5.1.1 平均变化率-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦“平均变化率”核心知识点，系统阐述概念、计算方法及几何意义，作为导数概念的基础学习支架，衔接函数变化规律与后续瞬时变化率，构建完整知识脉络。 以气温变化情境导入，通过问题链引导逻辑推理，结合登山海拔、刹车性能等实例应用，培养数学眼光、思维与语言，课中助力教师高效授课，课后分层达标检测帮助学生巩固提升，弥补知识盲点。

第5章 导数及其应用 5.1 导数的概念 5.1.1 平均变化率 新课导入 某市某年4月20日最高气温为,而4月19日和4月18日最高气温分别为和,短短两天的时间，气温陡增，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！” 但是，如果我们将该市某年3月18日最高气温，与4月18日最高气温进行比较，发现温度相差，甚至超过了，而人们不会发出上述感叹.本节课我们一起来探究其中的原因. 学习目标 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率. 2.了解平均变化率概念的形成过程，能在具体情境中说明平均变化率的实际意义. 新知学习 探究 一 函数的平均变化率及其几何意义 思考1．函数的平均变化率定义中，是否必须是正数？ 提示 可以是正值，也可以是负值，但不可以为0. 思考2．函数在某区间上的平均变化率为0是否说明函数值在此区间上都相等？ 提示 函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等． ［知识梳理］ 1．函数的平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 2．平均变化率的意义 平均变化率是曲线陡峭程度的“②_ _ _ _ _ _ ”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. 【答案】数量化 ［例1］ （1） 在曲线的图象上取一点及附近一点，则（ ） A. B. C. D. （2） 已知函数，分别计算在自变量从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 【答案】（1） C （2） 【解】由题意得，自变量 从1变到2时，函数 的平均变化率为;自变量 从3变到5时，函数 的平均变化率为 . 因为，所以函数 在自变量 从3变到5时函数值变化的较快． 【解析】 （1） 选．由已知得．故选． （1）求函数平均变化率的步骤 ①求自变量的增量； ②求函数值的增量； ③求函数值的增量与自变量的增量的比值. （2）求平均变化率的一个关注点 求点附近的平均变化率，可用的形式求解. ［跟踪训练1］． （1） 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ） A. B. C. D. 都不对 （2） 函数从到的平均变化率为_ _ _ _ ． 【答案】（1） C （2） 3 【解析】 （1） 选．由题意知.故选. （2） 因为， 所以函数 从 到 的平均变化率为. 二 实际问题中的平均变化率 ［例2］ （1） 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ） A. B. C. D. （2） （对接教材例2）如图，水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，后容器甲中水的体积（单位：），则第一个内的平均变化率为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．，结果保留三位小数 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 如图，分别令，，，，所对应的点为，，，，，由图可知， 所以在 时间段内空气中微生物密度变化的平均速度最快.故选. （2） 在区间 上，体积 的平均变化率为， 即第一个 内容器甲中水的体积的平均变化率为（负号表示容器甲中的水在减少）． （1）用平均变化率求解或解读生产生活中发生的某些变化情况已成为考查数学应用的热点，特别是在物理中的应用更为突出. （2）变化率的正、负反映该变化过程是增加还是减少，变化率绝对值的大小反映该变化过程的快慢. ［跟踪训练2］．已知一质点作直线运动，其位移与时间的关系为，该质点在2到之间的平均速度不大于5，求的取值范围. 解：易知质点在2到 之间的平均速度为 , 又,则，所以,又, 所以.所以 的取值范围是. 三 平均变化率的应用 ［例3］ 巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，在当地用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受.如图是一段登山过程中海拔（单位：）随水平距离（单位：）变化的关系图，同样是登山，但是从处到处会感觉比较轻松，而从处到处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释. 【解】 从 处到 处高度的平均变化率为， 从 处到 处高度的平均变化率为， 由，知山路从 处到 处比从 处到 处陡峭. 故从 处到 处会感觉比较轻松，而从 处到 处会感觉比较吃力. 平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度、物体受热膨胀率、高度（重量）的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量. ［跟踪训练3］．通过某导体横截面的电量（单位：C）关于时间（单位：）的函数关系式为.求当从变到时，电量关于时间的平均变化率，并解释它的实际意义. 解：当 从 变到 时，电量 从 变到，此时电量 关于时间 的平均变化率为，它表示从 变到 这段时间内，平均每秒通过该导体横截面的电量为． 课堂巩固 自测 1．函数在上的平均变化率为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】选．函数 在 上的增量， 所以函数 在 上的平均变化率为.故选． 2．已知函数的图象上一点及邻近一点,则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】选.因为,所以.故选. 3．已知质点运动规律,则在时间段上的平均速度为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为， 所以. 4．某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润（单位：元）与产量（单位：台）之间的关系式为，则产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率为_ _ _ _ 元/台． 【答案】2 000 【解析】当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率为（元/台）． 1.已学习：平均变化率. 2.须贯通：明确平均变化率的意义;平均变化率的绝对值越大，表示函数值变化得越快，绝对值越小，表示函数值变化得越慢. 3.应注意：平均变化率的正负只表示变化的方向. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知函数，当由1变到2时，函数值的改变量为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】选.函数值的改变量为. 2．[（2025·苏州期末）]函数在上的平均变化率为（ ） A. 0.21 B. 2.1 C. D. 【答案】D 【解析】选.函数 在 上的平均变化率为. 3．某物体沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则在这段时间内，该物体位移的平均速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选．,， 所以平均速度为.故选． 4．一根金属棒的质量（单位：）关于长度（单位：）的函数为,则从到这一段金属棒的平均线密度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.根据题意，从 到 这一段金属棒的平均线密度为. 5．某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等．在各时段内平均增长速度分别为，，，该生物在这三个时段内的平均增长速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.设三个连续时段为，，，各时段的增长量相等，设为，则， 整个时段内的平均增长速度为.故选. 6．（多选）下列说法正确的是（ ） A. 平均变化率只能是正数 B. 在平均变化率的定义中，自变量在处的变化量可取任意实数 C. 利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的” D. 平均变化率的绝对值越大，曲线在相应区间上越“陡峭”，反之亦然 【答案】CD 【解析】选．平均变化率可正、可负、可为0，不可为0，故，错误；平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但当 很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”，故 正确，显然正确． 7．设是成本，是产量，且，若，则产量增加量为10时，成本增加量为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意， . 8．已知某物体运动的速度与时间的函数关系是,则该物体在时间段上的平均加速度为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】平均加速度为 . 9．汽车行驶的路程和时间之间的函数图象如图所示.在时间段,，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为, , , 由题图可知, 所以. 10．（13分）为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从到花了,乙车从 到花了，试比较两辆车的刹车性能. 解：甲车速度的平均变化率为. 乙车速度的平均变化率为， 平均变化率为负值说明速度在减小，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好. B 能力提升 11．某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意知，汽车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，设路程与时间 的函数关系为， 则，即为经过点,的直线的斜率， 同理 为经过点,的直线的斜率， 为经过点,的直线的斜率， 为经过点,的直线的斜率，如图， 由图可知，最小，即 最小.故选. 12．如图所示，向一个圆台形状的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，定义域为，设,,分别表示在区间,上的平均变化率，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】选.由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，所以 在区间,上的平均变化率由大变小，即．故选. 13．已知曲线上两点，，，当时，直线的斜率为_ _ _ _ _ _ ． 【答案】 【解析】因为，， 所以. 所以直线 的斜率为 . 14．（13分）已知函数. （1） 求函数在上的平均变化率；（5分） （2） 求函数在上的平均变化率.（8分） 【答案】 （1） 解：由， 得，又， 所以. （2） 因为， 所以. C 素养拓展 15．（15分）已知气球的体积（单位：）与半径（单位：）之间的函数关系是. （1） 求半径关于体积的函数;（5分） （2） 比较体积从增加到和从增加到的过程中半径的平均变化率，判断在哪个过程中半径变化较快（精确到）.此结论可说明什么？参考数据： ，（10分） 【答案】 （1） 解：因为,所以, 即. （2） 函数 在区间 上的平均变化率约为, 函数 在区间 上的平均变化率约为 . 因为， 所以体积 从 增加到 时，半径变化较快.这说明气球刚开始半径增加的比较快，随着体积的增大，半径增加的越来越慢. 学科网（北京）股份有限公司 $