第1章 §1.3 第2课时 两条直线垂直（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦两条直线垂直的判定与应用这一核心知识点，承接上节课两条直线平行的内容，通过倾斜角关系推导斜率存在时乘积为-1的条件，补充斜率不存在的特殊情况，构建“判定条件-方程求解-综合应用”的完整学习支架。 资料以十字路口等生活实例导入，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过问题链驱动探究，结合分情况讨论的例题培养严谨的数学思维，分层练习助力课中教师引导学生构建逻辑，课后学生可自主回顾巩固，有效查漏补缺。

第2课时　两条直线垂直 [学习目标]　1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 导语 除平行外，生活中也存在很多垂直关系，比如十字路口，黑板相邻两边等等，上节课我们学习了两条直线平行的判定方法，研究了两条平行直线的倾斜角之间的关系，当斜率存在时，斜率也有联系，那么两条垂直直线的倾斜角和斜率是否也有关系呢？ 一、两条直线垂直关系的判定 问题1　若两条垂直直线的斜率都存在，那么它们的斜率有怎样的关系呢？ 提示　如图，如果直线l1⊥l2(l1，l2都不与x轴垂直)，那么直线l1，l2的倾斜角α1，α2中必定一个是锐角，另一个是钝角．不妨设α2是钝角，则α2＝α1＋，从而k2＝tan α2＝tan＝－＝－，即k1k2＝－1. 问题2　如果两条直线斜率的乘积为－1，这两条直线互相垂直吗？ 提示　两条直线互相垂直． 问题3　两条直线互相垂直，一定能得到两条直线的斜率之积等于－1吗？ 提示　不一定，因为两条直线互相垂直，可能其中一条直线的斜率不存在． 知识梳理 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 例1　(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． 解　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在． 当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0， 则l1⊥l2，满足题意． 当l1的斜率存在时，a≠5， 由斜率公式，得k1＝＝， k2＝＝. 由l1⊥l2，得k1k2＝－1， 即×＝－1，解得a＝0. 综上所述，a的值为0或5. 反思感悟　利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 跟踪训练1　判断下列两直线是否垂直． (1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10,2)，B(20,3)． (2)直线l1经过A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(－2,4)，Q(2,4)． (3)直线l1的斜率为，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行． 解　(1)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1·k2＝－10×＝－1， 所以l1⊥l2. (2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1⊥l2. (3)直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－，k1·k2＝－≠－1，所以直线l1与l2不垂直． 二、求与已知直线垂直的直线方程 例2　求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 解　方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， ∴k·(－2)＝－1， ∴k＝， 又∵直线l经过点A(2,1)， ∴直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0. 方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2,1)， ∴2－2×1＋m＝0， ∴m＝0. ∴直线l的方程为x－2y＝0. 反思感悟　(1)求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在且斜率不为0，则利用斜率乘积等于－1求斜率；若不存在，则所求直线斜率为0，然后用点斜式求直线方程；若斜率为0，则所求直线斜率不存在． (2)与直线l1：Ax＋By＋C1＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，其中A，B不全为0. 跟踪训练2　(1)与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的方程是(　　) A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4 C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4 答案　D 解析　直线y＝2x＋1的斜率为2，则与直线y＝2x＋1垂直的直线的斜率为－，又因为所求直线在y轴上的截距为4，所以直线方程为y＝－x＋4. (2)已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的方程为____________． 答案　3x－5y＋15＝0 解析　设BC边上的高为AD，则BC⊥AD， 所以kAD·kBC＝－1， 因为kBC＝＝－， 所以－·kAD＝－1，解得kAD＝， 所以BC边上的高所在直线的方程为y－0＝(x＋5)，即3x－5y＋15＝0. 三、两直线垂直的综合问题 例3　(1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为________． 答案　9 解析　∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直， ∴n－(n－2)m＝0， ∴2m＋n＝mn， ∴＋＝1， ∴m＋2n＝(m＋2n) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当m＝n＝3时取等号． (2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为________． 答案　－或－1 解析　由题意，可知两直线平行或垂直， 则 或(m＋1)·4m2＋1·(m＋1)＝0， 解得m＝－或m＝－1. 反思感悟　解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系． (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 跟踪训练3　(1)“a2＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直的充要条件为1×1＋1×(－a)＝0，即a＝1， 故“a2＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的必要不充分条件． (2)若直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．4 答案　C 解析　∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直， ∴(a＋3)＋a－1＝0， ∴a＝－1， ∴直线l1的方程为2x＋y＋4＝0， ∴直线l1在x轴上的截距是－2. 1．知识清单： (1)两直线垂直的条件． (2)求垂直直线方程． (3)直线垂直的综合应用． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合． 3．常见误区：研究两直线垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况． 1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋2y－2＝0互相垂直，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．4 D．－4 答案　D 解析　两直线的斜率分别为－，－，依题意得×＝－1，解得a＝－4. 2．(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B．－ C．a D．不存在 答案　BD 解析　当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－， 当a＝0时，l2的斜率不存在． 3．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)三点，点D在x轴上，则当点D的坐标为_____时，AB⊥CD. 答案　(－9,0) 解析　设点D(x,0)，因为kAB＝＝4≠0， 所以直线CD的斜率存在． 则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1， 所以4·＝－1， 解得x＝－9， 所以点D的坐标为(－9,0)． 4．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P 的坐标为__________． 答案　(0，－6)或(0,7) 解析　设点P的坐标为(0，y)． 因为∠APB＝90°， 所以AP⊥BP， 又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1， 所以·＝－1， 解得y＝－6或y＝7. 所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共6分 1．直线l1的倾斜角α1＝30°，若l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　如图， 直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°， 所以直线l2的斜率为tan 120°＝－. 2．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．可能重合 D．无法确定 答案　B 解析　由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立． 故方程有两不相等的实数根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2. 3．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A．1 B．3 C．0或1 D．1或3 答案　D 解析　因为l1⊥l2， 所以k1·k2＝－1， 即×＝－1， 解得a＝1或a＝3. 4．已知l1：(a＋sin 30°)x＋y＋1＝0，l2：x＋(tan 120°)y＋2＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　由题意l1⊥l2，则当且仅当(a＋sin 30°)×1＋1×tan 120°＝0，即a＋－3＝0， 解得a＝. 5．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为(　　) A．(－1,0) B．(0，－1) C．(1,0) D．(0,1) 答案　D 解析　设点D(x，y)， 则kCD＝＝，kAD＝. kAB＝＝3，kCB＝＝－2， 又CD⊥AB，CB∥AD， ∴∴ 解得即点D(0,1)． 6．(多选)设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，则下面四个结论正确的是(　　) A．PQ∥SR B．PQ⊥PS C．PS∥QS D．PR⊥QS 答案　ABD 解析　由斜率公式知， kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝， ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS， ∴PS与QS不平行，故ABD正确． 7．(5分)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，其中a＋b≠3，则线段PQ的垂直平分线的斜率为______． 答案　－1 解析　由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1. 8．(5分)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，若l1⊥l2，则a＝______；若l1∥l2，则a＝______. 答案　0或－3　－1或2 解析　当l1⊥l2时，a×1＋(a＋2)a＝0， 解得a＝0或a＝－3； 当l1∥l2时， 易知a≠0，＝≠， 解得a＝－1或a＝2. 9．(10分)当实数a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ 解　由l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1. ∴当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2. 10．(12分)已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)． (1)求点D的坐标；(6分) (2)试判定▱ABCD是否为菱形？(6分) 解　(1)设点D的坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以解得 所以点D的坐标为(－1,6)． (2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形． 11．(5分)已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则的取值范围为________． 答案　 解析　因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以＝＝，则0<<，故的取值范围为. 12．(5分)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为______________． 答案　1或0 解析　直线l1的斜率k1＝＝a. 当a≠0时，l2的斜率k2＝＝. 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1， 即a·＝－1，解得a＝1. 当a＝0时，直线l1为x轴，直线l2为y轴， 显然l1⊥l2. 综上，实数a的值为1或0. 13．(5分)已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为________． 答案　(－19，－62) 解析　设A(x，y)，因为AC⊥BH，AB⊥CH， 且kBH＝－，kCH＝－， 所以解得所以A(－19，－62)． 14．(5分)已知直线l1：(a－2)x－3y＋5＝0和l2：3x－(b＋1)y－7＝0互相垂直，且a，b>0，则＋的最小值为____________． 答案　 3＋2 解析　由题得3(a－2)＋3(b＋1)＝0， 所以a＋b＝1. 所以＋＝(a＋b) ＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2， 当且仅当a＝2－，b＝－1时等号成立． 所以＋的最小值为3＋2. 15．(5分)直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________. 答案　4＋ 解析　如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－. ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 16．(12分)如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状． 解　由斜率公式得kOP＝＝t， kQR＝＝＝t， kOR＝＝－， kPQ＝＝＝－. 所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形． 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR， 故四边形OPQR为矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $