＝581(万元)． 9．(10分)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数． 解　方法一　设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)． 由已知得a1＝1，q≠1，则 由②÷①，得q＝2， ∴＝85，即4n＝256，∴n＝4. 故公比为2，项数为8. 方法二　∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q， ∴q＝＝＝2. 又Sn＝85＋170＝255，由Sn＝，得＝255， ∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8. 10．(12分)已知等比数列的前n项和为Sn，且满足S3＝7，S6＝63. (1)求数列的通项公式；(6分) (2)若bn＝an＋log2an，求数列的前n项和Tn.(6分) 解　(1)由题意知S6≠2S3，则q≠1， 由等比数列的前n项和的片段知的性质知， q3＝＝＝8，解得q＝2， ∴S3＝＝7，代入q可得a1＝1， ∴an＝2n－1. (2)由(1)知bn＝2n－1＋n－1， ∴Tn＝＋[1＋2＋…＋(n－1)] ＝2n＋－1. 11．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　) A．40 B．60 C．32 D．50 答案　B 解析　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列， 即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列， 因此S12＝4＋8＋16＋32＝60. 12．若数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值等于(　　) A．200 B．120 C．110 D．102 答案　D 解析　因为lg xn＋1＝1＋lg xn， 所以lg xn＋1－lg xn＝lg ＝1，所以＝10， 所以数列是等比数列，公比为10， 所以lg(x101＋x102＋…＋x200) ＝lg ＝lg＝102. 13．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n∈N*)，则Tn的最大值为(　　) A. B. C．1 D．2 答案　D 解析　设数列{an}共有2m＋1项，由题意得 S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝， S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝， 因为项数为奇数时，＝q， 即2＋q＝， 所以q＝. 所以Tn＝a1·a2·…·an ＝aq1＋2＋…＋n－1＝， 故当n＝1或2时，Tn取最大值2. 14．(5分)如图，画一个边长为4 cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，这样一共画了5个正方形，则这5个正方形的面积的和是_______ cm2. 答案　31 解析　记这些正方形的边长为an，则a1＝4，a2＝2，…，故这些正方形的面积是以16为首项，为公比的等比数列，所以这5个正方形的面积的和为S5＝＝32＝31. 15．(5分)设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 答案　1－ 解析　令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)， 又an＝f(n)，∴＝＝f(1)＝a1＝， ∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn＝＝1－. 16．(12分)已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)． 证明　方法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， ∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a， Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a， ∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)． 当q≠1时，Sn＝(1－qn)， S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)， ∴S＋S＝2[(1－qn)2＋(1－q2n)2] ＝2(1－qn)2(2＋2qn＋q2n)． 又Sn(S2n＋S3n)＝2(1－qn)(2－q2n－q3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)， ∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)． 方法二　根据等比数列的性质有 S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)， S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn， ∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2 ＝S(2＋2qn＋q2n)， Sn(S2n＋S3n)＝Sn[Sn(1＋qn)＋Sn＋qnSn＋q2nSn] ＝S(2＋2qn＋q2n)． ∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)． 学科网（北京）股份有限公司 $