第1章 直线与方程 章末复习课（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本高中数学讲义聚焦直线方程及应用，系统梳理五种方程形式的比较（含名称、形式、几何意义、适用范围），衔接两直线平行与垂直的判定方法，延伸至交点与距离问题，最终落脚于坐标法在几何证明中的应用，构建层层递进的学习支架。 资料通过对比表格明晰知识差异，例题与跟踪训练结合三角形顶点坐标求解、中线与高应用等几何情境，培养学生逻辑推理与数学运算素养。坐标法证明等边三角形性质等实例，助力学生用数学语言表达几何关系，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺。

一、直线方程的求法及应用 1．直线方程的五种形式的比较 名称 方程形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上一点，k是斜率 不垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个点 直线不垂直x轴和y轴 截距式 ＋＝1(a≠0，b≠0) a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) A，B，C为系数 任何情况 (1)各种形式的方程可以相互转化，但求方程时，往往应用前四种形式，在呈现最后结果时，如果没有特殊要求，就写成一般式． (2)若题中无特殊要求，则把所求直线化成一般式时，有如下约定：①一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列；②x项的系数为正；③x，y的系数和常数项一般互质，若有除1之外的公约数需要化简约分． 2．通过求直线方程，提升了学生逻辑推理、数学运算的核心素养． 例1　在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2)． (1)若C点坐标为(1,0)，求AB边上的高所在的直线方程； (2)若点M(1,1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程． 解　(1)∵A(0,1)，B(3,2)，∴kAB＝＝， 由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3， ∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3(x－1)， 化为一般式可得3x＋y－3＝0. (2)∵M(1,1)为AC的中点，A(0,1)，∴C(2,1)， ∴kBC＝＝1， ∴边BC所在直线方程为y－1＝x－2， 化为一般式可得x－y－1＝0. 反思感悟　求直线方程的一种重要方法就是待定系数法．运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要． 跟踪训练1　已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点C的坐标； (2)直线BC的方程． 解　(1)由题意知AC边上的高所在直线斜率为， 故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0. 由得 故点C的坐标为. (2)设B(m，n)，则M. 把M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0， 可得 解得故点B. 再用两点式求得直线BC的方程为＝，化简为46x－41y－43＝0. 二、两直线的平行与垂直 1．判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式．如l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则⇔l1∥l2. ②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化为l1：x＝x1，l2：x＝x2，则x1≠x2⇔l1∥l2. (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合，排除两直线重合，就能判定两直线平行． 2．判断两直线垂直的方法 方法一： 方法二：若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 例2　(1)已知A，B，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________. 答案　3 解析　kAB＝＝－， 当2－2a＝－a，即a＝2时， kAB＝－，CD的斜率不存在． ∴AB和CD不平行； 当a≠2时，kCD＝＝. 由kAB＝kCD，得－＝，即a2－2a－3＝0. ∴a＝3或a＝－1. 当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，kCD＝－1， ∴直线AB与直线CD平行． 当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝， ∴AB与CD重合． ∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行． (2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________． 答案　垂直 解析　将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0， 得a＝－，则＝－×2＝－1，∴l1⊥l2. 反思感悟　一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 跟踪训练2　(1)若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为(　　) A．1和2 B．－1和2 C．1和－2 D．－1和－2 答案　C 解析　由已知得直线mx＋ny＋2＝0过点(0,1)，则n＝－2，又因为两直线平行，所以－＝，解得m＝1. (2)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________． 答案　－3 三、两直线的交点与距离问题 1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养． 例3　(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　) A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或3 答案　C 解析　∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是， ∴＝，即|a－2|＝3， 解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5. (2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． 解　设l1与l的交点为A(a,8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上， 将点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 反思感悟　 跟踪训练3　(1)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为(　　) A．2 B. C．2 D. 答案　D 解析　根据a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，可得a＋b＝－1，ab＝－2， ∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3， 由已知得这两条直线互相平行， 故两条直线之间的距离d＝＝＝. (2)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　方法一　由得 即直线l过点(1,2)．设点Q(1,2)，因为PQ＝＝＞2，所以满足条件的直线l有2条．故选C. 方法二　依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，故选C. 四、坐标法的应用 1．平面几何中的证明题很多可以用坐标法证明，其基本思想是这样的：首先将几何证明中的点的坐标用符号来表示，然后将几何条件转化为代数求解问题，再对给定的符号用具体的数值来代替，从而达到证明的目的． 2．用坐标法证明几何问题，可以提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． 例4　如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试用坐标法证明：AE＝CD. 证明　如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，如图， 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c. 则A(－a,0)，C(c,0)，E，D， 由距离公式，得 AE＝＝， CD＝＝， 所以AE＝CD. 反思感悟　利用坐标法证明几何问题的思路 (1)建立平面直角坐标系； (2)设出各点的坐标； (3)列出代数等式，并化简； (4)验证结论成立． 跟踪训练4　已知△ABC为直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，用坐标法证明：AM＝BC. 解　以A为坐标原点，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)． ∵M是BC的中点，∴点M的坐标为， 由两点间的距离公式得 BC＝＝， AM＝＝， ∴AM＝BC. 学科网（北京）股份有限公司 $