第4章 §4.3 4.3.2 等比数列的通项公式（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本高中数学讲义聚焦等比数列的通项公式，从类比等差数列定义推导通项公式入手，系统梳理公式应用、与指数函数的关系、等比中项及判定证明，构建完整知识脉络与学习支架。 资料通过问题驱动（如类比推导公式）培养数学眼光，多方法证明（累乘法、归纳法）发展数学思维，规范解题步骤提升数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后知识清单与分层练习帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

4.3.2　等比数列的通项公式 [学习目标]　1.通过实例，理解等比数列的概念.2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值.3.体会等比数列与指数函数的关系.4.掌握等比数列的判断及证明方法． 一、等比数列的通项公式及应用 问题1　类比等差数列，请根据等比数列的定义推导一下等比数列的通项公式？ 提示　设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)． 方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，即an＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 故等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(n∈N*)． 方法二　a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． 故等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(n∈N*)． 知识梳理 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有an＝a1qn－1(n∈N*)．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比． 例1　在等比数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝8，求an； (2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解　(1)因为a4＝a1q3， 所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1. (2)因为a1＝＝＝5，故a1＝5. (3)因为 由，得q＝，则a1＝32. 又an＝1， 所以32×n－1＝1， 即26－n＝20，故n＝6. 反思感悟　等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解，需要特别注意的是，已知a1，an，n求解q时，需要开方，开方时注意公比q符号的选择． 跟踪训练1　在等比数列{an}中： (1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5； (2)若a4＝2，a7＝8，求an. 解　(1)因为a1＝5，q＝＝－3， 所以a5＝a1q4＝405. (2)因为 所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝. 二、等比数列的通项公式与函数的关系 问题2　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示　由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 知识梳理 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． (2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 例2　已知数列是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列是递增数列”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　D 解析　当a1<0，q>1时，数列为递减数列，即充分性不成立； 当“数列是递增数列”时，可能是a1<0,0<q<1，即必要性不成立．即“q>1”是“数列是递增数列”的既不充分又不必要条件． 反思感悟　判断等比数列{an}的单调性的方法 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列{an}是递增数列． (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列{an}是递减数列． (3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，数列{an}是摆动数列． 跟踪训练2　设是等比数列，则“a1<a2”是“数列是递增数列”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　设等比数列的公比为q，则a1<a2，可得a1(q－1)>0，解得或 此时数列不一定是递增数列； 若数列为递增数列，可得或 所以“a1<a2”是“数列是递增数列”的必要不充分条件． 三、等比中项及应用 知识梳理 等比中项：若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项．此时，G2＝ab. 例3　(1)等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________. 答案　 解析　由题意知a3是a1和a9的等比中项， ∴a＝a1a9， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)， 又d≠0，∴a1＝d， ∴＝＝. (2)在两个数a，b(ab>0)之间插入三个数，使它们成等比数列，则正中间的一个数是________． 答案　或－ 解析　由题意知，所求的中间项是a与b的等比中项，设此数为G，则G2＝ab， ∴G＝±. 若a，b为正数，则G＝， 即正中间的一个数是； 若a，b为负数，则G＝－， 即正中间的一个数是－. 反思感悟　当三个数或某数列中的三项成等比数列时，我们一般考虑使用等比中项来确定各项之间的关系．两个同正或同负的数的等比中项有两个，它们互为相反数，但是我们在取舍时需要结合具体情境判断一下等比中项的符号能否确定． 跟踪训练3　(1)－2和＋2的等差中项与等比中项分别为(　　) A.，±2 B．2，± C.，±1 D．1，± 答案　C 解析　－2和＋2的等差中项为＝， －2和＋2的等比中项为±＝±1. (2)已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 答案　B 解析　∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9. 四、等比数列的判定与证明 例4　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)． ①求a1，a2； ②求证：数列{an}是等比数列． ①解　由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)， 解得a1＝－. 又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)， 解得a2＝. ②证明　当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得＝－.又a1＝－， ∴{an}是首项为－，公比为－的等比数列． (2)已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． 解　依题意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是bn＝3－n. 则＝＝－1＝2. ∴数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝×2n－1＝2n－3. 反思感悟　判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n∈N*且n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列，注意两个式子中n的范围有所区别． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝kqn(a1≠0，q≠0)的形式，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若a＝anan＋2(an≠0) 对任意n∈N*都成立，则数列{an}为等比数列． 跟踪训练4　(1)若a，b，c成等比数列，其中a，b，c均是不为1的正数，n是大于1的整数，那么logan，logbn，logcn(　　) A．是等比数列 B．是等差数列 C．每项取倒数成等差数列 D．每项取倒数成等比数列 答案　C 解析　因为a，b，c成等比数列，可知logna，lognb，lognc成等差数列，即，，成等差数列． (2)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．证明：数列是等比数列． 证明　由a1＝1，an＋1＝Sn，得an>0，Sn>0. 由an＋1＝Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn， 得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn， 所以＝2·， 因为＝＝1≠0， 所以＝2. 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列． 1．知识清单： (1)等比数列的通项公式及应用． (2)等比数列的通项公式与函数的关系． (3)等比中项及应用． (4)等比数列的判定与证明． 2．方法归纳：公式法、构造法． 3．常用误区：利用定义式＝q判定或证明等比数列时往往忽视对起始项的验证． 1．若为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列是递增数列”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　若等比数列是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立； 反之，例如数列，此时满足a1<a3<a5，但数列不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列是递增数列”的必要不充分条件． 2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　) A．4 B．8 C．6 D．32 答案　C 解析　由等比数列的通项公式得128＝4×2n－1，即2n－1＝32，所以n＝6. 3．在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7等于(　　) A．－4 B．±4 C．－2 D．±2 答案　A 解析　因为a4是a1与a7的等比中项， 所以a＝a1a7， 即64＝－16a7，故a7＝－4. 4．在数列中，a1＝2,2an＋1＝an，则a6＝________. 答案　 解析　∵2an＋1＝an，a1＝2，∴＝，∴是等比数列，公比为q＝. ∴a6＝a1q5＝2×5＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．数列1，－，，－，，…的一个通项公式为(　　) A.n－1 B.n C.nn－1 D.n＋1n－1 答案　D 解析　根据题意可知，该数列是一个以1为首项，－为公比的等比数列， 所以该数列的通项公式为1×n－1＝n＋1×n－1. 2．已知数列{an}为等比数列，a2＝3，a5＝，则a1等于(　　) A．2 B. C. D. 答案　A 解析　设等比数列{an}的公比为q，由已知可得 解得 3．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于(　　) A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n 答案　A 解析　设公比为q，则a1q4＝－8a1q， 又a1≠0，q≠0， 所以q3＝－8，q＝－2， 又a5＞a2， 所以a2＜0，a5＞0， 从而a1＞0，即a1＝1， 故an＝(－2)n－1. 4．已知等比数列的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列为递减数列”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　若q<0，则等比数列为摆动数列，由于等比数列为递减数列，则q>0. 若a1>0，则an＝a1qn－1>0，又an＋1<an， 所以q<1； 所以a1>0，等比数列为递减数列⇔0<q<1， 所以若a1>0，“q<1”是“等比数列为递减数列”的必要不充分条件． 5．(多选)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为(　　) A．－4 B．4 C．－ D. 答案　AB 解析　由题意可得，a2＝，a3＝，a4＝1，a5＝2，a6＝4，a7＝8，a8＝16，设a4与a8的等比中项为x，则x2＝16，所以x＝±4. 6．已知各项为正的数列满足a1＝1，an＋1＝2an.若am≤128，则正整数m的最大值是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　由a1＝1，an＋1＝2an，可得＝2， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以an＝a1qn－1＝2n－1， 若am≤128，则2m－1≤128，解得m－1≤7， 所以m≤8， 则正整数m的最大值是8. 7．(5分)数列中，a1＝，am＋n＝aman，则a6＝____________. 答案　 解析　由于∀m，n∈N*，有am＋n＝aman，且a1＝，令m＝1，则an＋1＝a1an＝an，即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以an＝a1qn－1＝×n－1＝n， 故a6＝6＝. 8．(5分)已知{an}是首项为1，公比为q的等比数列，且4a1,2a2，a3成等差数列，则q＝__________. 答案　2 解析　由条件可知4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2， 即q2－4q＋4＝0，所以q＝2. 9．(10分)在等比数列{an}中： (1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；(5分) (2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．(5分) 解　(1)∵＝＝q4＝4， ∴q2＝2，又q>0，∴q＝， ∴an＝a3qn－3＝4×()n－3＝. (2)∵a3＝a1×q2，即8＝2q2， ∴q2＝4，∴q＝±2. 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n， 当q＝－2时， an＝a1qn－1＝2(－2)n－1 ＝(－1)n－12n， ∴数列{an}的公比为2或－2， 对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n. 10．(12分)已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列． 证明　由已知，得2a2＝a1＋a3，① a＝a2a4，② ＝＋.③ 由③得＝， ∴a4＝.④ 由①得a2＝.⑤ 将④⑤代入②，得a＝·. ∴a3＝， 即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)． 化简，得a＝a1a5. 又a1，a3，a5均不为0， ∴a1，a3，a5成等比数列． 11．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于(　　) A．31.5 B．160 C．79.5 D．159.5 答案　C 解析　∵1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1＝5·2n－1， ∴1＋2a6＝5×25， ∴a6＝＝79.5. 12．若a，b，c为实数，数列－1，a，b，c，－25是等比数列，则b的值为(　　) A．5 B．－5 C．±5 D．－13 答案　B 解析　设等比数列的公比为q， 则a2＝－b>0, 故b<0， 根据b是－1和－25的等比中项有b2＝(－1)×(－25)＝25，解得b＝－5. 13．已知数列是等比数列，则方程组的解的情况为(　　) A．唯一解 B．无解 C．无穷多组解 D．不能确定 答案　C 解析　由题意可得数列是等比数列，即＝＝， 所以直线a1x＋a2y＝a3与a4x＋a5y＝a6重合， 所以方程组的解的个数为无穷多组解． 14．(5分)一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝__________. 答案　 解析　由题意得an＝an＋1＋an＋2， 所以1＝q＋q2，即q2＋q－1＝0， 解得q＝或q＝(舍去)． 15．已知各项均为正数的等比数列满足a10＋a9＝6a8，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(　　) A．4 B. C. D．9 答案　C 解析　∵各项均为正数的等比数列满足a10＋a9＝6a8， 可得a8q2＋a8q＝6a8，即q2＋q－6＝0， 解得q＝2或q＝－3(舍去)． ∵＝4a1， ∴2m＋n－2＝16， ∴m＋n＝6， ∴＋＝(m＋n) ＝≥＝. 当且仅当＝，即m＝2，n＝4时，等号成立． 故 ＋的最小值等于. 16．(12分)设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值范围．(6分) 解　(1)设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1. 由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2， 解得q＝或q＝(舍去)， 所以an＝8×n－1＝24－n，n∈N*. (2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n， 由bn＞bn＋1， 得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n， 即λ＜n＋1， 所以λ＜(n＋1)min＝2， 故实数λ的取值范围为(－∞，2)． 学科网（北京）股份有限公司 $