第4章 再练一课(范围：§4.1～§4.3)（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦数列章节（§4.1～§4.3），涵盖等差、等比数列的概念、性质、前n项和及实际应用。通过九连环移动次数、《九章算术》分五钱等问题导入，连接基础定义与综合应用，搭建从公式推导到实际建模的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，九连环问题引导学生从游戏抽象递推关系，培养观察与创新意识，《九章算术》问题通过等差数列分配建模发展推理能力，解答题强化符号运算与逻辑表达。学生能提升应用与探究能力，教师可借助多样化题型与解析优化教学效果。

第4章 <<< 再练一课 (范围：§4.1～§4.3) 一、单项选择题 1.在等比数列{an}中，a4＝24，a6＝6，则a5等于 A.12 　　　　B.－12 　　　　C.±12 　　　　D.15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝9，a2＋a9＋a14＝18，则a8和a9的等比中项为 A.－6 　　　　B.6 　　　　C.±6 　　　　D.36 根据等差数列的性质， 可得9＝a3＋a8＋a13＝3a8，即a8＝3， 所以18＝a2＋a9＋a14＝a9＋2a8，即a9＝12， 所以a8和a9的等比中项为±6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝　　，Sn取得最大值时n的值为 A.3 　　　　B.4 　　　　C.5 　　　　D.6 ∵n∈N*，∴当n＝3时，Sn取得最大值. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 已知等差数列{an}的前n项和为Sn， ∴S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9构成等差数列， √ 又∵2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环 所需移动的最少次数，若a1＝1，且an＝ 　　　　　　　　　则解下6个 圆环所需移动的次数最少为 A.13 B.16 C.31 D.64 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 ∴a2＝2a1－1＝1，a3＝2a2＋2＝4， a4＝2a3－1＝7， a5＝2a4＋2＝16，a6＝2a5－1＝31， ∴解下6个圆环所需移动的次数最少为31. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是 A.若Sn＝n2－1，则{an}是等差数列 B.若Sn＝2n－1，则{an}是等比数列 C.若{an}是等差数列，则S99＝99a50 D.若{an}是等比数列，且a1>0，q>0，则S2n－1·S2n＋1> √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 对于A选项，若Sn＝n2－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝0不满足该式，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得钱数的和与丙、丁、戊三人所得钱数的和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得钱数依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).关于这个问题，下列说法正确的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，且a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于选项A，甲得钱是戊得钱的2倍，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12<0，a6>0，则下列说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴a6＋a7<0， 又∵a6>0，∴a7<0，A正确； 由A的分析可知，等差数列{an}为递减数列，当1≤n≤6时，an>0， 又S12<0，故C正确； 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当1≤n≤11时，Sn>0， 当n≥12时，Sn<0， 16 三、填空题 10.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 根据等比数列的性质可得a10a11＝a9a12， 所以a10a11＝e5. 则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20 ＝ln(a1a2…a20) ＝ln(a10a11)10＝10ln e5＝50. 11.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则公差d＝____. 设偶数项和为32k，则奇数项和为27k， 由32k＋27k＝59k＝354，可得k＝6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 12.已知在数列{an}中，a1＝2,2n(n＋1)anan＋1＋(n＋1)an＋1－nan＝0(n∈N*)， 则数列{an}的通项公式为____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若an＝0时，解得an＋1＝0，不满足a1＝2，所以an≠0，同理an＋1≠0， 四、解答题 13.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a7＝1，S4＝－32. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵a7＝1，S4＝－32， ∴数列{an}的通项公式为an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13. (2)求Sn的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴当n＝6时，Sn取得最小值－36. 14.已知在等差数列{an}中，a3＋a6＝17，a1a8＝－38，且a1<a8. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由已知得17＝a3＋a6＝a1＋a8， 又a1a8＝－38，a1<a8， ∴a1＝－2，a8＝19， ∴数列{an}的公差d＝3，∴an＝3n－5. (2)如果适当调整数列{an}的前三项a1，a2，a3的顺序，能否使其成为等比数列，若能，求出该等比数列的通项公式，若不能，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)得a1＝－2，a2＝1，a3＝4. 依题意，若调整为1，－2,4或4，－2,1，则能成为等比数列，记为{bn}. 当等比数列{bn}满足b1＝1，b2＝－2，b3＝4时，公比q＝－2，bn＝(－2)n－1，n≤3，且n∈N*； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.已知Sn为数列{an}的前n项和，数列{Sn}是等差数列，且S5＝9，S9＝17. (1)求{an}的通项公式； ∵数列{Sn}是等差数列，且S5＝9，S9＝17， 即Sn＝2n－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2， 当n＝1时，a1＝S1＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求数列{an·2n－Sn}的前n项和Tn. 当n＝1时，a1·21－S1＝21－2×1＋1＝1； 当n≥2时，an·2n－Sn＝2n＋1－2n＋1， Tn＝2－1＋23－3＋24－5＋…＋2n＋1－(2n－1) ＝2＋23＋24＋…＋2n＋1－(1＋3＋5＋…＋2n－1) ＝2n＋2－n2－6， 当n＝1时，T1＝1，也满足上式， ∴Tn＝2n＋2－n2－6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由等比数列{an}，可知a＝a4·a6＝24×6＝144，解得a5＝±12. ∵a1＝10，d＝－， ∴Sn＝10n＋×＝－n2＋n， 可得对称轴为n＝，开口向下， － ∴2＝S3＋，又＝6，代入得S6＝3S3. 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝6，则等于 A. B. C. D. ∴S12＝10S3，从而＝. 由＝， ＝＝＝＝＝＝. 5.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且＝，则等于 A. B. C. D. ∵a1＝1，an＝ S 对于B选项，若Sn＝2n－1，则an＝由于a1＝1满足an＝2n－1，所以{an}是等比数列，故B正确； 对于C选项，若{an}是等差数列，则S99＝＝99a50，故C正确； 对于D选项，当n＝1时，S1·S3－S＝a(1＋q＋q2)－a(1＋q) 2＝－aq <0，所以当n＝1时，不等式不成立，故D错误. A.甲得钱是戊得钱的2倍 B.乙得钱比丁得钱多钱 C.甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D.丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 ∴a＝1，d＝－，即a－2d＝1－2×＝，a－d＝1－＝，a＋d＝1＋＝，a＋2d＝1＋2×＝， ∴甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱. 对于选项B，乙得钱比丁得钱多－＝(钱)，故B错误； 对于选项C，甲、丙得钱的和是乙得钱的＝2倍，故C正确； 对于选项D，丁、戊得钱的和比甲得钱多＋－＝(钱)，故D错误. A.a7<0 B.数列是递减数列 C.Sn>0时，n的最大值为11 D.数列中的最小项为第7项 S12＝＝6(a6＋a7)<0， 故数列的前6项为递增数列，B错误； S11＝＝11a6>0， 则从第7项至第11项为递增数列， ∴当1≤n≤6或n≥12时，>0， 当7≤n≤11时，<0，an<0且递减，Sn为正数且递减， ∴最小，D正确. 故公差d＝＝＝5. an＝ 由2n(n＋1)anan＋1＋(n＋1)an＋1－nan＝0，可得－＝2， 当n＝1时，＝，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， ＝＋2(n－1)＝2n－，所以an＝. ∴解得 Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36. 当等比数列{bn}满足b1＝4，b2＝－2，b3＝1时，公比q＝－，bn＝，n≤3，且n∈N*. 综上所述，等比数列{bn}的通项公式为bn＝(－2)n－1，n≤3且n∈N*或bn＝，n≤3且n∈N*. 设数列{Sn}的公差为d，则d＝＝2， ∴an＝ ＝2＋－ $