第4章 习题课 等差数列前n项和性质的综合问题（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和性质，系统讲解总项数为奇偶数时的奇、偶项和特点及含绝对值的前n项和求法。通过问题链导入，从公式推导到性质探究，搭建从基础公式到综合应用的学习支架，衔接紧密。 其亮点是以问题驱动探究，结合数学思维（逻辑推理推导奇偶数项和关系）与数学语言（分段函数表达绝对值和），例题典型（如分类讨论求公差、绝对值和），小结明确方法。助力学生培养推理与表达能力，教师可高效实施教学。

习题课 第4章 <<< 等差数列前n项和性质的综合问题 1.掌握总项数为奇数项或偶数项时前n项和的特点. 2.掌握含绝对值的等差数列的前n项和的求法. 学习目标 一、等差数列中奇、偶项的和 二、含绝对值的等差数列的前n项和 课时对点练 随堂演练 内容索引 等差数列中奇、偶项的和 一 我们知道等差数列前n项和公式中的n表示等差数列的项数，你能利用公式表示S2n，S2n－1吗？ 问题1 提示　当总项数为2n项时，奇数项与偶数项各有n项， 当等差数列{an}的总项数为2n项时，其奇数项之和S奇与偶数项之和S偶有何特点？ 问题2 则有S偶－S奇＝nan＋1－nan＝n(an＋1－an)＝nd， 提示　当总项数为2n－1项时，奇数项和偶数项分别有n项和n－1项， 当等差数列{an}的总项数为2n－1项时，其奇数项之和S奇与偶数项之和S偶有何特点？ 问题3 知识梳理 (1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数； (2)总项数为偶数时，中间项有两项，其中第一项的下标为总项数的一半. 注 意 点 <<< 9 例 1 2 所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2. 10 11 方法一　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， ① ② 12 方法二　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn， 由于a1＋a9＝2a5， 同理B9＝b5×9. 13 方法三　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn， 因为等差数列的前n项和为Sn＝an2＋bn 根据已知，可令An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn(k≠0). 所以a5＝A5－A4 ＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k， b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k. 14 15 一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项. 反 思 感 悟 16 　　　　　(1)等差数列{an}共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于 A.6 　　　　B.8 　　　　C.10 　　　　D.12 跟踪训练 1 √ 等差数列{an}共有2n＋1项，中间项为an＋1. ∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝132，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ＝120， ∴S奇－S偶＝an＋1＝12， 解得n＝10. 17 (2)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是_____. 设等差数列{an}的项数为2m， ∵末项与首项的差为－28， ∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28， ① ∵S奇＝50，S偶＝34， ∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md， ② 由①②得d＝－4. －4 18 19 二 含绝对值的等差数列的前n项和 提示　设{an}的前n项和为Sn，{|an|}的前n项和为Tn. 则当n≤4时，Tn＝－Sn＝－n2＋8n， 当n≥5时，Tn＝(－a1)＋(－a2)＋(－a3)＋(－a4)＋a5＋a6＋…＋an＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－8n＋32. 已知等差数列an＝2n－9，求{|an|}的前n项和. 问题4 知识梳理 22 (1)要先去掉绝对值才能求和； (2)找准分界点是解决此类问题的关键. 注 意 点 <<< 23 　　　数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N*). (1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差； 例 2 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n. ∵a1＝S1＝100×1－12＝99，满足上式， ∴an＝101－2n(n∈N*). 又an＋1－an＝－2为常数， ∴数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列. 24 (2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 25 令an＝101－2n≥0，得n≤50.5， ∵n∈N*，∴n≤50(n∈N*). ①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an， ∴数列{bn}的前n项和Tn＝Sn＝100n－n2. ②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an， 由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an)＝－(Sn－S50)＝S50－Sn， 得数列{bn}的前n项和Tn＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2 500－(100n－n2) ＝5 000－100n＋n2. 26 　　　　 本例中若an＝2n－101，求数列{bn}的前n项和Tn. 延伸探究 因为an＝2n－101，所以a1＝－99，d＝2，{an}的前n项和Sn＝n2－100n. 当1≤n≤50时，an<0，此时bn＝－an， 数列{bn}的前n项和Tn＝－Sn＝－n2＋100n； 当n≥51时，an>0，b51＋b52＋…＋bn＝a51＋a52＋…＋an， 数列{bn}的前n项和Tn＝－S50＋Sn－S50＝n2－100n＋5 000， 27 反 思 感 悟 已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”. 　　　　　在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？ 跟踪训练 2 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. ∴当n≤17时，an>0； 当n≥18时，an<0， ∴数列{an}的前17项和最大. 29 (2)求{|an|}的前n项和Sn. 30 当n≤17，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an 当n≥18，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) 31 1.知识清单： (1)等差数列中奇、偶项的和. (2)含绝对值的等差数列的前n项和. 2.方法归纳：公式法、整体代换法、分类讨论法. 3.常见误区：求数列{|an|}的前n项和时不讨论，最后不用分段函数表示. 课堂小结 随堂演练 三 1.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是 A.0.5,0.5 　　　　B.0.5,1 　　　　C.0.5,2 　　　　D.1,0.5 由于项数为10， 故S偶－S奇＝15－12.5＝5d， √ 1 2 3 4 得a1＝0.5. 由于S2n－1＝(2n－1)an， √ 1 2 3 4 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.若S12>0，S13<0，则数列{|an|}的最小项是 A.第6项 　　　　B.第7项 　　　　C.第12项 　　　　D.第13项 由题意得，S12>0，S13<0及S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)，S13＝13a7，得a6＋a7>0，a7<0，所以a6>0，a6>|a7|，且公差d<0，所以|a7|最小. √ 1 2 3 4 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－9，S5＝－25，bn＝{an}，{bn}的前n项和为Tn，则T10＝_____. 1 2 3 4 50 设等差数列{an}的公差为d， ∵a1＝－9，S5＝－25. 解得d＝2. ∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11. ∵bn＝|an|， ∴bn＝|2n－11|， ∴T10＝|－9|＋|－7|＋|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＋7＋9＝2(1＋3＋5＋7＋9)＝50. 课时对点练 四 1.在等差数列{an}中，a2＋a4＋a6＝－3，a3＋a5＋a7＝6，则{an}的前8项的和为 A.3 　　　　B.4 　　　　C.5 　　　　D.6 由等差中项的性质可知a2＋a4＋a6＝3a4＝－3，所以a4＝－1，同理a5＝2，所以a4＋a5＝1，S8＝4(a4＋a5)＝4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.已知等差数列{an}的公差为2，项数为偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为 A.10 　　　　B.20 　　　　C.30 　　　　D.40 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设这个数列的项数是2k， 则奇数项之和为a1＋a3＋…＋a2k－1＝15， 偶数项之和为a2＋a4＋…＋a2k＝25， ∴(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1) ＝25－15＝10. ∵等差数列{an}的公差为2， ∴2k＝10， ∴这个数列的项数是10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－n，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于 A.24 　　　　B.25 　　　　C.26 　　　　D.27 因为an＝5－n，所以当n≤5时，an≥0，当n≥6时，an<0； 因此|a1|＋|a2|＋…＋|a10| ＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)－(a6＋a7＋a8＋a9＋a10) ＝(4＋3＋2＋1＋0)＋(1＋2＋3＋4＋5) ＝10＋15＝25. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝S7>S8，则下列结论正确的是 A.d<0 　　　　B.a7＝0 　　　　C.S4>S5 　　　　D.S14<0 S7>S8，而S8＝S7＋a8，所以a8<0, S7＝S6＋a7，S6＝S7，所以a7＝0，B正确； 所以{an}是递减数列，d<0，A正确； an>0(n＝1,2,3,4,5,6)，S5＝S4＋a5>S4，C错误； √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 7.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是_____，项数是____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 7 设等差数列{an}的项数为2n＋1(n∈N*)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得n＝3， 所以项数为2n＋1＝7，因为S奇－S偶＝an＋1， 所以a4＝44－33＝11为所求的中间项. 8.已知在等差数列{an}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为____. 由题意，得S奇＋S偶＝148， 又S偶－S奇＝50d＝50， 解得S偶＝99. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 99 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0. (1)求公差d的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a3＝12，∴a1＝12－2d. ∵S12＞0，S13＜0， (2)问数列{an}前几项的和最大，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵S12＞0，S13＜0， ∴a6＞0， 又由(1)知d＜0. ∴数列前6项为正，从第7项起为负. ∴数列前6项和最大. 10.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an＋2－2an＋1＋an＝0， ∴an＋2－an＋1＝an＋1－an， ∴{an}是等差数列， 又∵a1＝8，a4＝2， ∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*. (2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的前n项和为Sn， ∵an＝10－2n， 令an＝0，得n＝5. 当n>5时，an<0； 当n＝5时，an＝0； 当n<5时，an>0. ∴当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2. 54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an) ＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn ＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40， 55 11.若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于 A.15 　　　　B.35 　　　　C.66 　　　　D.100 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 |a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1， 令an>0，则2n－5>0， ∴n≥3. ∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10| ＝1＋1＋a3＋…＋a10 ＝2＋(S10－S2) ＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，令Sn＝kn(2n＋1)， Tn＝kn(3n＋2)， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶 数项的和之比为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得数列{an}为等差数列，a1＝6，S30＝11×40＋3×10＝470， 设数列{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3， 又因为a1＝1符合上式，所以an＝4n－3，n∈N*. (2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)， 当n为偶数时，Tn＝(－1)＋5＋(－9)＋13＋…＋[－(4n－7)]＋(4n－3)， 当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝2(n－1)＋[－(4n－3)]＝1－2n， 提示　S2n＝＝n(a1＋a2n)，S2n－1＝，由等差数列的性质m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq可知，a1＋a2n＝an＋an＋1，a1＋a2n－1＝2an，即S2n＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an，发现总项数为偶数项时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数项时，其和可用中间一项表示. 则S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝＝nan， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝＝nan＋1， ＝＝. 则S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝＝nan， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n－2＝＝(n－1)an， 则有S奇－S偶＝an，＝. 1.若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. 2.若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝ －an＋1，＝. 3.设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (1)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝______. 由得 (2)有两个等差数列{an}，{bn}满足＝，求. 观察①②，可在①中取n＝9，得＝＝.故＝. 则＝＝， 则有＝， 又由于＝， 故＝＝＝. 则有＝，其中An＝， 即＝a5，故A9＝＝a5×9. 故＝. ＝an， 所以＝＝. 方法四　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，由＝，有＝＝＝. ∴S2n＋1＝S奇＋S偶＝252＝＝(2n＋1)an＋1＝12(2n＋1)， 由等差数列前n项和性质，得＝＝＝＝. (3)若等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，＝，则＝____. ∴Tn＝ 1.若一个等差数列a1<0，d>0，且ak≤0，ak＋1>0，则其绝对值的前n项和为Tn＝n∈N*. 2.若一个等差数列a1>0，d<0，且ak≥0，ak＋1<0，则其绝对值的前n项和为Tn＝n∈N*. 由①②得数列{bn}的前n项和Tn＝n∈N*. 综上，Tn＝n∈N*. 由得 令an>0，得n<，∵n∈N*， ＝n×50＋×(－3)＝－n2＋n. ＝2－＝n2－n＋884. ∴Sn＝n∈N*. 解得d＝0.5，由15＋12.5＝10a1＋×0.5， 则＝＝×＝1. 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于 A.1 　　　　B.－1 　　　　C.2 　　　　D. ∴－9×5＋×d＝－25， ＝÷＝＝＝＝. 3.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则的值为 A. B. C. D. 由题意可得a7＝，b3＋b11＝2b7＝， 则＝＝＝，解得t＝5. 5.设等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，若＝，则t等于 A.5 B.6 C.22 D. S14＝＝7(a7＋a8)<0，D正确. S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1， 所以＝＝， ∴即 ∴－＜d＜－3. 即d的取值范围为. ∴ ∴ 则Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2. ∴Tn＝n∈N*. 易得an＝ ∴＝＝＝1. 12.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且满足＝，则等于 A. B. C. D.1 所以＋＝＝＝＝＝. 13.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝(n∈N*)，则＋＝______. 由题意，得等差数列共有11项，所以奇数项的和为S奇＝＝6a6， 其偶数项的和为S偶＝＝5a6， 所以其奇数项的和与偶数项的和之比为. 15.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为 A. B. C. D. a2＋a4＋…＋a30＝＝15a16， 所以＝＝＝. S30＝30×6＋d＝470，解得d＝， 所以an＝6＋×＝n＋， a1＋a3＋…＋a29＝＝15a15， 16.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； 因为数列是公差为2的等差数列，且＝a1＝1，所以＝1＋×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n， 所以Tn＝[(－1)＋5]＋[(－9)＋13]＋…＋{[－(4n－7)]＋(4n－3)}＝4×＝2n； 综上可知，Tn＝ $