第3章 再练一课(范围：§3.1)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

再练一课(范围：§3.1) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．已知F1，F2是定点，F1F2＝8，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 答案　A 解析　因为MF1＋MF2＝10>F1F2，所以点M的轨迹是椭圆． 2．已知点A，B是椭圆C：＋＝1上关于原点对称的两点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若AF1＝2，则BF1等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 答案　C 解析　因为OA＝OB，OF1＝OF2， 所以四边形AF1BF2是平行四边形． 所以BF1＝AF2. 由椭圆的定义得AF2＝2×3－AF1＝6－2＝4. 所以BF1＝4. 3．(2023·新高考全国Ⅰ)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由e2＝e1，得e＝3e， 因此＝3×， 而a>1，所以a＝. 4．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1或x2＋＝1 答案　D 解析　由题可知b2＝a2－c2＝1，当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋x2＝1. 5．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对 答案　C 解析　直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)． 当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)． 由题意知，c＝2，b＝1， ∴a2＝5， ∴椭圆的标准方程为＋y2＝1； 当焦点在y轴上时， 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意知，b＝2，c＝1， ∴a2＝5. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 6．直线y＝2x与椭圆C：＋＝1(a>b>0)的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为(　　) A.－1 B. C.－1 D. 答案　A 解析　设在第一象限的交点为A，右焦点为F(c,0)，如图， 根据题意得AF⊥x轴，A在椭圆上， 由＋＝1， 解得yA＝，则A，又A在直线y＝2x上，则A(c,2c)， 所以2c＝，b2＝2ac，a2－c2＝2ac， 所以e2＋2e－1＝0，又0<e<1， 解得e＝－1. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．无论k为何值，直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1的交点情况有可能为(　　) A．没有公共点 B．一个公共点 C．两个公共点 D．无法确定 答案　BC 解析　因为y＝kx＋2过定点(0,2)，且椭圆＋＝1的上顶点也为(0,2)， 所以当直线的斜率为0时，直线与椭圆相切，仅有一个公共点； 当直线的斜率不为0时，直线与椭圆有两个公共点． 8．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值可能为(　　) A．－21 B．21 C．－ D. 答案　BC 解析　当椭圆的焦点在x轴上时，9>4＋k，即k<5.则a2＝9， b2＝4＋k，得c2＝5－k. 由＝＝，得k＝－； 当焦点在y轴上时，9<4＋k，即k>5，则a2＝4＋k，b2＝9， 得c2＝k－5. 由＝＝，得k＝21. 9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆相交于A，B两点．若AF＋BF＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值可以是(　　) A. B. C. D. 答案　ACD 解析　设椭圆的左焦点为F′，P为短轴的上端点，连接AF′，BF′，如图所示． 由椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，则OA＝OB， 又OF′＝OF，∴四边形AFBF′为平行四边形， ∴AF＝BF′， 又AF＋BF＝BF＋BF′＝2a＝6，解得a＝3， 点P到直线l距离d＝≥， 解得b≥2，即＝≥2， ∴0<c≤， ∴e＝∈. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______________． 答案　＋＝1 解析　由已知得，焦点在x轴上且c＝2，a＝2b，所以4b2－b2＝12， 所以所以椭圆的标准方程为＋＝1. 11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是________． 答案　 解析　设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程， 由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝＝. 12．已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为________． 答案　 解析　由椭圆＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4. 设PF1＝m，PF2＝n， ∴m＋n＝10，在△PF1F2中， 由余弦定理可得(2c)2＝m2＋n2－2mn·cos∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mn·， 可得64＝100－mn， 得mn＝， 故＝mn·sin∠F1PF2＝××＝. 四、解答题(共37分) 13．(12分)已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程；(5分) (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．(7分) 解　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)， 设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)， 设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±. 又＋y＝1，所以x＝，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，. 14．(12分)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A(，1)在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B，C两点． (1)求椭圆M的方程；(4分) (2)求△ABC面积的最大值．(8分) 解　(1)由题意知解得b＝. 故所求椭圆M的方程为＋＝1. (2)设直线l的方程为y＝x＋m，则m≠0. 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 把直线l的方程代入椭圆方程并化简得x2＋mx＋m2－2＝0， 由Δ＝2m2－4(m2－2)＝2(4－m2)>0， 可得0<m2<4.① 不妨取x1＝， x2＝. 故BC＝|x1－x2| ＝×＝， 又点A到边BC的距离为d＝， 故S△ABC＝BC·d＝×＝×≤×＝， 当且仅当m2＝4－m2， 即m＝±时取等号，满足①式． ∴△ABC面积的最大值为. 15．(13分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点，离心率为. (1)求椭圆C的方程；(4分) (2)过点M(2,0)的直线l交椭圆于A，B两点，F为椭圆C的左焦点，若·＝－1，求直线l的方程．(9分) 解　(1)由题意，得 解得 所以椭圆C的方程是＋＝1. (2)由(1)得c＝1，所以F(－1,0)， 当直线l的方程为y＝0时，不妨设A(－，0)，B(，0)， 则·＝(1－，0)·(1＋，0)＝－2≠－1，不符合题意； 当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得(3＋2m2)y2＋8my＋2＝0，Δ＝8(6m2－3)>0⇒m2>. 则y1＋y2＝，y1y2＝， 由·＝－1，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝－1. 由x1＝my1＋2，x2＝my2＋2，可得， (my1＋3)(my2＋3)＋y1y2＝－1， 整理得(m2＋1)y1y2＋3m(y1＋y2)＋10＝0. 即＝0， 解得m2＝16>. 所以m＝4或m＝－4. 故直线l的方程为x－4y－2＝0或x＋4y－2＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $